常數(shù)變易法在微分、差分方程中的應(yīng)用

任國(guó)靜

( 山東財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院，250014，濟(jì)南 )

1 引 言

常數(shù)變易法是常微分方程研究中所特有的一種求解方法.目前，常微分方程教材中，通常只介紹線性微分方程的常數(shù)變易法，包括一階線性方程、高階線性方程，以及一階線性方程組[1-3].因此，常數(shù)變易法被看作是連接線性非齊次微分方程與相應(yīng)的齊次方程的橋梁.近年來(lái)，已有多位學(xué)者探討了常數(shù)變易法在微分方程求解中的應(yīng)用[4-6]. 除了進(jìn)行定量的計(jì)算，常數(shù)變易法在研究微分方程定性理論中也有重要應(yīng)用，例如，在證明關(guān)于形式自伴微分算子的最大虧指數(shù)定理時(shí)用到了常數(shù)變易法[7].通過(guò)深入的分析，我們揭示了常數(shù)變易法的本質(zhì)思想，并將這種方法應(yīng)用于非線性微分方程的求解.另外，差分方程可以看成是微分方程的離散化，因而也可以用常數(shù)變易法求解[8,9].不論是高階線性差分方程，還是一階向量差分方程，只要知道對(duì)應(yīng)齊次方程的通解，即可用常數(shù)變易法求出非齊次方程的通解.

2 常數(shù)變易法的本質(zhì)思想

y′=p(x)y+q(x)，

(1)

注意到y(tǒng)=y(x)是x的函數(shù)，方程右邊可以寫成y(p(x)+q(x)y-1(x)).形式上分離變量、兩邊積分得

再代入形式解可得方程(1)的通解為

3 常數(shù)變易法在微分方程和差分方程中的推廣

抓住常數(shù)變易法的思想本質(zhì)，可以將其應(yīng)用于非線性微分方程和差分方程的求解中.下面將分別給出幾類微分方程和差分方程的求解方法和求解公式.

3.1一階非線性微分方程考慮如下形式的一階非線性微分方程

y′=p(x)q(y)+H(x,y).

(2)

c′(x)=q-1(y)H(x,y).

(3)

方程(3)是以c(x)為未知函數(shù)的一階微分方程. 理論上，只要能由(3)求出c=c(x)，便可得到方程(2)的通解.特別地，如果H(x,y)可以寫成以下形式

(4)

則由方程(4)可得c′(x)=h1(x)h2(c)，這是關(guān)于c(x)的變量可分離方程. 如果H(x,y)可以寫成以下形式

(5)

則由方程(3)可得c′(x)=h1(x)c(x)+h2(x)cn(x),這是關(guān)于c(x)的一階線性方程(n=0,1)或者伯努利方程(n≠0,1)，求出c(x)便可得到方程(2)的通解.下面對(duì)于方程(4)和(5)，給出q(y)和H(x,y)的幾類具體形式和通解公式.

(6)

情況1H(x,y)=q(x)yn,n≠0,1.

從而得到伯努利方程為

情況3H(x,y)=h(y/x)，且p(x)=1/x.

此時(shí)方程(2)為通常所說(shuō)的齊次方程.對(duì)這種方程，在一般教材中是做替換u=y/x，把它化為變量分離方程.這里用常數(shù)變易法求解.首先求出方程y′=y/x的通解為y=cx，再令y=c(x)x代入原方程得c′(x)x=h[c(x)].分離變量，兩邊積分求出c(x)，便可得到原方程的通解.

(7)

如果H(x,y)與y無(wú)關(guān)，則方程(7)是關(guān)于c(x)的一階線性非齊次方程.

對(duì)于上述兩種情況，利用3.1.1的方法或者直接利用公式求出c(x)，便可得到原方程的通解.

代入(3)式得

(8)

如果H(x,y)=h1(x)h-1(y)，則方程(8)是關(guān)于c(x)的一階線性非齊次方程.同樣，利用3.1.1的方法求出c(x)，便可得到原方程的通解.

3.2線性差分方程本節(jié)將常數(shù)變易法的思想應(yīng)用到差分方程的求解中.如果已知線性齊次差分方程的通解， 則利用常數(shù)變易法可求出原線性非齊次方程的通解. 以下分別對(duì)n階線性差分方程和一階向量差分方程給出求解方法和通解公式.

