深入挖掘教材　體會(huì)數(shù)學(xué)精神

張傳民

摘? 要：對(duì)教材的深入挖掘和研究可以加深對(duì)知識(shí)的理解，以便更好地體會(huì)數(shù)學(xué)理性精神和探究精神. 以“雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程”為例，從課的整體設(shè)計(jì)、定義的引入、距離差的拓展、無理式的處理、焦點(diǎn)在[y]軸的方程的說明、例題分析六個(gè)方面對(duì)教材進(jìn)行深入思考.

關(guān)鍵詞：挖掘教材;雙曲線;標(biāo)準(zhǔn)方程

深入挖掘教材，可以加深對(duì)知識(shí)的理解，使學(xué)生更好地體會(huì)數(shù)學(xué)的理性精神和探究精神. 同時(shí)，深入研究教材，對(duì)教師專業(yè)能力的提高也很有幫助. 本文以人教B版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)（選修2—1）》（以下統(tǒng)稱“教材”）中的“雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程”一節(jié)課為例，從定義的引入、距離差的拓展、無理式的處理、焦點(diǎn)在[y]軸方程的說明四個(gè)方面討論如何對(duì)教材進(jìn)行有效研究和挖掘.

一、雙曲線的定義是如何引入的

引入定義時(shí)堅(jiān)持如下三個(gè)原則. 系統(tǒng)性原則：圓錐曲線是一個(gè)系統(tǒng)，在引入時(shí)要兼顧橢圓、雙曲線、拋物線整個(gè)體系的一致性. 不能橢圓用這種方法，雙曲線用那種方法，拋物線又換成另一種方法，這樣不利于學(xué)生整體把握?qǐng)A錐曲線的一致性. 活動(dòng)性原則：盡可能設(shè)計(jì)情境讓學(xué)生能動(dòng)手活動(dòng)、動(dòng)腦思考，還要注意活動(dòng)中學(xué)生的合作、交流. 生活化原則：引用的例子應(yīng)該是學(xué)生日常生活中能觀察到的，從而增加數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，做到數(shù)學(xué)就在學(xué)生身邊，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)可以解決生活中的問題.

1. 設(shè)計(jì)思路1：利用橢圓類比設(shè)計(jì)

思考：如果把橢圓定義中的“距離的和”改為“距離的差”，那么點(diǎn)的軌跡會(huì)發(fā)生怎樣的變化？

學(xué)生合作探討構(gòu)造滿足[0<MF1-MF2<F1F2]的點(diǎn)[M]的軌跡.

這時(shí)學(xué)生提出：利用幾何畫板軟件，通過構(gòu)造兩個(gè)圓的方法畫出曲線的圖形.

作圖依據(jù)：設(shè)兩定點(diǎn)[A，B]，且[AB]<[F1F2]，點(diǎn)[C]在線段[AB]兩側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，則有[AC-BC=AB]為定值，如圖1所示.

以點(diǎn)[F1]為圓心、[AC]為半徑作圓，以點(diǎn)[F2]為圓心、[BC]為半徑作圓，設(shè)兩圓的交點(diǎn)為[M]，如圖1所示，則[MF1-MF2=常數(shù)].

這時(shí)符合題意的圖象做出來了，學(xué)生能發(fā)現(xiàn)圖象可以出現(xiàn)兩支. 由此獲得雙曲線的定義.

反思：這種引出雙曲線定義的方法是多數(shù)教師常用的方法，它的優(yōu)點(diǎn)是能由橢圓的定義進(jìn)一步類比出雙曲線的定義，簡(jiǎn)單明了. 缺點(diǎn)是過分強(qiáng)調(diào)橢圓與雙曲線共性的類比，而對(duì)雙曲線的個(gè)性特點(diǎn)認(rèn)識(shí)不足. 到后來雙曲線漸近線的出現(xiàn)會(huì)略顯突兀.

