核心素養(yǎng)視域下的“直線與平面垂直的判定”教學(xué)案例分析

陳靜安　孟勝奇　楊彩如

摘? 要：運(yùn)用案例分析法，探究“直線與平面垂直的判定”課題的教學(xué)目標(biāo)界定及其教學(xué)設(shè)計(jì)策略，凸顯學(xué)生在問題情境的驅(qū)動下，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作、觀察比較、抽象概括，經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出圖形關(guān)系，建構(gòu)直線與平面垂直的概念界定，引領(lǐng)學(xué)生探究將無限的線線垂直問題轉(zhuǎn)化為有限的線線垂直的判定方法的再發(fā)現(xiàn)過程，從中發(fā)展學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生比較辨析、發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新的意識和精神，感悟數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐并服務(wù)于實(shí)踐的應(yīng)用價值、科學(xué)價值、審美價值.

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);轉(zhuǎn)化思想;數(shù)學(xué)抽象;圖形關(guān)系

一、問題背景

20世紀(jì)90年代以來，國際數(shù)學(xué)教育改革對傳統(tǒng)歐幾里得幾何教學(xué)的定位和幾何推理的教學(xué)要求發(fā)生了變化，減弱了對演繹推理的要求，強(qiáng)調(diào)學(xué)生從現(xiàn)實(shí)問題或情境出發(fā)，運(yùn)用合情推理進(jìn)行再發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造的能力. 從單一注重幾何的邏輯推理，轉(zhuǎn)向強(qiáng)調(diào)全方位發(fā)揮幾何的教育價值，特別是幾何在發(fā)展學(xué)生直觀想象素養(yǎng)，以及觀察、實(shí)驗(yàn)、類比、歸納等動手實(shí)踐能力和發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新思維方面的教育價值. 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）也明確指出，立體幾何研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系. 人們通常采用直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證、度量計(jì)算等認(rèn)識和探索空間圖形的性質(zhì)，建立空間觀念. 在《標(biāo)準(zhǔn)》及教材中，關(guān)于直線與平面的位置關(guān)系主要討論了平行與垂直兩種，而在平行與垂直位置關(guān)系中又重點(diǎn)研究其性質(zhì)定理與判定定理.

關(guān)于“基本圖形位置關(guān)系”這一部分內(nèi)容，《標(biāo)準(zhǔn)》在第四部分課程內(nèi)容中明確提出的教學(xué)要求為以下幾個方面：① 借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行和垂直關(guān)系. ② 從立體幾何的定義和基本事實(shí)出發(fā)，借助長方體，通過直觀感知，歸納出空間中線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理. ③ 能用已獲得的結(jié)論證明空間基本圖形位置關(guān)系的簡單命題. 進(jìn)一步追溯直線與平面垂直的判定的來龍去脈，不難發(fā)現(xiàn)它既是空間中線線垂直關(guān)系的拓展，又是連接面面垂直關(guān)系的紐帶. 同時，也為今后研究空間角與距離的度量等打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ). 因此，它作為立體幾何中的基礎(chǔ)知識，是最重要的空間位置關(guān)系.

《標(biāo)準(zhǔn)》是國家對基礎(chǔ)教育課程的基本規(guī)范和質(zhì)量要求，它是教材編寫、教學(xué)評價和考試命題的依據(jù)，是國家評價課程、進(jìn)行教學(xué)質(zhì)量檢測的基礎(chǔ). 它反映著國家對高中階段的學(xué)生在“四基”“四能”和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)及情感態(tài)度與價值觀發(fā)展等方面的基本要求. 根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》的要求和對教材的具體分析，相對于傳統(tǒng)的教學(xué)大綱和教材，新課程對一些內(nèi)容的定位發(fā)生了變化. 上述判定定理不要求證明，但是要求學(xué)生能夠理解這些判定定理，并學(xué)會用它們?nèi)シ治龊徒鉀Q一些簡單的問題. 因此教師使用教材教學(xué)面臨的一個關(guān)鍵問題就是在不要求證明的前提下，在課堂上如何講授線面垂直的判定定理. 這與傳統(tǒng)的教學(xué)處理有很大不同. 因此，我們的核心問題是： 如果不證明判定定理，如何幫助學(xué)生認(rèn)識、理解和掌握點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系及其判定定理，如何運(yùn)用它去分析和解決問題.

