基于能量分析的欠驅動飛行吊運系統(tǒng)協(xié)同控制

梁 瀟，王 楊，何 慰，孫 寧，方勇純

(南開大學人工智能學院機器人與信息自動化研究所，天津 300350;南開大學天津市智能機器人技術重點實驗室，天津 300350)

1 引言

機電系統(tǒng)與人們生活密切相關，隨著精密加工和各類先進控制算法的發(fā)展，對機電一體化技術的研究極為關鍵[1-3].作為一類應用廣泛的機電系統(tǒng)，旋翼無人飛行器能夠在空中懸停，具有良好的靈活性和較強的機動性，已在搜索和救援、環(huán)境監(jiān)測和貨物運輸、航天拍攝、林火監(jiān)測等多個方面發(fā)揮著重要作用[4-8].值得一提的是，旋翼飛行器相比地面移動機器人受地勢、地形影響較小，極大地擴展了其作業(yè)范圍.由于這一優(yōu)勢，借助夾具、機械臂、吊繩懸掛3種方式，旋翼飛行器可以在地面車輛難以到達的環(huán)境下承擔各種運輸任務.

夾具抓握，即在飛行器底端安裝夾持器以攜帶負載飛行[9-10]，但這種方式需要設計復雜的夾持器電子與機械結構，造成了更多的成本投入，同時也將影響旋翼飛行器的轉動特性，降低飛行的靈活性.機械臂操控，即在飛行器底端安裝自由度更高的機械臂攜帶負載[11-12]，能夠延長負載可以到達的空間范圍，但機械臂的使用同樣會對系統(tǒng)機動性造成很大影響，此外，飛行器和機械臂的運動將對彼此產(chǎn)生擾動，為控制帶來極大困難.借助夾具和機械臂的運送方式會影響運輸?shù)钠椒€(wěn)，且成本較高，而通過吊繩運送負載可有效避免上述難題，懸掛運送的方法保留了飛行器的機動性，且不受負載體積的限制，因此應用最為廣泛.

利用吊繩進行運送時，需要將負載運送至指定位置，由于負載的運動無法直接控制，可能對周圍帶來安全隱患，因此抑制并消除負載擺動極為關鍵.針對旋翼飛行器吊運系統(tǒng)，有開環(huán)控制和閉環(huán)控制兩類方案.輸入整形[13]、動態(tài)規(guī)劃[14]、基于混合整數(shù)二次規(guī)劃的軌跡生成算法[15]、基于偽譜法的時間最優(yōu)運動規(guī)劃[16]是典型的開環(huán)控制方案.與開環(huán)控制相比，閉環(huán)控制方案由于利用瞬時反饋信號，因而往往具有更好的控制性能.在文獻[17]中，基于輸入狀態(tài)穩(wěn)定理論，研究人員對系統(tǒng)解耦，設計了兼顧飛行器定位和負載消擺的控制器.Guerrero等人[18-19]采用互聯(lián)及阻尼分配的無源性控制方案，實現(xiàn)了運送過程中負載擺動的抑制與消除.文獻[20]設計了一種非線性控制器，并通過李雅普諾夫方法和拉塞爾不變性原理對閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行了證明.Yu等人[21]為實現(xiàn)負載軌跡跟蹤，提出了基于反步法的非線性控制策略，能夠保證閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.文獻[22-23]基于飛行吊運系統(tǒng)的串級特性，提出了非線性分層調節(jié)控制方案，能夠針對系統(tǒng)內外環(huán)分別設計控制輸入，給設計過程帶來了極大便捷，且控制形式簡潔，便于調節(jié).

如前所述，目前對飛行吊運系統(tǒng)的研究往往考慮單個飛行器的運送任務，當負載質量超過單個飛行器的載荷上限時，就需要多個飛行器協(xié)同作業(yè).此時，由于使用多架飛行器共同執(zhí)行任務，不僅使系統(tǒng)的自由度更高，也使得系統(tǒng)動力學特性更為復雜.具體而言，單個旋翼飛行器吊運負載時即為欠驅動系統(tǒng)[24-29]，旋翼飛行器本身也呈現(xiàn)欠驅動特性.此外，負載擺動和飛行器平動之間存在運動耦合，更多的飛行器意味著這一耦合特性也將更為復雜.考慮到多機需要協(xié)同運動至指定目標位置，與此同時對負載的擺動進行抑制并消除，這些都為協(xié)同吊運的控制帶來困難.

針對此，本文為兩個飛行器的協(xié)同吊運任務提出了一種基于能量分析的非線性控制方案，在大幅提高系統(tǒng)載荷能力的前提下，能夠有效消除負載擺動.首先，文章構造關于兩飛行器及負載動態(tài)的儲能函數(shù)，進而設計兩飛行器所需推力與期望姿態(tài)，在兼顧執(zhí)行器飽和約束，避免了期望姿態(tài)奇異性問題的同時，考慮了兩機的協(xié)調運動.隨后，通過嚴謹?shù)臄?shù)學分析，基于拉塞爾不變性原理證明了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性;仿真結果表明，該方法具有良好的控制性能，對不確定參數(shù)和外界干擾均有較好的魯棒性.

