Ince-Gaussian矢量光場(chǎng)束腰位置對(duì)緊聚焦特性影響的研究

何金楓，王吉明*，劉友文，路元?jiǎng)?/p>

(1.南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 應(yīng)用物理系，南京 211106;2.南京航空航天大學(xué) 航天學(xué)院 航天光電信息系, 南京 211106)

引 言

矢量光場(chǎng)是一種近年來受到廣泛關(guān)注的新型激光場(chǎng)，其偏振態(tài)在橫向傳輸截面上呈局域化非均勻分布。矢量光場(chǎng)的空間光強(qiáng)與偏振具備空域的可調(diào)控性，可充分利用各種靈活的調(diào)控方式進(jìn)行調(diào)控，豐富了激光的輸出特征，在激光技術(shù)領(lǐng)域有著重要應(yīng)用前景。矢量光場(chǎng)經(jīng)緊聚焦后的聚焦場(chǎng)具有獨(dú)特的矢量化特征，其聚焦特性在多個(gè)領(lǐng)域獲得了深入的研究[1-4]，如光學(xué)微納捕獲與操控[5-7]、光學(xué)微加工[8-9]、光學(xué)信息存儲(chǔ)[10-11]以及光學(xué)顯微成像技術(shù)[12]等領(lǐng)域。

作為近軸波動(dòng)方程(paraxial wave equation，PWE)在橢圓坐標(biāo)系下準(zhǔn)確正交解的第3類完整解系，Ince-Gaussian(IG)模式是Hermite-Gaussian(HG)和Laguerre-Gaussian(LG)模式之間的連續(xù)過渡模式[13]。IG激光模式在2004年由BANDRES等人提出并在實(shí)驗(yàn)上獲得驗(yàn)證[14-16]。IG模式由于可以轉(zhuǎn)換成LG模式和HG模式，是一種更具有普遍性的激光模式，有望在微粒操控[17-18]、生物醫(yī)學(xué)[19]、光學(xué)通信[20-21]、量子信息處理等方面獲得有更廣闊的應(yīng)用。近年來，基于IG模式的標(biāo)量光場(chǎng)已經(jīng)進(jìn)行了較為系統(tǒng)的研究[13]。IG模式的產(chǎn)生主要有兩類方式:一類是被動(dòng)(腔外)產(chǎn)生方式，包括使用液晶器件和數(shù)字微鏡器件(digital micromirror device,DMD)等方式；另一類是主動(dòng)(腔內(nèi))產(chǎn)生方式，主要是通過打破諧振腔的對(duì)稱性和控制光的增益和損耗來直接產(chǎn)生。具有復(fù)雜空間模結(jié)構(gòu)復(fù)雜渦旋和奇點(diǎn)IG模式的生成為量子信息處理提供了有效操控對(duì)象。IG模式也在生物細(xì)胞激光器領(lǐng)域被發(fā)現(xiàn)，證實(shí)其是自然存在的一種基本輻射模式[19]。但需要指出的是，作為結(jié)構(gòu)光場(chǎng)重要特性之一的偏振特性，在IG模式模式光場(chǎng)中的研究尚未充分，正開始受到關(guān)注。IG模式激光不僅包含奇模和偶模，而且不同橢圓參數(shù)的IG模式光強(qiáng)分布也不相同，由IG模式獲得的新型矢量光場(chǎng)在緊聚焦條件下會(huì)表現(xiàn)出豐富的光學(xué)結(jié)構(gòu)。如最近報(bào)道的Ince-Gaussian矢量激光場(chǎng)，在復(fù)雜偏振態(tài)中發(fā)現(xiàn)了嵌入式的擴(kuò)展奇點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，其偏振矢量結(jié)構(gòu)被證實(shí)具有空間穩(wěn)定性[22]，可推動(dòng)基于偏振調(diào)制的米氏粒子光學(xué)捕獲[23]。因此，本文中通過Richards-Wolf矢量衍射理論，對(duì)IG矢量光場(chǎng)在不同入射條件下的緊聚焦特性進(jìn)行研究，分析了入射光場(chǎng)束腰位置對(duì)聚焦特性的影響，證明了緊聚焦條件下透鏡位于一定范圍內(nèi)時(shí)橫向結(jié)構(gòu)依然保持穩(wěn)定性，同時(shí)縱向偏振分量會(huì)對(duì)聚焦場(chǎng)的光強(qiáng)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生重要影響。

1 IG矢量光場(chǎng)的數(shù)學(xué)描述

在橫截面z定義橢圓坐標(biāo)：x=f(z)coshξcosη，y=f(z)sinhξsinη，其中f(z)是與z有關(guān)的半焦距，ξ∈[0,∞),η∈[0,2π)分別是徑向、角向變量，并且ξ的等值線為共焦的橢圓，η的等值線為共焦的雙曲線。近軸波動(dòng)方程在橢圓坐標(biāo)系下可以得到兩組獨(dú)立波動(dòng)方程解，分別為[14, 16]:

(1)

(2)

