“創(chuàng)新性”探究*
——一道開放性試題引起的思考

廣東省中山市楊仙逸中學(xué)(528400) 謝榕平

《中國高考評(píng)價(jià)體系》中的“四層”考查內(nèi)容和“四翼”考查要求,是通過情境與情境活動(dòng)兩類載體來實(shí)現(xiàn)的.高考通過設(shè)置不同層級(jí)的情境活動(dòng)來考查學(xué)生在“四層”內(nèi)容上的表現(xiàn)水平.根據(jù)“四翼”考查要求,高考命題需要體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性.創(chuàng)新性要求創(chuàng)設(shè)合理情境,設(shè)置新穎的試題呈現(xiàn)方式和設(shè)問方式,要求即將進(jìn)入高等學(xué)校的學(xué)習(xí)者能在新穎或陌生的情境中主動(dòng)思考,完成開放性或探究性的任務(wù).

基于《中國高考評(píng)價(jià)體系》對(duì)于試題在創(chuàng)新性方面的要求,中學(xué)教育在試題命制上也做了大膽的探索和嘗試,打破常規(guī)命題規(guī)律, 采用新穎、靈活的方式, 以期對(duì)教學(xué)有一個(gè)較好的引導(dǎo)作用.在最近一次較大型考試活動(dòng)中,出現(xiàn)了一道開放性題目,筆者就題目的形式、閱卷過程發(fā)現(xiàn)的問題和2020年高考數(shù)學(xué)試題中出現(xiàn)的開放性題型做一個(gè)探討研究,以期交流.

1 試題展示及評(píng)析

題目數(shù)學(xué)命題一般由“條件”和“結(jié)論”兩部分組成.正確的命題揭示了“條件”與“結(jié)論”之間的必然聯(lián)系.如果我們把命題中“條件”和“結(jié)論”互換身份,就有可能得到一個(gè)有意義的逆向命題;把一個(gè)數(shù)學(xué)命題中的某些特殊的條件一般化(比如取消某些條件過強(qiáng)的限制),從而得到更普遍的結(jié)論,叫做數(shù)學(xué)命題的推廣.這兩種方式都是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)新知識(shí)的重要途徑.下面,給出一個(gè)具體問題,請(qǐng)你先解答這個(gè)問題,并嘗試按上面提示的思路,提出有意義的問題并解答.

圓O的方程為x2+y2= 1,斜率為k的直線l與圓O交于兩點(diǎn)A,B,與x軸交于圓內(nèi)一點(diǎn)F(c,0),其中c ?=0,點(diǎn)M(m,0)為x軸上一點(diǎn).

(1)當(dāng)c=,k= 2 時(shí),若有∠OMA= ∠OMB,求m的值;

(2)就本問題,請(qǐng)你嘗試提出有意義的問題并解答(請(qǐng)注意完整、清晰、簡潔地?cái)⑹瞿闼岢龅膯栴}.本題視所提問題的意義及解答給分).

試題第一問給定了參數(shù)求解,難度較低,給大部分考生成功求解的機(jī)會(huì).第二問以開放性的形式呈現(xiàn),需要考生自己提出問題然后再解答,評(píng)分視所提問題及解答水平層次而定.試題很好地考查了學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng),同時(shí)也考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法.題目既體現(xiàn)了基礎(chǔ)性和綜合性,考查了學(xué)生直線與圓的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能,又體現(xiàn)了創(chuàng)新性,高度符合《中國高考評(píng)價(jià)體系》對(duì)試題的命制要求.

2 解答探究

2.1 第(1)問解答當(dāng)c=,k= 2 時(shí),A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-1),由kAM+kBM=得m=2.

2.2 第(2)問解答根據(jù)不同層級(jí)思維水平,第(2)問的解答可能會(huì)出現(xiàn)如下情況:

2.2.1 第一類(逆命題或參數(shù)變化)此類解答只是把問題變?yōu)槟婷}或者改參數(shù)為其它特殊值,思維水平層次較低,在評(píng)分時(shí)得分就會(huì)較低.

參考1(逆命題)問題:圓O的方程為x2+y2= 1,斜率為k的直線l與圓O交于兩點(diǎn)A,B,與x軸交于圓內(nèi)點(diǎn)F(c,0),點(diǎn)M(m,0)為x軸上一點(diǎn).當(dāng)c=,k= 2 時(shí),若m=2,則有∠OMA=∠OMB.

參考2(改變k)問題:圓O的方程為x2+y2= 1,斜率為k的直線l與圓O交于兩點(diǎn)A,B,與x軸交于圓內(nèi)點(diǎn)F(c,0),點(diǎn)M(m,0)為x軸上一點(diǎn).當(dāng)c=,k= 1(或者k為其它具體常數(shù))時(shí),若有∠OMA=∠OMB,求m的值.