在用拉鏈演示雙曲線的形成過程時(shí)，圖象畫得不流暢. 用幾何畫板軟件構(gòu)造兩個(gè)圓的方法能清晰地作出雙曲線的兩支. 但是構(gòu)造兩個(gè)圓解決問題，如果沒有教師的提示，學(xué)生是不容易想到的. 這里，在復(fù)習(xí)橢圓時(shí)，可以不再單純復(fù)習(xí)記憶性知識(shí)，還可以讓學(xué)生做下列問題復(fù)習(xí)：求與定圓[x-22+y2=49]內(nèi)切，且與定圓[x+22+y2=1]外切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程. 學(xué)生可以求出它是方程為[x216+y212=1]的橢圓. 這樣，再遇到差是定值的問題時(shí)，學(xué)生容易想到利用兩個(gè)圓的關(guān)系來解決. 例如，構(gòu)造與定圓[x-22+y2=4]和[x+22+y2=1]都相外切的動(dòng)圓圓心的軌跡. 可以利用幾何畫板軟件演示曲線的形成過程，這樣探究相對(duì)自然一些.

2. 設(shè)計(jì)思路2：利用折紙游戲設(shè)計(jì)

出示大量圖片，讓學(xué)生直觀感受現(xiàn)實(shí)生活中存在著大量的雙曲線的例子，然后再進(jìn)行折紙游戲. 在白紙上畫一個(gè)圓[F1]，在圓[F1]外取一定點(diǎn)[F2]，在圓[F1]上任取一點(diǎn)[P]，將白紙對(duì)折，使點(diǎn)[P]和點(diǎn)[F2]重合，并留下一條折痕;再在圓周上任取其他點(diǎn)，重復(fù)上述步驟，便可以得到折痕形成的曲線.

學(xué)生動(dòng)手折疊，成果展示折痕，如圖2所示. 教師用幾何畫板軟件演示曲線生成的過程，并讓學(xué)生思考：曲線上的點(diǎn)具有什么樣的特點(diǎn)？從而總結(jié)歸納出點(diǎn)[M]的特點(diǎn)，如圖3所示. 可以得到[MF1-MF2=][MF1-PM=PF1=r]，進(jìn)而得到雙曲線的定義.

反思：這樣做的好處是學(xué)生經(jīng)歷了雙曲線的產(chǎn)生過程，體會(huì)到發(fā)現(xiàn)的驚喜，感受到數(shù)學(xué)的神奇. 同時(shí)，雙曲線的定義呼之欲出. 如果這樣設(shè)計(jì)的話，建議整章的設(shè)計(jì)可以考慮一以貫之，即在學(xué)習(xí)橢圓時(shí)利用折紙游戲折出橢圓，學(xué)習(xí)拋物線時(shí)也利用折紙游戲折出拋物線.

這樣設(shè)計(jì)的缺點(diǎn)是對(duì)于“為什么做折紙游戲？”“一開始，人們是如何想到并設(shè)計(jì)出這樣的折紙游戲的？”沒有向?qū)W生詳細(xì)說明，有點(diǎn)強(qiáng)加給學(xué)生的感覺，也就是說這個(gè)折紙游戲的產(chǎn)生不自然.

3. 設(shè)計(jì)思路3：利用同心圓距離差設(shè)計(jì)

向?qū)W生發(fā)放如圖4所示的一張紙. 學(xué)生很快能想起來在學(xué)習(xí)橢圓時(shí)，利用兩個(gè)同心圓的交點(diǎn)畫出橢圓的方法. 因此，這個(gè)題目背景學(xué)生比較熟悉.

然后讓每個(gè)小組的6名學(xué)生分工完成下面的問題.

問題：用[r1，r2]分別表示圓心為[A，B]的圓的半徑，找出圖中滿足如下條件的兩圓的交點(diǎn)，并用光滑的曲線連接交點(diǎn).

學(xué)生畫完后交流畫出的圖象，然后思考這種曲線的特點(diǎn)，并試著給這種曲線下定義.

反思：這種設(shè)計(jì)方式可以較好地利用學(xué)生在前面學(xué)習(xí)橢圓時(shí)的畫圖方法，學(xué)生通過分組合作學(xué)習(xí)能夠發(fā)現(xiàn)不同情況下所得的圖象，可以很容易地總結(jié)出雙曲線的定義. 這種方法在研究橢圓、拋物線時(shí)都可以使用.

二、距離差的拓展

除了距離和與距離差的絕對(duì)值還有如下拓展思考.

拓展1：一動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離的乘積等于定值[m2]，求此動(dòng)點(diǎn)的軌跡（卡西尼卵形線）.