一般地，柱對(duì)稱矢量光場(chǎng)可以看成是兩個(gè)正交偏振分量的疊加[24]。同樣，兩個(gè)具有偶模和奇模IG模式的正交偏振分量的疊加，可以構(gòu)建具有IG模式的矢量光場(chǎng)，即IGV(Ince-Gaussian vectorial)光場(chǎng)。廣義的IGV光場(chǎng)可以用瓊斯矢量表示為:

(3)

2 IGV光場(chǎng)緊聚焦理論

IGV光束的緊聚焦特性可以通過Richards-Wolf矢量衍射方法來進(jìn)行數(shù)值分析[25-26]。圖1為IGV光束的緊聚焦示意圖。一個(gè)高數(shù)值孔徑(numerical aperture，NA)的透鏡聚焦入射的IGV光束，該透鏡滿足正弦條件,半徑r=fsinθ(f為焦距)。透鏡光瞳面Pi(xi,yi)處的IGV光束經(jīng)過聚焦之后，在焦點(diǎn)(xf,yf,zf)附近的光場(chǎng)為:

Fig.1 A schematic diagram of tightly focusing IGV beams

exp{-ik[rsinθcos(φ-φ) +zfcosθ]}dxidyi

(4)

3 IGV光場(chǎng)的緊聚焦特性分析

設(shè)入射IGV矢量光場(chǎng)的束腰位置距離透鏡為zi。當(dāng)入射IGV光場(chǎng)束腰位于聚焦透鏡中心處即zi=0時(shí)，IGV矢量光場(chǎng)在聚焦過程中將保持結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，這在WANG和ZHAN等人的前期工作中已被證實(shí)。但對(duì)于IGV光場(chǎng)的束腰位置與聚焦場(chǎng)特性之間的關(guān)系，尚未進(jìn)行相關(guān)的研究。根據(jù)(1)式和(2)式，本文中研究在px=py及δ=0條件下，通過(4)式Richards-Wolf矢量衍射積分理論，對(duì)IGV矢量光場(chǎng)在非束腰位置(zi≠0)情況下的緊聚焦特性進(jìn)行分析。需要說明的是，x,y分量初始相位差δ≠0時(shí)，入射IGV光場(chǎng)會(huì)失去局域線偏振特性，出現(xiàn)橢圓或圓偏振的局域化分布特征，聚焦后焦平面上也會(huì)失去局域化線偏振特征，但在聚焦過程中的光場(chǎng)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性與束腰位置變之間的規(guī)律與δ=0時(shí)是一致的，因此本文中僅通過δ=0的情況來予以分析說明。

圖2a～圖2c中給出了束腰位置zi=0時(shí)入射IGV光場(chǎng)、x偏振分量Exi和y偏振分量Eyi光強(qiáng)結(jié)構(gòu)(Ixiyi,Ixi和Iyi)，及IGV光場(chǎng)的偏振分布。圖2d～圖2f以及圖3～圖6中給出的是在焦平面具有局域偏振方向的橫向光強(qiáng)分布(Ixfyf,Izf和If)。比較圖2～圖6中不同束腰位置時(shí)對(duì)應(yīng)的焦場(chǎng)光強(qiáng)分布Ixfyf，可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)入射光場(chǎng)束腰位置zi<0.5zR時(shí)，緊聚焦過程中矢量光場(chǎng)的橫向光場(chǎng)始終保持了穩(wěn)定性，橫向場(chǎng)的光強(qiáng)分布(Ixfyf)和偏振結(jié)構(gòu)基本與入射光場(chǎng)一致，橫向光場(chǎng)分布區(qū)域變化不大，但軸向光場(chǎng)(Izf)的聚焦質(zhì)量會(huì)逐漸變差，逐漸出現(xiàn)光暈,如圖4所示。當(dāng)入射光場(chǎng)束腰位置zi>0.5zR時(shí)，其聚焦場(chǎng)的橫向結(jié)構(gòu)矢量特性出現(xiàn)變化，開始出現(xiàn)明顯的局域性橢圓偏振，但大體上還是呈現(xiàn)線偏振分布。在入射束腰位置變化到zi=zR時(shí)，與入射場(chǎng)相比，聚焦場(chǎng)中的橫向場(chǎng)(Ixfyf)的偏振結(jié)構(gòu)和光強(qiáng)分布都發(fā)生了明顯的畸變。

Fig.2 The incident IGV field EIGV (e441,o423) and the corresponding tightly focusing field when the beam waist position zi=0 (dNA=0.95,δ=0)

Fig.3 The corresponding tightly focusing field of the incident IGV light field EIGV (e441,o423) when the beam waist position zi=0.3zR (dNA=0.95,δ=0)

Fig.4 The corresponding tightly focusing field of the incident IGV light field EIGV (e441,o423) when the beam waist position zi=0.5zR (dNA=0.95,δ=0)

Fig.5 The corresponding tightly focusing field of the incident IGV light field EIGV (e441,o423) when the beam waist position zi=0.7zR (dNA=0.95,δ=0)

Fig.6 The corresponding tightly focusing field of the incident IGV light field EIGV (e441, o423) when the beam waist position zi=zR (dNA=0.95,δ=0)