二、聚焦核心素養(yǎng)發(fā)展的教材分析與學(xué)情分析

1. 教材分析

教材是教學(xué)的藍(lán)本和教學(xué)目標(biāo)制定的具體依據(jù). 先簡述“直線與平面垂直的判定”在教材內(nèi)容中的編排順序與呈現(xiàn)方式，進(jìn)而剖析該課題中所包括的知識點(diǎn)，知識點(diǎn)發(fā)生、發(fā)展的因果邏輯關(guān)系，以及其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想與方法.

不論是人教版教材還是北師大版教材，該課題先借助類似旗桿與其地面上影子的位置關(guān)系的討論，引領(lǐng)學(xué)生觀察、辨析、探究、發(fā)現(xiàn). 雖然影子隨著時間及日照的變化而變換位置，但是旗桿和其影子的垂直關(guān)系不變，旨在引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)旗桿所表征的直線與其影子所確定和表征的平面（即地面）的垂直關(guān)系不變，并且通過平移旗桿發(fā)現(xiàn)，平面上的任意直線都與旗桿垂直，在此基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)和抽象出直線與平面垂直就是直線與平面上的任意（所有）直線都垂直，進(jìn)而建構(gòu)與揭示直線與平面垂直的概念. 本課題蘊(yùn)涵了“空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題”“無限轉(zhuǎn)化為有限”“空間線面關(guān)系界定轉(zhuǎn)化為空間線線關(guān)系定義”的數(shù)學(xué)思想方法.

接下來提出問題：如何判斷一條直線與一個平面垂直？并借助具體問題“如果一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，能否判斷這條直線與這個平面垂直”引發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并思考，激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知需求. 通過將三角形紙片翻折后豎起放置在桌面上的動手操作，引領(lǐng)學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)可以將無限的線線垂直問題轉(zhuǎn)化為有限的線線垂直的判定，蘊(yùn)涵了將空間無限的線線關(guān)系判斷轉(zhuǎn)化為空間有限的（三條）線線關(guān)系判斷的思想與方法. 最后，教材設(shè)置了難度依次遞進(jìn)的例1至例3，幫助學(xué)生深化理解和鞏固運(yùn)用判定定理.

相對于高中生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、思維水平和認(rèn)知心理特點(diǎn)而言，無論是將空間線面關(guān)系概念界定轉(zhuǎn)化為空間線線關(guān)系定義，還是將空間無限的線線關(guān)系判斷轉(zhuǎn)化為空間有限的（三條）線線關(guān)系判斷，都是學(xué)生所不熟悉和不易想到的. 因此，這兩個方面既是本節(jié)課的重點(diǎn)也是教學(xué)的難點(diǎn). 尤其是判定定理的表述形式與運(yùn)用，定理中涉及一面、一點(diǎn)、三條線，以及線面、線線、點(diǎn)線、點(diǎn)面等諸多關(guān)系，哪些是已知關(guān)系哪些是未知關(guān)系，先講什么后講什么，以及幾何教學(xué)具有的文字、圖形、符號三種語言之間的轉(zhuǎn)換互譯，都要求和考驗(yàn)著教師作為課堂教學(xué)設(shè)計(jì)者、組織者和引導(dǎo)者的能力.

綜上所述，掌握“直線與平面垂直的判定”這部分內(nèi)容中涉及的概念、作圖、判定等知識與技能，發(fā)展學(xué)生的空間觀念，提高學(xué)生的觀察能力和空間想象能力，以及數(shù)學(xué)圖形、自然語言、符號語言的互譯轉(zhuǎn)化能力，實(shí)現(xiàn)從平面圖形到立體圖形的認(rèn)知飛躍，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)都至關(guān)重要.

