一類與函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)有關(guān)問題的統(tǒng)一解法

廣東省佛山市南海區(qū)獅山石門高級(jí)中學(xué)(528225) 徐正印 白慶全

確定(討論)含有參數(shù)的函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)或根據(jù)含有參數(shù)的函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)確定(求)參數(shù)取值范圍的問題通常涉及到函數(shù)的單調(diào)性、最值等性質(zhì), 融合了數(shù)形結(jié)合、分離參數(shù)、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法,具有綜合性強(qiáng)、形式靈活、思維嚴(yán)密等特點(diǎn),能較好地反映學(xué)生分析問題和解決問題的能力,備受高考命題者的青睞,在近年的新課標(biāo)卷中持續(xù)出現(xiàn).

由于“根據(jù)含有參數(shù)的函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)確定(求)參數(shù)取值范圍”可以看作是“確定(討論)含有參數(shù)的函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)”的逆運(yùn)算,因此前者的本質(zhì)與后者是一樣,他們可以看成是一類問題.

文[1]在延續(xù)了高考試題提供的解題思路的情況下,重點(diǎn)介紹了在使用零點(diǎn)存在定理時(shí)如何取“特殊點(diǎn)”,但這要具備較強(qiáng)的觀察能力,大部分考生(如筆者所面對(duì)的學(xué)生)不容易掌握其要領(lǐng).

文[2]介紹了多種方法,同樣涉及“取點(diǎn)問題”,也需要較強(qiáng)的觀察能力.為此,筆者借助近年高考試題,對(duì)這類問題再次分析,以便讀者(考生)掌握其解題要領(lǐng).

這類題目分兩種情況:

情況一可以分離參數(shù),即利用含有參數(shù)(參數(shù)通常用a表示)的函數(shù)值等于零分離出參數(shù),把函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)為一個(gè)不含參數(shù)的函數(shù)與一條與y軸垂直的動(dòng)直線(通常為y=a)交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題,利用這兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來確定(證明或討論)函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)或確定(求)參數(shù)的取值范圍.如:

例1(2015年高考新課標(biāo)Ⅰ卷文科)已知函數(shù)f(x)=e2x-alnx.

(Ⅰ)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù);(Ⅱ)略.

例2(2018年高考新課標(biāo)Ⅰ卷理科)已知函數(shù)f(x)=g(x)=f(x)+x+a,若g(x)存在2 個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是

A.[-1,0) B.[0,+∞) C.[-1,+∞) D.[1,+∞)

例3(2018年高考新課標(biāo)Ⅱ卷文科)函數(shù)f(x)=-a(x2+x+1).

(Ⅰ)略;(Ⅱ)證明:f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).

限于篇幅,僅以例1 為例說明.

分析 (Ⅰ)f′(x)= 2e2x-(x ＞0),f′(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)?方程2e2x-=0 正根的個(gè)數(shù)?2xe2x-a=0 正根的個(gè)數(shù)?y= 2xe2x(x ＞0)的圖象與y=a的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù).

設(shè)g(x)= 2xe2x(x ＞0), 則g′(x)= 2(1+2x)e2x, 在(0,+∞)上,g′(x)＞0,g(x)單調(diào)遞增.

g(x)= 2xe2x ＞0, 當(dāng)x →0+時(shí),g(x)→0;當(dāng)x →+∞時(shí),g(x)→+∞;函數(shù)y=2xe2x(x ＞0)的大致圖象如圖1.

圖1

當(dāng)a≤0 時(shí),y= 2xe2x(x ＞0)圖象與直線y=a沒有交點(diǎn);當(dāng)a ＞0 時(shí),y=2xe2x(x ＞0)圖象與直線y=a的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn).綜上,當(dāng)a≤0 時(shí),f′(x)沒有零點(diǎn);當(dāng)a ＞0 時(shí),有唯一的零點(diǎn).

評(píng)注為了畫出y=g(x)的大致圖象(主要體現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)性和趨向),需要先研究y=g(x)的單調(diào)性,再研究y=g(x)圖象的趨勢(shì).

這種方法的優(yōu)勢(shì)在于不需要找零點(diǎn)所在區(qū)間的端點(diǎn).

例4(2016年高考新課標(biāo)Ⅰ卷文科)函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.

(Ⅰ)略;(Ⅱ)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.