解：設(shè)兩定點(diǎn)間的距離為[2a]，兩定點(diǎn)為[A-a，0]和[Ba，0]，設(shè)動(dòng)點(diǎn)[Mx，y].

依題意，得[MBMA=m2].

即[x+a2+y2x-a2+y2=m2].

平方并整理，得[x2+y22-2a2x2-y2+a4-m4=0].

拓展2：一動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)（常數(shù)大于0且不等于1）的點(diǎn)的軌跡（阿波羅尼斯圓）.

人教B版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)必修2》第98頁的例3和第105頁的“探索與研究”欄目均有涉及.

拓展3：一動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離的平方和為定值的點(diǎn)的軌跡（圓）.

設(shè)點(diǎn)[Px，y]到定點(diǎn)[A-a，0]和[Ba，0]的距離的平方和等于[4b2]，且[a>0，b>0]. 根據(jù)題意，得[x+a2+y2+x-a2+y2=4b2]，即[x2+y2=2b2-a2].

拓展4：一動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)和到定直線的距離之比等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡.（將其中一個(gè)定點(diǎn)改為定直線，可以拓展圓錐曲線的第二定義.）

拓展5：在空間中，到一定點(diǎn)[A]和一定平面[α]的距離之比為常數(shù)[h]的點(diǎn)的軌跡，取決于定點(diǎn)和定平面的位置關(guān)系，以及常數(shù)[h]的大小.

三、無理式的處理方法

四、焦點(diǎn)在[y]軸上的雙曲線方程的說明

對(duì)于焦點(diǎn)在[y]軸上的雙曲線的方程，教材只是簡(jiǎn)單地說，將[x2a2-y2b2=1]中的[x，y]互換就可以得到[y2a2-][x2b2=1]，至于原因沒有詳細(xì)說明.

方法1：直接法. 類比焦點(diǎn)在[x]軸上的雙曲線方程的推導(dǎo)方法. 以線段[F1F2]所在的直線為[y]軸，以線段[F1F2]的垂直平分線為[x]軸，可以推導(dǎo).

方法2：按步驟列出方程，比較兩個(gè)方程的結(jié)構(gòu)的異同.

焦點(diǎn)在[x]軸上：[x+c2+y2-x-c2+y2=±2a].

焦點(diǎn)在[y]軸上：[x2+y+c2-x2+y-c2=±2a].

結(jié)構(gòu)相同，只是字母[x，y]交換了位置，直接得到方程.

方法3：利用坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn). 先將圖5中的坐標(biāo)軸按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)[90°]得到圖6，也就是圖7.

具體過程：設(shè)所求曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為[Px，y]，已知曲線[x2a2-y2b2=1]上的點(diǎn)的坐標(biāo)為[Qx0，y0]，則利用坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)公式[x=x0cosθ+y0sinθ，y=-x0sinθ+y0cosθ，] 其中，[θ]為坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的角度. 把[θ=-π2]代入公式，得[x=-y0，y=x0.] 反解，得[x0=y，y0=-x.] 又因?yàn)閇Qx0，y0]在曲線[x2a2-y2b2=1]上，所以[y2a2-x2b2=1].

方法4：利用圖象得旋轉(zhuǎn)求解.

設(shè)所求曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為[Px，y]，已知曲線[x2a2-y2b2=1]上的點(diǎn)的坐標(biāo)為[Qx0，y0]，則利用圖象旋轉(zhuǎn)公式[x=x0cosθ-y0sinθ，y=x0sinθ+y0cosθ，]? 其中，[θ]為坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)角度. 把[θ=π2]代入公式，可以得到[x=-y0，y=x0.] 反解，得[x0=y，y0=-x.] 又因?yàn)閇Qx0，y0]在曲線[x2a2-y2b2=1]上，所以[y2a2-x2b2=1].

處處留心皆學(xué)問，對(duì)教材的深入、反復(fù)挖掘，能使教師更深入地理解教材，從而能引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值.

參考文獻(xiàn)：

[1]陶興模. 關(guān)于雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的說課[J]. 上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2017（12）：5-6.

[2]陳立軍. 談“橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程”推導(dǎo)過程中教育價(jià)值的開發(fā)[J]. 中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2012（3）：36-38.

[3]程琛. 雙曲線的發(fā)生教學(xué)研究[D]. 武漢：華中師范大學(xué)，2014.