2. 學(xué)情分析

在“空間中的線面平行”課題學(xué)習(xí)中，學(xué)生已初步形成了數(shù)學(xué)直觀，積累了借助幾何直觀對空間圖形整體把握及線面關(guān)系局部分析的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生已具有一定的學(xué)習(xí)興趣、參與意識，以及初步的直觀想象、自主探究能力. 但對空間中的線面平行與垂直位置關(guān)系的認(rèn)知和數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)有限，學(xué)生的抽象概括能力、空間思維能力還有待提高. 尤其是對于線面垂直概念中“任一條直線”指的是“所有直線”，對于直線與平面垂直的判定定理中，為什么至少要兩條直線，并且是兩條相交直線等問題的理解仍存在諸多困難. 對于將無限轉(zhuǎn)化為有限的可行性、必要性的認(rèn)識也困難重重. 同時，部分學(xué)生對于教材中線面垂直判定定理的發(fā)現(xiàn)路徑比較陌生. 此外，由于學(xué)生的直觀想象能力、邏輯推理能力差次不齊，在運(yùn)用直線與平面垂直判定定理解決問題時，如何選擇平面內(nèi)的兩條相交直線去解決線面垂直問題，因?yàn)槿狈?jīng)驗(yàn)學(xué)生經(jīng)常無從下手或容易發(fā)生錯誤.

三、“直線與平面垂直的判定”教學(xué)案例

以下教學(xué)設(shè)計(jì)與教學(xué)實(shí)錄概述來自某省高中數(shù)學(xué)教師全員培訓(xùn)的網(wǎng)絡(luò)課程“直線與平面垂直的判定”.

1. 教學(xué)設(shè)計(jì)概述

本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)設(shè)置如下.

（1）理解直線與平面垂直的概念及判定定理;能用直線與平面垂直的判定定理證明或解決一些簡單問題.

（2）經(jīng)歷對相關(guān)現(xiàn)實(shí)情境和空間圖形的觀察，抽象概括出直線與平面垂直的概念，并通過操作、辨析，歸納出直線與平面垂直的判定定理. 在探索、發(fā)現(xiàn)新知的過程中，感悟數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力以及直觀想象能力和邏輯推理能力.

（3）學(xué)生經(jīng)歷觀察、探究、發(fā)現(xiàn)、證明的數(shù)學(xué)活動，發(fā)展團(tuán)隊(duì)合作和自主探究意識，體驗(yàn)探索發(fā)現(xiàn)的樂趣，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和信心.

教學(xué)重點(diǎn)：直線與平面垂直的概念與判定定理的概括.

教學(xué)難點(diǎn)：直線與平面垂直的概念判定與判定定理中無限直線轉(zhuǎn)化為兩條相交直線的可行性理解.

教學(xué)方法：問題鏈 + 學(xué)生核心活動.

2. 教學(xué)過程

（1）復(fù)習(xí)舊知，提煉要點(diǎn).

問題1：我們已經(jīng)研究過空間中直線與平面的哪些位置關(guān)系？直線與平面平行是怎么研究的？

【設(shè)計(jì)意圖】通過回顧已學(xué)過的線面關(guān)系，鞏固學(xué)生知識基礎(chǔ)，讓學(xué)生進(jìn)一步領(lǐng)悟研究線面關(guān)系的思路方法.

明確以下兩點(diǎn)：

① 線面平行的研究內(nèi)容：概念—判定—性質(zhì)—應(yīng)用;

② 線面平行的研究方法：情境—抽象—概括—論證.

（2）從情境出發(fā)，發(fā)現(xiàn)問題.

問題2：空間中直線與平面的關(guān)系中，還有什么關(guān)系較為重要？

教師讓學(xué)生舉出生活中或空間幾何體中的一些直線與平面垂直的例子.

【設(shè)計(jì)意圖】通過直觀感知、比較辨析，確定新的研究內(nèi)容，并引導(dǎo)學(xué)生通過觀察教材中廣場上旗桿與地面之間的關(guān)系、教室里墻柱與天花板的關(guān)系等，發(fā)現(xiàn)直線與平面垂直的普遍現(xiàn)象，形成直線與平面垂直的實(shí)物表征，為進(jìn)一步探究直線與平面垂直搭建認(rèn)知支架.

