高中數(shù)學(xué)解題中構(gòu)造函數(shù)的有效應(yīng)用

許娟

摘 要：構(gòu)造函數(shù)是解決高中數(shù)學(xué)問題的重要思路之一，是高考考查的重要知識點。構(gòu)造函數(shù)建立在對數(shù)學(xué)問題深入理解的基礎(chǔ)上，對學(xué)生的綜合能力要求較高。為使學(xué)生掌握應(yīng)用構(gòu)造函數(shù)解決相關(guān)習(xí)題的思路與方法，使其樹立解題自信，應(yīng)做好相關(guān)數(shù)學(xué)習(xí)題的歸類，展示構(gòu)造函數(shù)在不同題型中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);解題;構(gòu)造函數(shù);應(yīng)用

從構(gòu)造函數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用來看，構(gòu)造函數(shù)主要分為兩種類型：構(gòu)造學(xué)習(xí)過的函數(shù)、構(gòu)造陌生的函數(shù)。大多數(shù)習(xí)題需要構(gòu)造出陌生的函數(shù)，而研究陌生函數(shù)的最常用工具是導(dǎo)數(shù)，因此，應(yīng)用構(gòu)造函數(shù)解題時應(yīng)牢牢把握“構(gòu)造”“求導(dǎo)”兩個重要環(huán)節(jié)。

一、用于比較大小

運用構(gòu)造函數(shù)比較較為復(fù)雜式子的大小關(guān)系是近年來高考的重要題型之一。解答該類題型構(gòu)造函數(shù)僅僅是最為基礎(chǔ)的環(huán)節(jié)。構(gòu)造出函數(shù)后還需研究構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，通過比較函數(shù)的自變量大小得出最終的結(jié)果。

已知θ∈（0，），a=，b=c=，則a、b、c的大小關(guān)系為：__? ? ? ?___。

a、b、c表達式的格式較為一致。運用整體思想認真審視各表達式，找到其特征相同的部分，使用自變量x表示不難找到要構(gòu)造的函數(shù)。構(gòu)造出函數(shù)后，便將復(fù)雜的比較大小的問題轉(zhuǎn)化為比較自變量的問題。

構(gòu)造函數(shù)f（x）=，觀察可知f（2-x）=f（x），函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于x=1對稱;f'（x）=，當10，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，∴0

∵θ∈（0，），∴0b。由對稱性可知f（2cos2θ）f（sinθ），即，a>c，綜上可知b

二、用于求最值

求最值是高中數(shù)學(xué)較為常見的一類題型。根據(jù)經(jīng)驗求最值需要應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)，因此解題分為兩步：（一）確定函數(shù)。根據(jù)題干創(chuàng)設(shè)的情境，明確函數(shù)是否是基本函數(shù)。如不是基本函數(shù)，及時構(gòu)造出新的函數(shù)。（二）確定函數(shù)性質(zhì)。求導(dǎo)后確定導(dǎo)函數(shù)在某個區(qū)間與零的大小關(guān)系，找到極值或最值。

已知函數(shù)f（x）=e3x-1，g（x）=+lnx，若f（m）=g（n），則n-m的最小值為_? ? ? ? ? ? ___。

分析該題可逆向推理。求“n-m的最小值”→確定n、m的表達式→構(gòu)造函數(shù)→研究構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性→計算出最小值。其中確定n、m的表達式需根據(jù)題意引入新的變量t，后續(xù)研究工作基于t的取值范圍。

根據(jù)題意，令f（m）=g（n）=t（t>0），則e3m-1=t，+lnn=t，lnn=t-。

∴3m-1=lnt，m=（lnt+1），n=，則n-m=-（lnt+1）

構(gòu)造函數(shù)H（t）=-（lnt+1）（t>0），H'（t）=-·，容易得到H'（t）在（0，+∞）為增函數(shù)，且當t=時，H'（t）=0。

∴當0時，H'（t）>0，H（t）為增函數(shù)，即，t=時H（t）取得極小值也就是最小值，則H（）=-（lnt+1）=1-（ln+1）=，即，n-m的最小值為。

三、用于解不等式

解答抽象函數(shù)的不等式是高中數(shù)學(xué)的難點問題。解答該類問題有個統(tǒng)一的思路：確定函數(shù)的單調(diào)性，運用題干條件將具體的數(shù)值轉(zhuǎn)化函數(shù)的值，去掉函數(shù)的對應(yīng)法則，運用不等式性質(zhì)求解。其中確定函數(shù)的單調(diào)性有時需在構(gòu)造函數(shù)的基礎(chǔ)上通過定義法、求導(dǎo)法等確定。將具體的值轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值時應(yīng)注重隱含條件的應(yīng)用。

