以“基本事實4”為源頭的平行關(guān)系教學(xué)

鄭新春　張梅

摘? 要：以基本事實4為源頭，以展示基本事實4的一個簡易圖形助力平行關(guān)系的單元教學(xué)，營造了源水不斷、清澈見底的教學(xué)意境，促進(jìn)了學(xué)生對知識的結(jié)構(gòu)性理解.

關(guān)鍵詞：基本事實4;源頭;平行關(guān)系

在平行關(guān)系的學(xué)習(xí)過程中，人們一般認(rèn)可從線線平行到線面平行再到面面平行的邏輯關(guān)系. 但是對基本事實4（直線平行的傳遞性）之于平行關(guān)系的奠基地位卻少有提及. 筆者在設(shè)計平行關(guān)系單元教學(xué)的活動中，經(jīng)過一番研究，有了一些心得，故不揣淺陋，成就此文，以期得到同行的指正.

一、基本事實4堪為源頭

眾所周知，基本事實4是直線平行的傳遞性定理，而非公理，是在歐幾里得《幾何原本》的第11卷作為命題9給出的，陳述為“兩條直線平行于和它們不共面的同一直線時，這兩條直線平行”. 關(guān)于它的證明，有學(xué)者做了詳實的研究，但這些證明大多繁難（詳見參考文獻(xiàn)）. 有的教師借助“線面平行的判定或性質(zhì)”推得“直線平行的傳遞性”，即使不犯循環(huán)論證的錯誤，也有悖于教材先研究線線關(guān)系再研究線面關(guān)系的呈現(xiàn)順序. 因此，教材的編寫，秉持能力訓(xùn)練要循序漸進(jìn)的理念，規(guī)避難點(diǎn)，把直線平行的傳遞性定理長期當(dāng)作基本事實（公理）來處理，這樣做符合高一學(xué)生的邏輯推理能力實際，深受師生歡迎.

筆者在人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）必修第二冊“直線、平面平行關(guān)系”的備課中，突然萌生一種想法，按照教材順序，運(yùn)用基本事實4之前的知識，是否存在學(xué)生可接受的基本事實4的證明呢？若存在，學(xué)生獲取的知識結(jié)構(gòu)將更具邏輯性. 于是，根據(jù)基本事實1、基本事實2和基本事實3確定平面和直線的重要思想，筆者經(jīng)過一番思考，偶得證明，心結(jié)釋然.

題目? 已知直線[a，b，c]，[a∥b，b∥c]. 求證：[a∥c].

證明：先證直線[a，c]共面.

因為[a∥b]，[b∥c]，

所以直線[a]與直線[b]確定一個平面，設(shè)為平面α，直線[b]與直線[c]確定一個平面，設(shè)為平面β. 如圖1所示.

不妨取直線[c]上一點(diǎn)[P?a]，

故直線[a]與點(diǎn)[P]可以確定平面[γ].

所以[P∈γ]，[a?γ].

由[c?β]，得[P∈β].

所以平面[β]與平面[γ]有一條過點(diǎn)[P]的公共直線[c].

所以[b?β，c?β，c?β，c?γ].

若直線[c]與直線[c]相交，由[b∥c]，得直線[b]與直線[c]相交（否則與平行公理矛盾）.

設(shè)[b?c=Q]，則[Q∈b?α，Q∈c?γ].

據(jù)基本事實3，[Q∈a]，與[a∥b]矛盾.

所以直線[c]與直線[c]重合，即[c?γ].

所以直線[a]和直線[c]共面于平面[γ].

再證[a∥c].

若直線[a]與直線[c]相交，

則其交點(diǎn)在平面[α，β]上.

于是其交點(diǎn)在直線[b]上，即[a，b，c]三線共點(diǎn).

這與直線[a，b]平行矛盾，即得[a∥b，b∥c.]?a∥c

上述證明，主要用到“確定平面的條件”“兩平面若有公共點(diǎn)，則存在唯一一條公共直線，且公共點(diǎn)在公共直線上”，這些知識屬于基本事實4之前的知識. 因此，此證明為基本事實4作為后續(xù)知識的源頭奠定了堅實的邏輯基礎(chǔ).

