一道2020年高考橢圓定值問題的探究

湖北省監(jiān)利市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)(433300) 萬平方

圓錐曲線中的定值問題是高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)問題之一,定值問題動(dòng)中有靜,靜中有動(dòng),變化中有不變,解決此類問題需要?jiǎng)又懈Q靜,以靜制動(dòng).定值問題與定點(diǎn)問題可以相互轉(zhuǎn)化,它們背后往往蘊(yùn)藏著豐富的幾何背景,探究問題的背景,能拓展思維空間、培養(yǎng)合情推理能力與發(fā)散思維能力.

2020年高考數(shù)學(xué)北京卷第20 題保持了北京卷“入口易、口徑寬、深入緩、出口難”的一貫風(fēng)格,表面是求值問題,實(shí)質(zhì)是定值問題.它以能力立意,強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)本質(zhì)的考查,考查解析幾何中的主要方法,需要學(xué)生具備一定的數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng),并能夠程序化思考問題.此題背景熟悉、解法多樣,細(xì)細(xì)品讀實(shí)感底蘊(yùn)深厚,余味綿長(zhǎng).

題目(2020年高考數(shù)學(xué)北京卷第20 題)已知橢圓過點(diǎn)A(-2,-1),且a=2b.

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(Ⅱ)過點(diǎn)B(-4,0)的直線l交橢圓C于點(diǎn)M,N,直線MA,NA分別交直線x=-4 于點(diǎn)P,Q.求的值.

本題(Ⅰ)比較簡(jiǎn)單,容易求得橢圓C方程為:1.本文只對(duì)(Ⅱ)進(jìn)行研究.

1 解法探究

解析幾何的核心思想是用代數(shù)方法研究幾何問題,解題過程中,首先要用代數(shù)語言描述幾何要素及其關(guān)系,實(shí)現(xiàn)幾何條件代數(shù)化.因此,必須重視對(duì)幾何關(guān)系的深人研究,探究用代數(shù)形式恰當(dāng)表示幾何關(guān)系,方便代數(shù)運(yùn)算,形成正確的解題策略.

(Ⅱ)的條件中涉及橢圓、4 條直線和6 個(gè)點(diǎn).4 條直線中一條已知, 另外三條都是三點(diǎn)共線的動(dòng)直線.6 個(gè)點(diǎn)中M、N、A三點(diǎn)在橢圓上,P、B、Q三點(diǎn)在定直線上.三條動(dòng)直線如何表征,M、N在橢圓上如何表征是運(yùn)用解題條件解題應(yīng)該思考的二個(gè)問題.由于P、B、Q三點(diǎn)在直線x=-4 上,因而解題目標(biāo)中比值問題轉(zhuǎn)化為P、Q縱坐標(biāo)的關(guān)系問題,P、Q縱坐標(biāo)關(guān)系如何表征成為解題思考的第三個(gè)問題.解題過程中如何消元、如何運(yùn)算是核心問題與關(guān)鍵所在.

思路1直線l的方程用點(diǎn)斜式方程

解法1設(shè)P(-4,p),Q(-4,q),M(x1,y1),N(x2,y2),直線MN的方程為:

與橢圓C方程聯(lián)立化簡(jiǎn)可得:(4k2+1)x2+ 32k2x+(64k2-8)=0,則

直線MA的方程為:y+1=(x+2),令x=-4 得

同理可得:

5 個(gè)方程,6 個(gè)未知數(shù),可以求出p、q的關(guān)系,消元可用3種方法.

方法1消去y1,y2,計(jì)算過程中把與k有關(guān)的式子整體用(x1+x2)代換.求p、q的比值.