（3）辨析探究，生成新知.

問題3：怎樣畫直線與平面垂直的直觀圖？

【設(shè)計(jì)意圖】將畫圖問題前置，不僅是因?yàn)閷W(xué)生已具備作此圖的能力，也為了便于深入研究線面垂直的內(nèi)涵.

隨后，教師拿一根教桿與桌面擺成垂直和斜交等情形，讓學(xué)生觀察、體會、領(lǐng)悟線面垂直的本質(zhì)特征.

問題4：直線與平面垂直的本質(zhì)特征是什么？能否嘗試給出直線與平面垂直的定義？

【設(shè)計(jì)意圖】根據(jù)實(shí)際例子豐富直線與平面垂直的初步形象，嘗試通過文字?jǐn)⑹鲋本€與平面垂直的定義.

定義：如果直線[l]與平面[α]內(nèi)的______，我們說直線[l]與平面[α]互相垂直，記作______. 直線[l]叫做平面[α]的______，平面[α]叫做直線[l]的______. 直線與平面垂直時，它們唯一的公共點(diǎn)[P]叫做______.

由線面垂直的定義，可得若直線[l]垂直于平面[α]，則直線[l]垂直于____________.

簡記：線面垂直，線線垂直.

符號：[______，______，]?______.

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生填寫定義，建立文字、圖形、符號這三種數(shù)學(xué)語言的相互轉(zhuǎn)化. 這一定義揭示了線面垂直的本質(zhì)，也就是直線與平面內(nèi)的任一條直線都垂直. 這正是不能將后續(xù)的判定定理作為線面垂直定義的原因.

問題5：怎樣才能簡便判斷直線與平面垂直？直線[l]垂直于平面[α]內(nèi)的一條直線，那么直線[l]和平面[α]垂直嗎？直線[l]垂直于平面[α]內(nèi)的兩條直線，那么直線[l]和平面[α]垂直嗎？

核心活動：教師讓學(xué)生拿出準(zhǔn)備好的三角形紙片，動手操作. 過三角形的頂點(diǎn)[A]翻折紙片，得到折痕[AD]，如圖1所示. 將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（[BD，DC]與桌面接觸），前后桌形成小組觀察并討論折痕[AD]與桌面是否垂直？

【設(shè)計(jì)意圖】用定義判斷線面垂直難以實(shí)現(xiàn). 因而，尋找簡便可行的判斷方法就成為下一步要研究的內(nèi)容，這正是思維沖突最為激烈的部分，故而設(shè)計(jì)了一個學(xué)生核心活動. 通過折紙實(shí)驗(yàn)與前后桌小組觀察討論，引領(lǐng)學(xué)生在觀察中比較，在比較中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)折痕[AD]是[BC]邊上的高時，且[B，D，C]不在同一直線上時，翻折之后豎起的折痕[AD]才與桌面形成垂直關(guān)系，如圖2所示. 否則，不能使[AD]與桌面垂直. 根據(jù)這一直觀操作，結(jié)合兩條相交直線可以確定一個平面，感知和發(fā)現(xiàn)將直線與平面內(nèi)所有直線都垂直的問題轉(zhuǎn)化為直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直的問題的可能性.

學(xué)生經(jīng)過操作，充分觀察、思考與討論后回答.

問題6：當(dāng)折痕[AD]與[BD，CD]具有怎樣關(guān)系時，折痕[AD]與桌面所在的平面垂直？此時[BD]與[CD]所在直線的位置關(guān)系是什么？與線面垂直概念的異同點(diǎn)是什么？

直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直.

【設(shè)計(jì)意圖】感悟線面垂直概念與判定定理之間將無限轉(zhuǎn)化為有限的可行性，幫助學(xué)生理解判定定理的必要性.

簡記：_____________________________.

特別注意：

① 定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;

② 定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

（4）應(yīng)用新知，鞏固強(qiáng)化.

練習(xí)1：判斷下列命題的真假.

① 如果一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線和這個平面垂直;

② 如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，那么這條直線和這個平面垂直.