以zi=zR為例，通過聚焦前后光場(chǎng)的相位分布特征的變化，來分析聚焦場(chǎng)橫向結(jié)構(gòu)產(chǎn)生局域橢圓偏振的原因。圖7和圖8中分別給出了入射光場(chǎng)束腰位置zi為0和zR時(shí)，聚焦場(chǎng)中橫向光場(chǎng)和軸向偏振分量的相位分布圖。zi=0時(shí)，聚焦橫向光場(chǎng)的偏振分布為線偏振的原因，是由于聚焦場(chǎng)x,y分量在疊加位置的相位差為0或±π，這一點(diǎn)可以從圖7中聚焦場(chǎng)x偏振分量、y偏振分量Exf和Eyf的相位分布圖得出。而zi=zR時(shí)，由圖8中Exf，Eyf可以看到,在焦場(chǎng)x,y兩分量疊加位置處會(huì)出現(xiàn)相位差為π/4等這類情況，所以在這些位置會(huì)出現(xiàn)橢圓偏振。圖6中，淺灰色橢圓表示左旋方向，深灰色橢圓表示右旋方向。其中，可以看到,聚焦場(chǎng)橫截面的局域橢圓偏振態(tài)的旋向關(guān)于對(duì)稱軸是相反的。這是因?yàn)榻箞?chǎng)x分量的相位分布關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，而y分量相位分布關(guān)于坐標(biāo)軸相反，所以導(dǎo)致垂直疊加后的橢圓偏振旋向相反。

Fig.7 The phase distribution of the polarization components of the focusing field corresponding to EIGV (e441,o423) at the incident waist position zi=0

Fig.8 The phase distribution of the polarization components of the focusing field corresponding to EIGV (e441, o423) at the incident waist position zi=zR

在緊聚焦的條件下，縱向場(chǎng)Izf非常重要，會(huì)影響整個(gè)聚焦場(chǎng)的分布。從圖2～圖6中的聚焦場(chǎng)光強(qiáng)分布可以發(fā)現(xiàn)，縱向場(chǎng)(Izf)隨著入射位置zi的增大，其光強(qiáng)圖案的變化也越大，特別是在zi>0.5zR時(shí)它的光強(qiáng)結(jié)構(gòu)變化得愈發(fā)明顯。由圖8可以看出，在zi=zR時(shí)，縱向場(chǎng)的相位分布不再是每個(gè)相鄰的區(qū)域是相反且呈現(xiàn)±π/2的階躍式分布(zi=0時(shí))，而是在[-π,π]之間每個(gè)區(qū)域呈現(xiàn)類環(huán)帶分布?？v向場(chǎng)結(jié)構(gòu)會(huì)對(duì)焦點(diǎn)附近的總場(chǎng)圖案產(chǎn)生影響。由圖2～圖6中的焦平面總的強(qiáng)度分布If可以看到，由于縱向場(chǎng)光強(qiáng)圖案隨著zi增大而發(fā)生的變化越來越突出，焦場(chǎng)總的光強(qiáng)圖案If的變化也越來越明顯，特別是在zi>0.5zR時(shí)這種現(xiàn)象尤其明顯。在zi=zR時(shí)，聚焦縱向場(chǎng)分量幾乎控制了整個(gè)總焦場(chǎng)的光強(qiáng)圖案，如圖6所示，整個(gè)焦場(chǎng)的總光強(qiáng)圖案發(fā)生了明顯的畸變。

以上以階數(shù)p=4為例進(jìn)行了IGV光場(chǎng)束腰位置對(duì)緊聚焦特性影響的研究。對(duì)于其它各階數(shù)和級(jí)數(shù)的IGV光場(chǎng)，不同參量只會(huì)影響光場(chǎng)的復(fù)雜程度，但束腰位置改變對(duì)聚焦特性的影響規(guī)律都是一樣的。

4 結(jié) 論

綜上所述，本文中根據(jù)矢量光場(chǎng)的衍射積分理論，研究了一種新型的IG矢量光場(chǎng)的聚焦特性，對(duì)入射矢量場(chǎng)的束腰位置變化時(shí)，IGV光束經(jīng)過高數(shù)值孔徑透鏡的緊聚焦特性進(jìn)行了研究。研究結(jié)果顯示，在緊聚焦條件下，當(dāng)px=py時(shí)，束腰位置在一定范圍內(nèi)的入射光場(chǎng)(zi<0.5zR)，其IGV橫向聚焦場(chǎng)的矢量模式依然保持穩(wěn)定性。但若束腰位置超過了一定范圍(zi>0.5zR)，聚焦橫向光場(chǎng)的結(jié)構(gòu)不再保持穩(wěn)定性。同時(shí)，軸向聚焦光場(chǎng)聚焦特性也會(huì)隨之變化。這項(xiàng)研究工作的結(jié)果，將有助于深入理解復(fù)雜結(jié)構(gòu)光場(chǎng)的聚焦特性，推進(jìn)新型矢量光場(chǎng)在微納尺度的應(yīng)用基礎(chǔ)研究，在多粒子捕獲與操控、多自由度信息存儲(chǔ)等研究領(lǐng)域提供有用的研究參考價(jià)值。