本文的其余部分組織如下:第2節(jié)簡要描述了系統(tǒng)動力學模型，并給出了控制目標;第3節(jié)完成了控制器的設計以及閉環(huán)穩(wěn)定性分析;第4節(jié)通過仿真將所提方法與現(xiàn)有方法進行了對比;第5節(jié)對本文工作進行了總結與展望.

2 問題描述

欠驅動旋翼飛行器協(xié)同吊運系統(tǒng)示意圖如圖1所示.

圖1 協(xié)同飛行吊運系統(tǒng)示意圖Fig.1 Illustration of a cooperative aerial transportation system

坐標系Y OZ為固定于大地的慣性坐標系，圖中:m1，m2代表兩飛行器的質量;m3為負載質量;l0表示兩吊繩與負載連接端間的距離;l1，l2代表繩長;l3代表負載厚度的一半;θ=[θ1θ2θ3]T∈R3，其中:θ1，θ2為兩吊繩與Z軸正半軸之間的夾角;θ3表示負載的偏轉角;φ1，φ2代表飛行器的姿態(tài)角;ξ1=[y1z1]T∈R2，ξ2=[y2z2]T∈R2分別為兩飛行器的坐標.為便于描述，定義如下簡寫表達:

系統(tǒng)動力學模型如下:

式中:q=[y1z1y2z2θ1θ2θ3]T∈R7為表示關于飛行器位置與負載姿態(tài)的狀態(tài)向量;矩陣Mc∈R7×7和Vc∈R7×7分別表示慣量矩陣與向心-柯氏力矩陣，其具體表達式參見附錄.重力向量與控制向量G，U∈R7形式如下:

其中u1，u2，u3，u4分別表示兩飛行器推力在空間坐標軸Y，Z上的分量，分別表達為

式中f1，f2分別表示兩飛行器推力幅值.

為方便接下來的控制器設計與穩(wěn)定性分析，將式(1)展開為如下形式:

針對實際工作場景，在此作如下合理假設[18，20，22-23，25，29]:

假設1考慮到協(xié)同吊運系統(tǒng)的實際工作情況，吊繩及負載擺動角度滿足約束

對于欠驅動協(xié)同吊運系統(tǒng)而言，控制目標是使兩飛行器快速、精確地到達目標位置ξ1d=[y1dz1d]T，ξ2d=[y2dz2d]T，同時有效抑制并消除負載的擺動.不失一般性，選取兩飛行器目標位置滿足如下關系:

此時，兩吊繩與負載的期望角度為

綜上，控制目標可表述如下:

3 主要結果

本節(jié)將首先闡述控制器設計的過程，隨后給出閉環(huán)系統(tǒng)信號的有界性和收斂性分析.

3.1 控制器設計

為完成上述控制目標，首先定義如下誤差量:

通過對欠驅動協(xié)同吊運系統(tǒng)的能量分析，可構造如下儲能函數(shù):

式中kp1，kp2，kp3，kp4∈R+為正控制增益.對式(10)關于時間求導，代入式(2)-(8)后整理可得

基于此，設計控制輸入ut=[u1u2u3u4]T∈R4為如下形式:

其中:e=[e1e2e3e4]T∈R4代表兩飛行器組合定位誤差向量;Kp=diag{[kp1kp2kp3xkp4]}，Kd=為正控制增益矩陣.將式(12)代入式(11)后可以得到

經(jīng)分析可知，在該控制輸入的作用下，閉環(huán)系統(tǒng)的平衡點是漸近穩(wěn)定的.然而，負載的擺動信息沒有直觀反映在控制輸入中，因此，在擺動抑制方面仍有提升空間.

進一步地，基于式(12)，提出如下改進的非線性控制律:

其中ky，ky1，ky2，kz，kz1，kz2∈R+為正控制增益.

注1兩飛行器推力f1，f2與期望姿態(tài)φ1d，φ2d可通過控制信號u1，u2，u3，u4計算得到，具體表達如下:

注2由注1可知，通過合適的參數(shù)選取，即可將控制輸入約束在一定范圍內.進一步地，將所取控制參數(shù)限定在如下范圍:

即可避免期望姿態(tài)產(chǎn)生奇異性問題.

注3式(13)中控制輸入ut的第3項通過將負載擺動信號引入反饋控制律，提高了可驅動的飛行器運動與欠驅動的負載擺動之間的耦合關系，因而，能夠提升控制系統(tǒng)的消擺性能.

注4式(13)中控制輸入ut的第4項uc是協(xié)調作用項，分別利用速度差作為反饋信號，從而提高飛行運動的一致性，實現(xiàn)兩個飛行器之間的協(xié)調運動.