行文至此，可能引發(fā)同行的質(zhì)疑，因為在教材中，“常用邏輯用語”一節(jié)刪去了“四種命題”，尤其是“逆否命題”，這樣就出現(xiàn)了一個不可回避的問題，即使我們失去了論證“反證法”合理性的邏輯機(jī)理. 因此，上述內(nèi)容是否有不合時宜之嫌？事實上，筆者并無讓學(xué)生掌握反證法證明之意，作為教師，能證明基本事實4，不妨視為登高望遠(yuǎn)之舉. 至于在教學(xué)中，一方面，我們要理解教材編寫刪繁就簡、突出知識主干、能力訓(xùn)練循序漸進(jìn)的意圖;另一方面，根據(jù)學(xué)生的實際基礎(chǔ)，適當(dāng)滲透反證法“若矛盾，則不可能”的思維方式. 這完全可以立足于高一學(xué)生在生活中的說理經(jīng)驗，說明道理即可，而不必要求學(xué)生嚴(yán)格按照反證法的格式書寫證明. 下文的教學(xué)過程中，我們就是這樣來處理相關(guān)內(nèi)容的，相信這樣做，對提升學(xué)生的直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，以及以理服人的行事原則，一定大有裨益.

二、教學(xué)中一個模型“包打天下”

樹立了基本事實4的奠基地位后，我們不難想到一個教學(xué)模型，如圖2所示. 即在一張矩形紙片上畫三條平行線段[a，b，c]（亦可降低難度，讓學(xué)生直接將矩形紙片對折得[a，b，c]），然后以線段[b]為折痕，觀察圖3的折疊過程，并討論線段[a，c]是否平行.

沒想到的是，如此簡單的一個模型，在直觀化、符號化后，竟在線線平行、線面平行、面面平行的教學(xué)中，一貫到底、“包打天下”，為以基本事實4為源頭的教學(xué)增色添彩.

1. 基本事實4

基于前文的論述，我們對基本事實4的教學(xué)，就有了兩種合理的選擇.

其一，如果學(xué)生基礎(chǔ)一般，教學(xué)就從折疊矩形紙片開始，學(xué)生通過觀察如圖2和圖3所示的模型，先承認(rèn)直線[a，b，c]在同一個平面內(nèi)，兩條直線[a，c]平行毫無懸念，然后通過操作確認(rèn)，在折疊過程中[a∥c]始終成立. 于是，得到基本事實4，提煉出平行的傳遞性.

其二，如果學(xué)生基礎(chǔ)好，就可以進(jìn)一步討論折疊過程中[a∥c]是否始終成立. 考慮到學(xué)生獨(dú)立完成證明會有困難，教師可以仿照圖1提示學(xué)生，先研究直線[a，c]是否共面. 若不共面，經(jīng)過怎樣的思考可以推出矛盾？于是，說明一定共面. 判斷直線[a，c]共面后，再研究直線[a，c]是否相交. 若相交怎么樣？能否推出矛盾？進(jìn)一步說明直線[a，c]不可能相交，得[a∥c]，即平行的傳遞性定理.

2. 等角定理

教材中等角定理的表述為：如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ). 若再粗放一些，不計較角的方向，可以把等角定理表述為“兩條直線平移不變成角”. 這樣認(rèn)識問題很重要，因為它揭示了確定或計算空間任意兩條直線（異面直線）所成角的通則. 而在基本事實4中，人們先關(guān)注的是“若[a∥b，b∥c]，則[a∥c]”，即平行的傳遞性. 其實，換一個角度，我們不妨視直線[b]為兩條直線[b，b]的重合，視直線[a，c]分別是直線[b]與直線[b]的平移，那么，基本事實4的實質(zhì)依然是“兩條直線平移不變成角”，只不過成角為[0°]罷了.

由此可見，對于基本事實4的源頭地位，等角定理并沒有多大干擾，它與基本事實4出如一轍，都是在兩條直線平移的條件下，成角為[0°]或任意角相等的兩種形式而已.

在課堂教學(xué)中，以基本事實4為基礎(chǔ)，在三條平行線[a，b，c]上，分別截取等長的線段[AA，BB，CC]，然后以[b]為折痕，連接[AB，BC，AC，AB，BC，AC]，得到圖4，讓學(xué)生完成如下學(xué)習(xí)任務(wù).

（1）觀察圖4，找出除[a，b，c]之外的平行直線對，并給出證明.

（2）找出相等的角，并給出證明.