參考3(改變c)問題:圓O的方程為x2+y2= 1,斜率為k的直線l與圓O交于兩點(diǎn)A,B,與x軸交于圓內(nèi)點(diǎn)F(c,0),點(diǎn)M(m,0)為x軸上一點(diǎn).當(dāng)c=,k= 2(或者c為其它具體常數(shù))時(shí),若有∠OMA=∠OMB,求m的值.

2.2.2 第二類(參數(shù)一般化)這一類解答是把一個(gè)參數(shù)一般化,或者寫成其逆命題的形式,思維水平層次比第一類解答的思維水平層次高.

參考4(參數(shù)k 一般化)問題:圓O的方程為x2+y2=1,斜率為k的直線l與圓O交于兩點(diǎn)A,B,與x軸交于圓內(nèi)點(diǎn)F(c,0),點(diǎn)M(m,0)為x軸上一點(diǎn).當(dāng)c=時(shí),若對(duì)任意常數(shù)k,有∠OMA=∠OMB,求m的值.

逆命題:圓O的方程為x2+y2= 1,斜率為k的直線l與圓O交于兩點(diǎn)A,B, 與x軸交于圓內(nèi)點(diǎn)F(c,0), 其中c ?= 0,點(diǎn)M(m,0)為x軸上一點(diǎn).當(dāng)c=,m= 2 時(shí),則對(duì)任意常數(shù)k,有∠OMA=∠OMB.

解答過程:證明:當(dāng)直線斜率為0 時(shí)顯然成立; 當(dāng)斜率不為0 時(shí), 設(shè)t=,A(x1,y1),B(x2,y2),AB的方程為x=ty+,代入圓的方程整理得:(t2+1)y2+ty+(-)=0,而

其中

由于t是任意非零實(shí)數(shù),所以∠OMA= ∠OMB等價(jià)于kAM+kBM=0,即m-2=0,即m=2,反之亦然.

參考5(參數(shù)c 一般化)問題:圓O的方程為x2+y2=1,斜率為k的直線l與圓O交于兩點(diǎn)A,B,與x軸交于圓內(nèi)點(diǎn)F(c,0),其中c ?= 0,點(diǎn)M(m,0)為x軸上一點(diǎn).當(dāng)k= 2時(shí),若有∠OMA=∠OMB,求m的值.

逆命題:圓O的方程為x2+y2= 1, 斜率為k的直線l與圓O交于兩點(diǎn)A,B, 與x軸交于圓內(nèi)點(diǎn)F(c,0),其中c ?= 0, 點(diǎn)M(m,0)為x軸上一點(diǎn).當(dāng)k= 2 時(shí), 若(-1＜c ＜1 且c ?=0),則有∠OMA=∠OMB.

解答過程:證明:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的方程為代入圓的方程整理得:y1+y2=而

其中

因?yàn)椤螼MA= ∠OMB等價(jià)于kAM+kBM= 0, 即cm-1=0,即m=反之亦然.

2.2.3 第三類(問題一般化)

這一類解答是把問題一般化,思維層次水平較高.能較好的考查學(xué)生由數(shù)字運(yùn)算到字母運(yùn)算的能力的達(dá)成,極好滲透由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法.

參考6(參數(shù)c,k 一般化)問題:圓O的方程為x2+y2= 1, 直線l與圓O交于兩點(diǎn)A,B, 與x軸交于圓內(nèi)點(diǎn)F(c,0), 其中c ?= 0, 點(diǎn)M(m,0)為x軸上一點(diǎn).當(dāng)mc=1 時(shí),都有∠OMA=∠OMB.

注事實(shí)上,本問題中mc=1 與∠OMA=∠OMB是充要條件,給出充要條件者亦記滿分.

解答過程:圓O的方程為x2+y2=1,直線l與圓O交于兩點(diǎn)A,B,與x軸交于圓內(nèi)點(diǎn)F(c,0),點(diǎn)M(m,0)為x軸上一點(diǎn).則對(duì)任意k有∠OMA= ∠OMB成立的充要條件為mc=1.

證明:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的方程為x=ty+c,代入圓的方程整理得:(t2+ 1)y2+ 2tcy+c2-1 = 0,而

其中

由于t是任意實(shí)數(shù), 所以∠OMA= ∠OMB等價(jià)于kAM+kBM=0,即cm-1=0,即cm=1,反之亦然.

3 學(xué)生典型問題剖析

本試題的命制在創(chuàng)新性上是一個(gè)很有意義的嘗試,在閱卷過程中暴露出學(xué)生較多的問題.

3.1 必備知識(shí)不少學(xué)生卷面出現(xiàn)直線方程寫錯(cuò)、計(jì)算出錯(cuò)等問題,反映出學(xué)生的基本概念、基本原理、基本技能掌握不扎實(shí).對(duì)解析幾何中坐標(biāo)法的思想領(lǐng)悟不到位,角度相等只能直觀翻譯為角平分線,不能轉(zhuǎn)化到坐標(biāo)上.