練習(xí)2：一條直線和三角形的兩邊垂直，則這條直線和三角形的第三邊的位置關(guān)系是（? ? ）.

（A）平行 （B）垂直

（C）相交但不垂直 （D）不確定

【設(shè)計(jì)意圖】通過練習(xí)題深化直線與平面垂直的定義和應(yīng)用.

（5）拓展深化，發(fā)現(xiàn)新知.

在變化過程中，斜線與平面的位置關(guān)系給我們以怎樣的形象？怎樣定義直線與平面所成的角呢？

直線與平面所成的角：平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角.

（6）經(jīng)典題例，解析講評.

例1? 判斷：若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面.

無師生雙方教學(xué)活動設(shè)計(jì).

例2? 有一根旗桿[AB]高8 m，它的頂端[A]掛有一條長10 m的繩子，另外還有一把卷尺. 根據(jù)這一條件，設(shè)計(jì)一個檢驗(yàn)旗桿與地面是否垂直的方案.

操作：如圖4，拉緊繩子并把它的下端固定在地面上的兩點(diǎn)[C，D]處（和旗桿腳不在同一條直線上），如果這兩點(diǎn)與旗桿腳[B]的距離都是6 m，那么旗桿就與地面垂直.

【設(shè)計(jì)意圖】通過解決實(shí)際問題，讓學(xué)生更深刻地理解直線與平面垂直的判定定理，加強(qiáng)定理的應(yīng)用.

例3? 如圖5，三棱錐[P-ABC]中，已知[PA⊥]平面[ABC，BC⊥AC]，求證：[BC⊥平面PAC]. 追問：[BC⊥PC]嗎？怎么得到的？

【設(shè)計(jì)意圖】通過提供思路，讓學(xué)生自主完成線面垂直的證明，讓剛接觸線面垂直的學(xué)生不至于不知如何入手，提高學(xué)生的興趣. 例3所選的三棱錐模型，也是最常見、最基礎(chǔ)的模型.

例4? 長方體[ABCD-][A1B1C1D1]中，[AB=1]，[BC=3]，[AA1=2]，如圖6所示. 對角線[A1C]與底面[ABCD]所成的角.

【設(shè)計(jì)意圖】此題是在例3的基礎(chǔ)上做的一點(diǎn)變式應(yīng)用，目的在于讓學(xué)生更熟練和踏實(shí)地掌握線面垂直的證明，定理的應(yīng)用.

（6）回顧小結(jié)，提煉升華.

① 線面垂直的定義.（線面垂直，則線線垂直.）

② 線面垂直的判定定理.（線線垂直，線面垂直.）

③ 證明空間垂直問題的關(guān)鍵是線面垂直與線線垂直的相互轉(zhuǎn)化.

④ 重要思想方法：化歸的數(shù)學(xué)思想.

（7）作業(yè)布置.

具體內(nèi)容略.

四、教學(xué)評析與思考

1. 教學(xué)實(shí)施及評析

從教學(xué)錄像來看，教學(xué)時長50分鐘，教師引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行了線面垂直和線面角兩個概念的界定，以及線面垂直判定定理的發(fā)現(xiàn)、探究和運(yùn)用. 知識目標(biāo)包括兩個概念、一個定理;教學(xué)過程設(shè)計(jì)了七個環(huán)節(jié)，并且通過設(shè)計(jì)六個問題來銜接和展開. 在問題串的探究中，在概念建構(gòu)環(huán)節(jié)，先個別提問2名學(xué)生關(guān)于現(xiàn)實(shí)世界中的線面垂直關(guān)系. 在判定定理發(fā)現(xiàn)探究環(huán)節(jié)，先由師生合作演示探究線面垂直關(guān)系. 后由學(xué)生動手操作翻折三角形，自主探究線面關(guān)系. 總體而言，共提問8人，講解6道題目.