方法2消去y1,y2,尋找x1x2與(x1+x2)的關(guān)系,求p、q的比值.因?yàn)?/p>

故

方法3消去y1,y2,尋找x1x2與(x1+x2)的關(guān)系,求p+q.p=-2×-1 =,同理可得:

又x1x2+8 =-3(x1+x2).故p+q= 0,p=-q.從而

評(píng)析p+q與中,方程根的結(jié)構(gòu)顯然都不對(duì)稱,無法直接應(yīng)用韋達(dá)定理, 方法1 先把能用韋達(dá)定理的應(yīng)用韋達(dá)定理, 不能直接應(yīng)用韋達(dá)定理的將與k有關(guān)的式子整體用(x1+x2)代換.方法2、3 通過x1x2與(x1+x2)的關(guān)系將非對(duì)稱問題轉(zhuǎn)化為對(duì)稱問題.這兩種方法是處理此類非對(duì)稱結(jié)構(gòu)問題的常用方法,值得重視.思路2 中也是用這樣的方法處理此類問題的.

思路2直線l的方程用橫截式方程

解法2設(shè)P(-4,p),Q(-4,q),M(x1,y1),N(x2,y2).當(dāng)直線l的斜率為0 時(shí), 不妨設(shè)則AM:y=,得y1=同理,

當(dāng)直線l的斜率不為0 時(shí), 設(shè)l的方程為x=ny -4與橢圓方程聯(lián)立化簡(jiǎn)得(n2+ 4)y2-8ny+ 8 = 0,Δ = (8n)2-32(n2+ 4)＞0, 得n ＜ -2 或n ＞2.由韋達(dá)定理有y1+y2=,y1y2=由A,M,P三點(diǎn)共線有kAM=kAP, 即有同理q=

消去y1、y2同樣可用3 種方法,這里僅給出方法2.

方法2尋找y1y2與(y1+y2)的關(guān)系,求p+q.

由韋達(dá)定理有:(y1+y2)=ny1y2,則

故p=-q,即

思路3M、N的坐標(biāo)用P、Q縱坐標(biāo)表示.

解法3設(shè)P(-4,p),Q(-4,q),M(x1,y1),N(x2,y2),則PA:y=-p-2 與橢圓方程聯(lián)立化簡(jiǎn)得(p2+2p+2)x2+4(p2+3p+2)x+4(p+2)2-8=0,由韋達(dá)定理得到:-2x1=所以x1=代入直線PA的方程得y1=即同理可得由kMB=kNB有

2 推廣探究

問題1此題中點(diǎn)B與點(diǎn)A有什么關(guān)系? 如圖, 猜想AB為橢圓的切線.事實(shí)上, 直線AB的方程為x+2y+4=0,與橢圓方程聯(lián)立消去x得y2+2y+1=0,Δ=0.AB為橢圓的切線.

問題2過點(diǎn)B的切線有兩條, 點(diǎn)A改為點(diǎn)C(-2,1),點(diǎn)B是否仍為PQ的中點(diǎn)? 同解法1 不難得到結(jié)論成立.

問題3點(diǎn)A在直線x=-2 上移動(dòng)時(shí),點(diǎn)B是否仍為PQ的中點(diǎn)? 同解法1 不難得到結(jié)論成立.于是,本題(Ⅱ)推廣為:過點(diǎn)B(-4,0)的直線l交橢圓C于點(diǎn)M,N,點(diǎn)A是直線x=-2 上一點(diǎn),直線MA,NA分別交直線x=-4 于點(diǎn)P,Q.則點(diǎn)B為PQ的中點(diǎn).

問題4點(diǎn)A與點(diǎn)B有什么的關(guān)系時(shí),點(diǎn)B為PQ的中點(diǎn)?

解設(shè)P(m,p),Q(m,q),M(x1,y1),N(x2,y2),A(s,t).當(dāng)直線l的斜率為0 時(shí), 不妨設(shè)M(-a,0),N(a,0).由A,M,P三點(diǎn)共線有同理,若p+q= 0,則化簡(jiǎn)得:

當(dāng)直線l的斜率不為0 時(shí),設(shè)其方程為:x=ny+m與橢圓C的方程聯(lián)立化簡(jiǎn)得:(a2+b2n2)y2+ 2nmb2y+b2(m2-a2)= 0.則y1+y2==,ny1y2=-(y1+y2).由A,M,P三點(diǎn)共線有則p=同理,

推廣到一般有:

性質(zhì)1已知橢圓過點(diǎn)B(m,0)的直線l交橢圓C于點(diǎn)M,N,A為直線x=上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若直線MA,NA分別交直線x=m于點(diǎn)P,Q,則B為PQ的中點(diǎn).