（3）進(jìn)一步分析造成[∠ABC=∠ABC]的原因，判斷是因為[a∥b，b∥c]，還是因為折疊前后始終都有[AB∥AB]和[BC∥BC]呢. 進(jìn)而概括出等角定理.

（4）觀察基本事實4與等角定理，試研究兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系，得出“兩條直線平移不變成角”的共性結(jié)論.

如果學(xué)生基礎(chǔ)好，當(dāng)然也可以讓學(xué)生從“平移不變成角”的角度去理解基本事實4，然后提問：圖4中還有哪些直線（線段）是平移關(guān)系？它們是否符合“平移不變成角”？進(jìn)一步概括等角定理.

3. 線面平行

（1）尋找線面平行的判定方法.

在基本事實4的前提下，觀察圖4，想象隨著折角的變化，直線[b]與直線[a，c]所確定的平面[γ]的相對位置也發(fā)生變化. 依此背景，讓學(xué)生思考如下兩個問題：觀察，直線[b]與平面[γ]可能的位置關(guān)系有哪些？若排除直線[b]在平面[γ]內(nèi)的情況，能否得線面平行的判斷方法？

對于第一個問題，我們可以得到直線[b]與平面[γ]可能的位置，只有[b?γ]或[b∥γ]，不可能有直線[b]與平面[γ]相交（若直線[b]與平面[γ]相交，則易知直線[b]與直線[a]相交，或直線[b]與直線[c]相交，這與題設(shè)矛盾）.

對于第二個問題，我們可以得到如下猜想：平面外一條直線若平行于平面內(nèi)的兩條平行直線，則該直線與平面平行. 此時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑：需要兩條直線嗎？平面外的一條直線若平行于平面內(nèi)的一條直線，據(jù)基本事實4，即有平面外的一條直線必然平行于該平面內(nèi)的一簇平行直線，所以無需兩條直線. 由此可以得到線面平行的判定定理：如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.

雖然教材中對此定理不要求嚴(yán)格證明，但是如前所述，我們可以引導(dǎo)學(xué)生這樣思考問題：如果直線[b]與直線[a，c]確定的平面不平行，就必然相交，則交點(diǎn)要么在直線[b，a]確定的平面上（直線[b，a]相交），要么在直線[b，c]確定的平面上（直線[b，c]相交）. 無論哪種情況，都可以推出與直線[b，a]平行矛盾，或與直線[b，c]平行矛盾，所以直線[b]與直線[a，c]確定的平面相交是不可能的. 于是只剩下平行這種情況.

（2）探究線面平行的性質(zhì).

若已知直線[b]平行于平面[γ]，我們可以得到什么性質(zhì)？這個問題提出后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)觀察圖4，探究在直線[b]與平面[γ]平行的條件下，我們可以得到哪些結(jié)論.

從線面平行的定義上看，直線[b]與平面[γ]沒有公共點(diǎn)，這說明平面[γ]內(nèi)的所有點(diǎn)都不在直線[b]上，平面[γ]內(nèi)的所有直線都與直線[b]沒有公共點(diǎn)，即平面[γ]內(nèi)的所有直線與直線[b]要么平行，要么異面. 我們?nèi)绻懒似矫鎇γ]內(nèi)的哪些直線與直線[b]平行，那么平面[γ]內(nèi)的剩余的那些直線就與直線[b]異面.

我們現(xiàn)在要研究的問題是：在平面[γ]內(nèi)，如何確定與直線[b]平行的直線？

進(jìn)一步觀察圖4，我們已知平面[γ]內(nèi)的直線[a，c]與直線[b]平行，聯(lián)想到直線[a，c]分別是平面[γ]與平面[α]和平面[β]的交線，自然想到過直線[b]上的平面任意旋轉(zhuǎn)，與平面[γ]的交線都與直線[a，c]平行，也與直線[b]平行，我們把這番操作概括為“搭平面、得交線，交線與直線[b]平行”. 于是，得出直線與平面平行的性質(zhì)定理：一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行.

在前面分析的基礎(chǔ)上，該定理的證明是顯然的. 因為直線[b]平行于平面[γ]，所以直線[b]與平面[γ]無公共點(diǎn)，而“搭平面、得交線”后，顯然直線[b]與交線共面且無公共點(diǎn)，于是，直線[b]與交線平行.

4. 面面平行

（1）尋找面面平行的判定方法.