在實(shí)際教學(xué)過程中，教師注重通過使用教具（長方體模型、直尺、直角三角板、三角形、紙片、桌面、

黑板等）引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“直觀感知—實(shí)驗(yàn)操作—觀察比較—抽象概括”的探究與發(fā)現(xiàn)過程，借助教室的空間結(jié)構(gòu)、教具模型、教材中的旗桿與地面等多個問題情境的觀察比較與歸納猜想引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)線面垂直所需的條件，進(jìn)而抽象提煉為判定定理. 例如，在線面垂直的判定定理的探究中，先引導(dǎo)學(xué)生思考生活中有哪些線面垂直的例子，并觀察和探究教師手中的直尺與黑板存在哪些位置關(guān)系，然后小組合作、操作實(shí)踐，通過折紙實(shí)驗(yàn)使學(xué)生經(jīng)歷觀察、探究、發(fā)現(xiàn)、證明等數(shù)學(xué)活動. 學(xué)生在目標(biāo)明晰的問題驅(qū)動下實(shí)驗(yàn)操作，主動思考，觀察探究，在現(xiàn)實(shí)情境中借助幾何直觀和空間想象感知線面位置關(guān)系的形態(tài)與變化，經(jīng)歷線面垂直關(guān)系的探究與發(fā)現(xiàn)過程，感悟?qū)嶒?yàn)、觀察、比較、歸納、概括、轉(zhuǎn)化，從特殊到一般、由具體到抽象等思想方法在分析和解決問題中的運(yùn)用，經(jīng)歷再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造和解決問題的過程，從中發(fā)展歸納猜想和邏輯推理能力，培養(yǎng)比較辨析、發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新的意識和精神，發(fā)展數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐并服務(wù)于實(shí)踐的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和價值觀. 值得注意的是，教學(xué)中出現(xiàn)了“在變化過程中，斜線與平面的位置關(guān)系給我們以怎樣的形象？怎樣定義直線與平面所成的角呢？”的線面角概念建構(gòu)與例4的應(yīng)用，超出了本課題的內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)，增加了學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān). 另外，例題偏多，折射出傳統(tǒng)教學(xué)急于求成、大運(yùn)動量練習(xí)、在新授課中欲速而不達(dá)的強(qiáng)大慣性.

2. 思考與建議

（1）量體裁衣，準(zhǔn)確界定教學(xué)目標(biāo).

教學(xué)始于目標(biāo)的制定，終于目標(biāo)的達(dá)成.《標(biāo)準(zhǔn)》對于本課題明確提出，通過直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出線面平行、垂直的判定定理;能運(yùn)用判定定理證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題. 鑒于數(shù)學(xué)教學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)與量力相結(jié)合的教學(xué)原則，本課題只要求學(xué)生通過直觀感知抽象出線面垂直的概念，借助幾何直觀歸納出線面垂直的判定定理并能解決簡單的問題. 為此建議教學(xué)目標(biāo)圍繞落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)和“四基”“四能”，細(xì)化如下.

① 借助長方體模型，通過對旗桿和其影子的位置關(guān)系及對旗桿的平移實(shí)驗(yàn)與觀察，使學(xué)生經(jīng)歷直線與平面垂直就是直線與平面上的任意（所有）直線都垂直的探究與發(fā)現(xiàn)過程，在直觀認(rèn)識和理解空間線面位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間直線與平面垂直的概念，發(fā)展建構(gòu)數(shù)學(xué)概念的活動經(jīng)驗(yàn).

② 通過對實(shí)物模型的直觀感知、操作確認(rèn)，并經(jīng)歷將三角形紙片翻折后豎起放置在桌面的動手操作和觀察比較、表達(dá)與交流等數(shù)學(xué)探究活動，感悟?qū)⒖臻g無限的線線關(guān)系判斷轉(zhuǎn)化為空間有限的（三條）線線關(guān)系判斷的必要性與可行性，發(fā)現(xiàn)和抽象出線面垂直判定定理;并能用圖形語言、文字語言、符號語言準(zhǔn)確表達(dá)線面垂直關(guān)系，提高學(xué)生的空間想象能力、合情推理能力和尺規(guī)作圖能力.