探究其逆命題有:

性質(zhì)2已知橢圓直線l:x=m與x軸交點(diǎn)為B,PQ在直線l上,且B為PQ的中點(diǎn),過點(diǎn)B的直線交橢圓C于點(diǎn)M,N,則PM,NQ的交點(diǎn)A在定直線上.

簡(jiǎn)證由問題4 知

探究其逆命題,定值問題轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)(直線)問題.雙曲線、拋物線也有類似的結(jié)論.

3 引申探究

問題5把點(diǎn)A所在直線移到橢圓外面,把B點(diǎn)移到橢圓內(nèi)部,會(huì)有什么結(jié)論呢? 利用GeoGebra 探究發(fā)現(xiàn),結(jié)論仍然成立.不僅如此,特別地,如圖,當(dāng)點(diǎn)A在x軸上還新的結(jié)論.

變式過點(diǎn)B(-2,0)的直線l交橢圓1 于點(diǎn)M,N, 點(diǎn)A是直線x=-4 與x軸的交點(diǎn), 則∠NAB=∠BAM.

證明設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2).直線l:x=ny -2與橢圓C方程聯(lián)立化簡(jiǎn)得(4+n2)y2-4ny -4 = 0,由韋達(dá)定理有:y1+y2=則ny1y2=-(y1+y2).而

故∠OMA=∠OMB.

變式產(chǎn)生了新的定值問題,從變式中可以找到近幾年的高考試題.

例1(2018年高考全國(guó)Ⅰ卷理科第19 題)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F, 過F的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0).

(Ⅰ)當(dāng)l與x軸垂直時(shí),求直線AM的方程;

(ⅠⅠ)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),證明∠OMA=∠OMB.

例2(2015年高考全國(guó)Ⅰ卷理科第20 題)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C:y=與直線y=kx+a交與M,N兩點(diǎn).

(Ⅰ)當(dāng)k=0 時(shí),分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程;

(ⅠⅠ)y軸上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí),總有∠OPM=∠OPN? 說明理由.

依照如上思路,我們也可以得到如下已知結(jié)論:

性質(zhì)3[2]已知橢圓= 1(a ＞b ＞0), 點(diǎn)(0＜|m| ＜a).設(shè)不與x軸垂直的直線l與橢圓交于A,B兩點(diǎn), 則直線l過定點(diǎn)(m,0)充要條件是x軸是∠AMB的角平分線.

雙曲線、拋物線也有類似的結(jié)論.有興趣的讀者可自己嘗試總結(jié)與證明.

定值問題求解的方法通常有兩種:一種是特殊值求法,另一種是直接推理計(jì)算.不論使用哪種方法都需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砟芰?扎實(shí)的運(yùn)算能力,這也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求使然.

GeoGebra 動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件融代數(shù)、微積分與幾何功能于一體,以“動(dòng)態(tài)”為特色,對(duì)高中數(shù)學(xué)具有無以倫比的獨(dú)特優(yōu)勢(shì),很多高中數(shù)學(xué)問題都可以用它進(jìn)行研究.利用GeoGebra動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件研究高考題,能發(fā)掘其內(nèi)涵,探索出新結(jié)論,領(lǐng)會(huì)高考試題命制的背景、意圖及其蘊(yùn)含的真諦.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出:在教學(xué)活動(dòng)中,應(yīng)結(jié)合教學(xué)任務(wù)及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)設(shè)計(jì)合適的情境和問題,引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)問題,使用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言描述問題,用數(shù)學(xué)的思想、方法解決問題.通過探究活動(dòng),讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程,引導(dǎo)他們勇于發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題,進(jìn)而在分析、類比、猜想、證明過程中理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì),激發(fā)學(xué)生的潛能,培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等核心素養(yǎng),促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.