教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生觀察圖4，想象折紙的過程中，直線[a，c]依然平行，自然得到三棱柱的直觀印象，再結(jié)合棱柱的定義，不難發(fā)現(xiàn)平面[ABC]與平面[ABC]平行. 這時，教師要引導(dǎo)學(xué)生思考：這兩個平面平行是由[a∥b，b∥c]引起的，還是由折疊前后始終都有[AB∥][AB]和[BC∥BC]引起的呢？一般來說，學(xué)生能發(fā)現(xiàn)后者是引起平面[ABC]與平面[ABC]平行的根本原因. 將這個直觀感知的事實用文字進(jìn)行描述，即得“如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一個平面內(nèi)的兩條相交直線平行，那么這兩個平面平行”. 接下來，我們結(jié)合前面線面平行的判定定理的討論，得到與上述描述等價的命題，即面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行.

至于該定理的證明：一方面，我們可以采用教材的處理方式，從長方體模型出發(fā)，遵循“直觀感知，操作確認(rèn)”的理念，不在定理證明處做文章，只在定理的獲得和運(yùn)用方面進(jìn)行強(qiáng)化;另一方面，考慮到該定理的證明既是對直線與平面平行的性質(zhì)定理的一次很好的應(yīng)用，又可以滿足學(xué)生對邏輯思維能力發(fā)展的需求. 在學(xué)生基礎(chǔ)比較好的情況下，我們依然可以采用前文所述“線面平行判定定理”的處理方式，即假如由相交直線[AB，BC]確定的平面與平面[ABC]不平行，就必然相交，得交線[d]，依據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，必有相交直線[AB，BC]同時與直線[d]平行，這顯然是“不可能”的，即得面面平行的判定定理. 而如果把題設(shè)中的“相交直線[AB，BC]”“平行直線[AB，BC]”這種“不可能”就變?yōu)椤翱赡堋?，那么平行直線[AB，BC]確定的平面與平面[ABC]不平行，也變?yōu)椤翱赡堋? 于是，題設(shè)中直線[AB，BC]由相交變?yōu)槠叫校布词チ伺卸婷嫫叫械摹百Y格”.

（2）探究面面平行的性質(zhì).

由于兩個平面互相平行，那么這兩個平面就一定沒有公共點(diǎn)，可以據(jù)此讓學(xué)生觀察圖4，看看能有什么發(fā)現(xiàn)？一般而言，學(xué)生經(jīng)過研討，發(fā)現(xiàn)下面兩個結(jié)論，是可能的：一個平面內(nèi)的任意一條直線都與另一個平面平行;一個平面內(nèi)的任意一條直線與另一個平面內(nèi)的任意一條直線平行或異面.

對于第一個結(jié)論，根據(jù)平面與平面平行的定義，顯然不證自明.

對于第二個結(jié)論，我們自然會更關(guān)注兩條直線相互平行的情況. 引導(dǎo)學(xué)生觀察圖4，不難發(fā)現(xiàn)[AB∥AB]和[BC∥BC]. 由此受到啟發(fā)，要得到兩條平行直線，我們可以搭建一個與已知兩個平行平面相交的平面，得兩條交線. 顯然，這兩條交線平行是不證自明的事實. 于是，得到面面平行的性質(zhì)定理.

三、結(jié)束語

“問渠那得清如許？為有源頭活水來”出自南宋詩人朱熹的《觀書有感》，意指水之清澈，緣于源頭活水不斷注入. 借古喻今，反觀平行關(guān)系的單元教學(xué)，以基本事實4為源頭，以展示基本事實4的一個簡易模型助力始終，使學(xué)生沿一個不變的背景，一貫到底、持續(xù)思考、解決問題，形成了源水不斷、清澈見底的教學(xué)意境，這對促進(jìn)學(xué)生對知識的結(jié)構(gòu)性理解是不言而喻的. 當(dāng)然，一個知識體系的落實，除問題驅(qū)動學(xué)生沿一個背景思考外，還需要穿插必要的例題與練習(xí). 限于篇幅，不再贅述.

參考文獻(xiàn)：

[1]沈中宇，汪曉勤. 西方早期立體幾何教科書中空間平行線的傳遞性定理[J]. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2016（12）：60-64.

收稿日期：2021-07-10

作者簡介：鄭新春（1971— ），男，中學(xué)高級教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.