3.2 關(guān)鍵能力對(duì)于第(2)問的解答,絕大部分學(xué)生只能依葫蘆畫瓢,停留在改變參數(shù)這個(gè)低層次的思維模式,提出的問題還是原來題設(shè)的問題;學(xué)生沒能發(fā)現(xiàn)題目已經(jīng)以字母化的形式表示了一定量,命題者的原意就是需要考生進(jìn)行抽象加工為一般化;部分學(xué)生能發(fā)現(xiàn)與斜率無關(guān),寫出動(dòng)直線的原命題和逆命題,但還未發(fā)現(xiàn)一般化的推廣.從以上這些閱卷情況可以發(fā)現(xiàn),學(xué)生的關(guān)鍵能力,特別是符號(hào)理解能力、信息轉(zhuǎn)化能力、抽象思維能力等還比較欠缺,沒能從所給情境中提取有效信息,透過現(xiàn)象看到本質(zhì),發(fā)現(xiàn)隱含的規(guī)律.

3.3 學(xué)科素養(yǎng)本題如果以一個(gè)常規(guī)題型的形式呈現(xiàn),學(xué)生順利解答就相對(duì)容易很多,現(xiàn)在以開放式的學(xué)習(xí)探索情境出現(xiàn),學(xué)生無法掙破常規(guī)思維的桎梏,無從下手.有些同學(xué)提出的問題是求切線方程,求弦長,求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程等,說明學(xué)生沒有擺脫平時(shí)題目訓(xùn)練的痕跡,思維局限在刷的題目里,其本質(zhì)上是缺少理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)探索的能力,也是題海戰(zhàn)術(shù)和套路訓(xùn)練的必然結(jié)果.這是日常教學(xué)的薄弱點(diǎn),也是該改進(jìn)和努力的地方.

4 高考試題展示

高考數(shù)學(xué)的創(chuàng)新性強(qiáng)調(diào)對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用,通過命制開放性試題,結(jié)構(gòu)不良試題等,發(fā)揮選拔功能.2020年的高考試題里也有新穎的創(chuàng)新題型出現(xiàn),如2020年高考數(shù)學(xué)山東卷、海南卷第17 題:

在1○ac=√2○csinA= 3, 3○c=這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問題中,若問題中的三角形存在,求c的值;若問題中的三角形不存在,說明理由.

問題是否存在ΔABC,它的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且sinA=

注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.

從試題形式上看,這是一道創(chuàng)新的開放性題目,也是一道結(jié)構(gòu)不良題目.從內(nèi)容上看,作為一道解三角形的題目,不管是三個(gè)條件中的哪一個(gè),放進(jìn)問題里作為一道常規(guī)的高考試題,都是一道不難的題目,選擇條件①或者②,所求三角形都是存在的,選擇條件③,所求三角形不存在.但這種打破常規(guī)的題型設(shè)置從主觀上已經(jīng)把相當(dāng)一部分學(xué)生嚇到,讓學(xué)生無所適從.這種創(chuàng)新性的題型,主要考查學(xué)生的探究能力、理性思維和邏輯思維能力,有較好的區(qū)分度,有利于人才選拔.面對(duì)這種新穎、靈活的命題趨勢(shì),不管是教師的教還是學(xué)生的學(xué),都要解決高考備考中的“阿喀琉斯之踵”,改變應(yīng)試教育一味刷題的學(xué)習(xí)模式,從套路訓(xùn)練中跳出來.日常教學(xué)和備考都要注意抽絲剝繭,把握數(shù)學(xué)本質(zhì),強(qiáng)調(diào)能力的培養(yǎng),培養(yǎng)學(xué)生高層次的理性思維和敢于質(zhì)疑、勇于創(chuàng)新、提出獨(dú)特見解的可貴品質(zhì).

5 結(jié)束語

基于高考評(píng)價(jià)體系,高考命題理念實(shí)現(xiàn)了由“知識(shí)能力立意”到“價(jià)值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識(shí)為基”的轉(zhuǎn)變.“四翼”考查要求里的創(chuàng)新性是高考選拔功能的體現(xiàn),鼓勵(lì)學(xué)生擺脫定勢(shì)思維的束縛,從整體上建構(gòu)知識(shí)框架,形成深層次的認(rèn)知結(jié)構(gòu),加強(qiáng)邏輯思維能力的培養(yǎng),提升分析問題、解決問題的能力,引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生探索生活中的數(shù)學(xué)問題,促進(jìn)學(xué)生的實(shí)踐能力,在學(xué)習(xí)、積累、領(lǐng)悟、內(nèi)省、升華中形成數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).