③ 經(jīng)歷直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證、合作交流的數(shù)學(xué)活動和數(shù)學(xué)研究過程，體會實(shí)驗(yàn)、觀察、比較、歸納、概括、轉(zhuǎn)化，從特殊到一般、由具體到抽象等數(shù)學(xué)思想方法在解決問題中的作用，積累在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中進(jìn)行數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的活動經(jīng)驗(yàn)，并能用判定定理證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理素養(yǎng).

（2）優(yōu)化教學(xué)過程設(shè)計(jì).

為達(dá)成以上目標(biāo)，可以運(yùn)用問題鏈、啟發(fā)式、結(jié)構(gòu)化的教學(xué)策略，改進(jìn)教學(xué)設(shè)計(jì)，完善對線面垂直判定的探究.

首先，憶舊迎新，搭建認(rèn)知的腳手架，形成數(shù)學(xué)整體觀. 已經(jīng)研究了線面的哪些關(guān)系？哪些概念界定？哪些判斷方法？創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)認(rèn)知需求，感悟數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值：如何檢驗(yàn)學(xué)校操場上的旗桿是否與地面垂直？依據(jù)什么？引領(lǐng)學(xué)生觀察辨析、直觀感知，發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，并引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步觀察[110 m]跨欄視頻中的欄框腳、簡易木架等實(shí)物（如圖7所示）的幾何結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，嘗試探究一條直線與一個平面垂直的定義，從中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

其次，設(shè)問啟發(fā)，引領(lǐng)觀察，探究猜想：類似于直線與平面平行的判定，當(dāng)平面外一條直線垂直于平面內(nèi)的一條直線，能判定這條直線垂直于該平面嗎？借助幾何直觀、觀察分析和層層遞進(jìn)的問題串，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知需求，發(fā)展學(xué)生分析和解決問題的能力，感悟?qū)o限轉(zhuǎn)化為有限的可行性、必要性，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

最后，動手操作，實(shí)驗(yàn)確認(rèn). 如圖8，學(xué)生小組合作，運(yùn)用準(zhǔn)備好的（任意）三角形紙片，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作：過[△ABC]的頂點(diǎn)[A]翻折紙片，得到折痕[AD]，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（保持[BD，DC]在桌面內(nèi)）. 觀察和思考以下問題：折痕[AD]與桌面分別表征什么？如何翻折，線段[AD]與桌面所在的平面為垂直關(guān)系？如圖9，假設(shè)折痕[A1D1⊥B1C1，] 翻折之后[A1D1⊥][C1D1，A1D1⊥B1D1，] 還成立嗎？這對于問題解決有什么啟示？

在折紙實(shí)驗(yàn)中，會出現(xiàn)“垂直”與“不垂直”兩種情況，通過小組合作和全班交流，辨析比較垂直與不垂直的原因，進(jìn)而在比較中發(fā)現(xiàn)直線與平面垂直的條件，再應(yīng)用多媒體演示翻折過程，引領(lǐng)學(xué)生再次觀察和確認(rèn)只要保證折痕[AD]是邊[BC]上的高，即[AD⊥BC]，翻折后折痕[AD]就與桌面垂直，進(jìn)而獲得直線與平面垂直的判定方法，從而發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)和數(shù)學(xué)抽象能力.

接著，進(jìn)一步設(shè)問啟發(fā)，追問：如果一條直線與平面內(nèi)兩條直線垂直，則直線與平面垂直，成立嗎？借助空間圖形和幾何直觀，引領(lǐng)學(xué)生觀察比較、舉例證偽不合理猜想，通過正、反例對比，深化確認(rèn)，比較辨析，進(jìn)而獲得和抽象出線面垂直的判定定理;感悟無限轉(zhuǎn)化為有限、空間線面垂直轉(zhuǎn)化為空間線線垂直、化未知為已知、化陌生為熟悉的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)學(xué)生比較辨析、發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新的意識和精神，感悟數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐并服務(wù)于實(shí)踐的應(yīng)用價值、科學(xué)價值和審美價值.

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收稿日期：2021-07-11

作者簡介：陳靜安（1961— ），女，教授，主要從事數(shù)學(xué)教育研究.