3.2.1n階線性差分方程n階線性差分方程的一般形式為

x(t+n)+a1(t)x(t+n-1)+…+an(t)x(t)=f(t),t∈Z+，

(9)

其中f(t),ai(t),i=1,2,…,n，是已知離散變量的函數(shù)，an(t)≠0.假設(shè)x1(t),x2(t),…,xn(t)是方程(9)對(duì)應(yīng)的齊次方程x(t+n)+a1(t)x(t+n-1)+…+an(t)x(t)=0的一個(gè)基礎(chǔ)解組(即n個(gè)線性無(wú)關(guān)解)，則該齊次方程的通解為x(n)=c1x1(t)+c2x2(t)+…+cnxn(t).下面用常數(shù)變易法求方程(9)的通解.令

x(t)=c1(t)x1(t)+c2(t)x2(t)+…+cn(t)xn(t)

(10)

是方程(9)的解，由(10)式得

x(t+1)=c1(t)x1(t+1)+c2(t)x2(t+1)+…+cn(t)xn(t+1)

+Δc1(t)x1(t+1)+Δc2(t)x2(t+1)+…+Δcn(t)xn(t+1),

(11)

這里Δc(t)=c(t+1)-c(t).令Δc1(t)x1(t+1)+Δc2(t)x2(t+1)+…+Δcn(t)xn(t+1)=0并代入(11)式得

x(t+1)=c1(t)x1(t+1)+c2(t)x2(t+1)+…+cn(t)xn(t+1).

重復(fù)上面的過(guò)程n-1次，可以得到

x(t+k)=c1(t)x1(t+k)+c2(t)x2(t+k)+…+cn(t)xn(t+k)，k=1,2,…,n-1,

(12)

且

Δc1(t)x1(t+k)+Δc2(t)x2(t+k)+…+Δcn(t)xn(t+k)=0,k=1,2,…,n-1.

(13)

將(10)式和(12)式代入方程(9)得

Δc1(t)x1(t+n)+Δc2(t)x2(t+n)+…+Δcn(t)xn(t+n)=f(t).

(14)

注意到(13)式和(14)式是關(guān)于Δci(t)的線性方程組，即

記

(15)

這里ci為任意常數(shù)，Wi(t)是用(0,…0,1)T替換W(t)中的第i列所得的行列式.再將(15)式代入(10)式便可得到方程(9)的通解公式為

(16)

特別地， 當(dāng)n=2時(shí)， 公式(16)可以寫成

(17)

由此可以看出， 與線性微分方程類似，線性差分方程初值問(wèn)題的解是存在唯一的，且其通解等于它的一個(gè)特解加上其對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解.

3.2.2 一階向量差分方程 一階向量差分方程的一般形式為

X(t+1)=A(t)X(t)+B(t),t∈Z+，

(18)

進(jìn)一步可求得

從而方程(18)的通解為

3.3 算 例

例1求方程y′=-12x-3ey-x(e-y+6x-2)的通解.

解這是一階非線性微分方程.先解方程y′=-12x-3ey，它的通解是e-y=-6x-2+c.令原方程的解為e-y=-6x-2+c(x)，代入原方程化簡(jiǎn)得c′(x)=6x-1·c(x)-x·c2(x).這是關(guān)于c(x)的伯努利方程，可以求得c(x)=(cx-6+x2/8)-1.原方程的通解為e-y=-6x-2+(cx-6+x2/8)-1,其中c為任意常數(shù).

例2求差分方程x(t+2)-7x(t+1)+6x(t)=t的通解.

解原方程對(duì)應(yīng)的齊次差分方程x(t+2)-7x(t+1)+6x(t)=0是常系數(shù)方程，利用特征方程可以求出該方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解分別為x1(t)=1,x2(t)=6t. 令x(t)=c1(t)+6tc2(t)，代入原方程，或直接由方程(15)得c1(t)=-t(t-1)/10+c1,c2(t)=-t/25·6-t+c2.進(jìn)而可求得方程的通解為

4 結(jié) 語(yǔ)

由上面的討論和算例可以看到，常數(shù)變易法在微分方程和差分方程求解中顯示出了巨大的威力.常數(shù)變易法實(shí)際上是一種變量替換，通過(guò)這種變量替換，可以將不容易直接利用初等積分法求解的復(fù)雜方程，轉(zhuǎn)化成已知的、可求解的方程類型，進(jìn)而求出原方程的通解.