已知函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且0≤x1

題干中給出的函數(shù)為抽象函數(shù)。破題時對求解的問題進行變形，構(gòu)造新的函數(shù)，借助已知條件確定其單調(diào)性。同時，注重R上的奇函數(shù)f（0）=0，這一隱含條件的應(yīng)用。

∵x-3≤f（x）≤x，∴-3≤f（x）-x≤0，構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-x

∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），∴g（-x）=f（-x）+x=--f（x）+x=-[f（x）-x]=-g（x），∴g（x）為R上的奇函數(shù)，則g（x）=0。

當0≤x1

∵f（-2）=1，∴g（-2）=f（-2）+2=3，∴-g（2）=3，則g（2）=-3，又∵g（0）=f（0）-0=0，∴-3≤f（x）-x≤0g（2）≤g（x）≤g（0），則2≤x≤0，∴不等式x-3≤f（x）≤x的解集為[0，2]。

四、用于求參數(shù)范圍

求解參數(shù)范圍的常規(guī)思路為分離參數(shù)。分離參數(shù)后往往會產(chǎn)生一個新的較為復(fù)雜的式子。構(gòu)造函數(shù)后運用導(dǎo)數(shù)對其性質(zhì)進行研究，在給定的取值范圍內(nèi)確定其最值，問題也就不難解決。

已知不等式|mx3-lnx|≥1（m>0），對（0，1]恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是__? ? ? ? ? ? ? __。

習(xí)題中的不等式帶有絕對值，去掉絕對值會形成兩個新的不等式，因此，需要分離參數(shù)，構(gòu)造新的函數(shù)后，對其進行分類討論，舍去不滿足題意的參數(shù)。

∵|mx3-lnx|≥1，∴mx3-lnx≥1或mx3-lnx≤-1

當mx3-lnx≤-1時，即，m≤，而當x=1時，=0，因此，當m>0時對（0，1]不恒成立。接下來主要研究mx3-lnx≥1的情況，整理得到：m≥。

構(gòu)造函數(shù)f（x）=，f'（x）==，令f'（x）>0，解得0

五、用于證明結(jié)論

研究陌生函數(shù)的性質(zhì)時往往在求導(dǎo)后構(gòu)造新的函數(shù)，方便對該新函數(shù)的性質(zhì)繼續(xù)進行研究，從而更加準確地把握原函數(shù)的變化趨勢，掌握原函數(shù)與自變量之間的關(guān)系，推理出要證明的結(jié)論。

已知函數(shù)f（x）=ex-x2-2x，證明：f（x）存在唯一極小值點x0，且-2

習(xí)題題干較為簡單，但難度并不小，需要靈活運用導(dǎo)數(shù)知識研究原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的變化情況，以確定原函數(shù)極小值的唯一性。同時根據(jù)原函數(shù)取得極值時與導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系，確定極小值的取值范圍，最終通過等價代換找到函數(shù)極小值的取值范圍。

∵f（x）=ex-x2-2x，f'（x）=ex-2x-2，接下來構(gòu)造函數(shù)

令g（x）=ex-2x-2，則g'（x）=ex-2，令g’（x）=0，解得x=ln2，即，當xln2時，g’（x）>0，g（x）遞增;則g（x）在x=ln2處取得極小值，g（ln2）=-2ln2<0，表明g（x）一定存在兩個零點，分別對應(yīng)函數(shù)f（x）的極大值和極小值。設(shè)極小值點為x0，則g（x0）=-2x0-2=0，f（x0）=-x02-2x0=2-x02。

∵g（）=-5<0，g（2）=e2-6>0，表明x0∈（，2），而f（x0）=2-x02∈（-2，-）得證。

結(jié)束語

構(gòu)造函數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中有著廣泛的應(yīng)用。為使學(xué)生掌握不同數(shù)學(xué)題型的構(gòu)造思路，構(gòu)造出正確的函數(shù)，為后續(xù)解題的順利進行做好鋪墊，應(yīng)針對不同題型做好構(gòu)造思路的總結(jié)，并展示構(gòu)造函數(shù)的具體實現(xiàn)過程，使學(xué)生更好地把握構(gòu)造細節(jié)。

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