例5(2018年高考新課標(biāo)Ⅱ卷理科)已知函數(shù)f(x)=ex-ax2.

(Ⅰ)略;(Ⅱ)若f(x)在(0,+∞)上只有一個(gè)零點(diǎn),求a.

例6(2020年高考新課標(biāo)Ⅰ卷文科)已知函數(shù)f(x)=ex-a(x+2).

(Ⅰ)略;(Ⅱ)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.

限于篇幅,僅以例4 為例說明.

在十九大開幕當(dāng)天，江西日?qǐng)?bào)全媒體報(bào)道中心策劃、中國(guó)江西網(wǎng)制作的H5作品“十九大報(bào)告學(xué)習(xí)詞典”發(fā)布。作品圍繞十九大，扣住報(bào)告中提出的“一系列新思想、新論斷、新要求”主線，圖文并茂，互動(dòng)性強(qiáng)，6天時(shí)間總閱讀數(shù)就超過1000萬(wàn)，成為全國(guó)媒體解讀十九大報(bào)告中少有的千萬(wàn)級(jí)爆款作品。這是在重大事件報(bào)道面前，省級(jí)黨報(bào)集團(tuán)媒體融合報(bào)道的一次有益嘗試和探索。

分析(Ⅱ)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)?(x-2)ex+a(x-1)2=0 有兩個(gè)實(shí)根?(x-2)ex+a(x-1)2=0 有兩個(gè)都不等于1 的實(shí)根?y=(x ?=1)的圖象與y=a的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

設(shè)g(x)=(x ?=1),則在 (-∞,1)上,g(x)＞0,g′(x)＞0,g(x)單調(diào)遞增.在(1,+∞)上,g′(x)＜0,g(x)單調(diào)遞減.當(dāng)x → -∞時(shí),g(x)→0; 當(dāng)x →1-時(shí),g(x)→+∞; 當(dāng)x →1+時(shí),g(x)→+∞;g(2)= 0; 函數(shù)的大致圖象如圖2.

圖2

當(dāng)a ＞0 時(shí),y=的圖象與y=a的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn).故a的取值范圍是(0,+∞).

情況二不能分離或不便于分離參數(shù)(如分離出來的函數(shù)過于復(fù)雜),即利用含有參數(shù)(參數(shù)通常用a表示)的函數(shù)值等于零分離不出參數(shù)或不便于分離不出參數(shù).

這類題目一般是這樣的:先要求考生討論函數(shù)的單調(diào)性;再要求考生根據(jù)這個(gè)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍.如:

例7(2017年高考新課標(biāo)Ⅰ卷理科)已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;

(Ⅱ)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.

分析(Ⅰ)當(dāng)a≤0 時(shí),f(x)在R 上單調(diào)遞減;當(dāng)a ＞0時(shí),f(x)在單調(diào)遞減;f(x)在單調(diào)遞增(過程略).

(Ⅱ)由(Ⅰ)知:當(dāng)a≤ 0 時(shí),f(x)不可能有兩個(gè)零點(diǎn).當(dāng)a ＞0 時(shí), 當(dāng)x → -∞時(shí),f(x)→+∞; 當(dāng)x →+∞時(shí),f(x)→+∞.因?yàn)閒(x)有兩個(gè)零點(diǎn), 所以

設(shè)g(x)=1-x-lnx(x ＞0),則g′(x)=在(0,+∞)上,g(x)單調(diào)遞減.因?yàn)間(1)= 0,所以當(dāng)且僅當(dāng)x ＞1 時(shí),g(x)＜0, 即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),故,a的取值范圍為(0,1).

例8(2020年高考新課標(biāo)Ⅲ卷文科)函數(shù)f(x)=x3-kx+k2.

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;

(Ⅱ)若f(x)有三個(gè)零點(diǎn),求k的取值范圍.

分析(Ⅰ)當(dāng)k≤0 時(shí),f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增; 當(dāng)k ＞0 時(shí), 在上單調(diào)遞減, 在上單調(diào)遞增(過程略).

(Ⅱ)當(dāng)x →-∞時(shí),f(x)→-∞; 當(dāng)x →+∞時(shí),f(x)→+∞.由(Ⅰ)知:欲使f(x)有三個(gè)零點(diǎn), 則k ＞0,且綜上,k的取值范圍為