3.2 穩(wěn)定性分析

本小節(jié)將對閉環(huán)系統(tǒng)信號的穩(wěn)定性進行分析.

定理1所提控制方案(13)能保證兩飛行器協(xié)同吊運負載至指定位置，并且抑制負載擺動，使系統(tǒng)狀態(tài)漸近收斂于平衡點，即

證將式(13)代入式(11)可以得到

因而，V(t)∈L∞.基于此，由式(10)，可以得到如下結論:

接下來，定義集合Φ為

并記Γ為Φ中最大的不變集.根據(jù)式(16)可知，在不變集Γ中有

式中β1，β2，β3，β4∈R表示待定常數(shù).接下來分兩步完成定理證明:

步驟1證明在不變集Γ中:e1(t)=0，e2(t)=0，e3(t)=0，e4(t)=0.

將式(19)代入式(13)并結合式(2)-(5)可得

對式(20)-(23)兩邊關于時間作積分，有如下結果:

其中λ1，λ2，λ3，λ4為待定常數(shù).對β1，β2，β3，β4進行分析，以式(24)為例，若β1≠0，有

步驟2接下來，將證明在不變集Γ中，θ1(t)=0，θ2(t)=0，θ3(t)=0.

將式(19)代入式(6)-(8)整理可得

將式(28)代入式(20)-(21)可得

進一步地，將式(32)與式(33)兩邊分別乘以C1，S1后相加，有如下結果:

聯(lián)立式(34)與式(29)有

同理，將式(32)-(33)兩分別乘以C2(C3)，-S2(S3)后相加，與式(30)-(31)對照，經(jīng)類似分析可以得到

由式(28)(35)-(36)可知，最大不變集Γ僅包含平衡點根據(jù)拉塞爾不變性原理[30]，可完成本定理中結論的證明.證畢.

4 仿真驗證與分析

本節(jié)將給出數(shù)值仿真結果，同時將其與PD(proportional differential)控制和線性二次型調節(jié)器(linear quadratic regulator，LQR)控制的結果對比，進行3組仿真測試，以評估所提控制方案在飛行器定位與吊繩、負載消擺方面的實際性能.

第1組在本組仿真中，將系統(tǒng)參數(shù)設置如下:

兩飛行器的起始位置和目標位置分別為

初始擺動角度為

本文方法的控制增益選取為

PD控制器增益選取為

LQR控制中矩陣Q，R分別選取為

經(jīng)計算得最優(yōu)控制增益為

仿真結果如圖2所示，從中可以看出，3種控制方法都能使飛行器到達目標位置.值得注意的是，由于協(xié)同控制項和擺動信息項的引入，本文所提基于能量的控制方法相比PD控制和LQR控制，對負載擺動具有更加顯著的抑制和消除作用.

圖2 仿真1結果Fig.2 Results of Simulation 1

第2組為驗證所提方法對不確定參數(shù)的魯棒性，在本組仿真中，將吊繩及負載參數(shù)改變?yōu)?/p>

將兩飛行器的起始位置和目標位置改變?yōu)?/p>

所提方法與PD控制增益選取以及LQR控制中的Q，R矩陣選取與第1組仿真相同.由于LQR方法對系統(tǒng)參數(shù)的依賴，其控制增益需相應修改為

仿真結果如圖3所示，將其與第1組仿真結果進行對比，可以看出，在不改變控制增益的情況下PD控制器和所提方法均可實現(xiàn)飛行器定位與負載消擺的目標.同時，本文所提方法在擺動抑制方面依然表現(xiàn)出了更好的性能.

圖3 仿真2結果Fig.3 Results of Simulation 2

第3組在本組測試中，參數(shù)設置和控制增益與第1組完全相同.為模擬風力等外界擾動的影響，在30 s至30.5 s，60 s至60.5 s對兩根吊繩對應的擺動角度θ1(t)和θ2(t)分別施加一個幅值為5°的脈沖干擾.

仿真結果如圖4所示.3種方法在受到擾動后最終都能將飛行器定位在目標位置并保持穩(wěn)定，所提方法的負載擺角θ3(t)在受到擾動后收斂更快.這一仿真情形證明了，在有擾動存在的情況下，本文所提控制方法具有明顯優(yōu)勢.

圖4 仿真3結果Fig.4 Results of Simulation 3

5 總結與展望

針對欠驅動旋翼無人機協(xié)同吊運系統(tǒng)，本文設計了一種基于能量分析的控制方法.該方法不僅可以準確快速的控制兩飛行器運動至指定位置，而且可有效消除負載擺動.同時，所提控制方案能夠將控制輸入約束在一定范圍內，進而避免期望姿態(tài)的奇異性問題.文中對所提控制器的性能進行了嚴格的理論分析，并通過數(shù)值仿真驗證了算法的控制性能.在接下來的工作中，將進一步擴展本文方法，將其應用于更多個數(shù)飛行器的協(xié)同吊運問題.

附錄

對稱矩陣Mc中元素表達如下:

其余元素皆為零.