可變抽樣區(qū)間的多變量自相關(guān)過(guò)程VAR控制圖

薛 麗

(1.天津大學(xué) 管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)部,天津 300072; 2.鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 管理工程學(xué)院,河南 鄭州 450046)

0 引言

為了提高控制圖的監(jiān)控效率，Reynolds等提出了具有可變抽樣區(qū)間的休哈特均值控制圖,由此形成了動(dòng)態(tài)控制圖這一新的研究領(lǐng)域[10]。眾多學(xué)者研究表明, 可變抽樣區(qū)間控制圖較固定抽樣區(qū)間控制圖具有很大的優(yōu)越性,它可以顯著提高控制圖的效率[11～16]。為了能更快地監(jiān)測(cè)出多變量自相關(guān)過(guò)程中的波動(dòng), 本文將對(duì)多變量自相關(guān)過(guò)程的VAR控制圖進(jìn)行可變抽樣區(qū)間設(shè)計(jì)，利用蒙特卡洛模擬方法計(jì)算其平均報(bào)警時(shí)間, 計(jì)算結(jié)果表明,與固定抽樣區(qū)間VAR控制圖相比,可變抽樣區(qū)間VAR控制圖在過(guò)程失控時(shí)具有較短的平均報(bào)警時(shí)間,從而能夠更有效的提高生產(chǎn)效率。

1 VAR控制圖

假設(shè)一個(gè)產(chǎn)品的p維質(zhì)量特性值Xt不獨(dú)立，具有自相關(guān)性，并且服從平穩(wěn)q階向量自回歸VAR(q)模型，

(1)

其中，Xt=(X1t,X2t,…,Xpt)/表示t時(shí)刻觀測(cè)值的p維列向量，Xt的均值向量為μ=(μ1,μ2,…,μp)/,Ai表示p×p維的自相關(guān)系數(shù)矩陣。對(duì)于平穩(wěn)VAR(q)過(guò)程，μ和Ai都不依賴(lài)于時(shí)間t。εt=(ε1t,ε2t,…,εpt)/為均值為0的p維白噪聲序列,εt～Np(0,Σ)。

令{x1,x2,…,xn}為樣本容量為n，服從平穩(wěn)VAR(q)過(guò)程的觀測(cè)值序列，則樣本均值為具有序列相關(guān)的觀測(cè)值均值的無(wú)偏估計(jì)值[9]，

(2)

假設(shè)多變量自相關(guān)過(guò)程的觀測(cè)值序列{xt}服從VAR(q)模型。xt=(x1,t,x2,t,…,xp,t)T為t時(shí)刻的觀測(cè)值向量，則第k個(gè)子組的n個(gè)觀測(cè)值可以表示為xkn+j=(x1,kn+j,x2,kn+j,…,xp,kn+j)T,k=0,1,2,…,j=1,2,…,n那么，統(tǒng)計(jì)量Vk如下:

(3)

(4)

(5)

根據(jù)批量-均值法的思想，將過(guò)程觀測(cè)值劃分為若干互不重疊的子組，只要子組樣本量足夠大，各子組的均值將滿(mǎn)足獨(dú)立性假設(shè)。因此由參考文獻(xiàn)[9]可知：統(tǒng)計(jì)量Vk漸近服從p維卡方分布。

針對(duì)泥石流地質(zhì)災(zāi)害對(duì)浙江省造成的重大危害，2005年至2008年，浙江省在全省范圍開(kāi)展以縣（市、區(qū)）為單位，以小流域?yàn)閱卧哪嗍麟[患專(zhuān)項(xiàng)調(diào)查工作。調(diào)查范圍覆蓋全省48個(gè)地質(zhì)災(zāi)害防治重點(diǎn)縣（市、區(qū)）。調(diào)查面積5.96平方千米，調(diào)查小流域溝谷12504 條，基本查明泥石流隱患1621 處，威脅人員38248 人，威脅財(cái)產(chǎn)95070 萬(wàn)元，編制防災(zāi)避險(xiǎn)圖1621 張，提交防災(zāi)預(yù)警方案747 份。

對(duì)于給定的虛發(fā)警報(bào)概率α，上控制限UCL為:

(6)

如果

(7)

則控制圖報(bào)警，表明多變量自相關(guān)過(guò)程出現(xiàn)異常。

2 可變抽樣區(qū)間的VAR控制圖

自從Reynolds于1988年[4]提出了可變抽樣區(qū)間控制圖以來(lái)，眾多學(xué)者研究結(jié)果表明：可變抽樣區(qū)間(VSI)控制圖較固定抽樣區(qū)間(FSI)控制圖具有很大的優(yōu)越性,它可以顯著提高控制圖的效率,使得失控過(guò)程能夠及早被發(fā)現(xiàn)。為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，本節(jié)只考慮兩個(gè)抽樣區(qū)間：長(zhǎng)抽樣區(qū)間和短抽樣區(qū)間，對(duì)VAR控制圖進(jìn)行可變抽樣區(qū)間設(shè)計(jì)，并用蒙特卡洛模擬方法計(jì)算其平均報(bào)警時(shí)間。

2.1 VAR控制圖的可變抽樣區(qū)間設(shè)計(jì)

對(duì)VAR控制圖進(jìn)行可變抽樣區(qū)間設(shè)計(jì)時(shí), 將控制圖上的界限分為中心線、警戒限和控制限,警戒限位于中心線和控制限之間,因?yàn)閂k大于等于0，只需要確定上警戒限,如圖1所示，并定義:

UWL=W

(8)

其中W為上警戒限。

圖1 可變抽樣區(qū)間控制圖控制區(qū)域的劃分

控制圖的受控區(qū)域被分成中心域與警戒域兩部分,區(qū)間I1=[0,UWL]為安全域，I2=[UWL,UCL]為警戒域。選取兩個(gè)抽樣區(qū)間長(zhǎng)度h1和h2，且h1>h2>0，若樣本點(diǎn)落在安全域(0≤Vk≤UWL)，則下一個(gè)抽樣區(qū)間為h1；若樣本點(diǎn)落在警戒域(UWLUCL),則控制圖報(bào)警。

2.2 可變抽樣區(qū)間VAR控制圖的平均報(bào)警時(shí)間

對(duì)于常規(guī)的控制圖，通常采用平均運(yùn)行長(zhǎng)度ARL來(lái)評(píng)價(jià)它的性能。由于可變抽樣區(qū)間控制圖的抽樣間隔不固定，再采用平均運(yùn)行長(zhǎng)度評(píng)價(jià)其性能已經(jīng)不適宜。此時(shí)可以應(yīng)用平均報(bào)警時(shí)間ATS來(lái)度量可變抽樣區(qū)間控制圖的性能。平均報(bào)警時(shí)間是指從過(guò)程發(fā)生偏移到控制圖發(fā)出報(bào)警信號(hào)期間所需的平均時(shí)間。當(dāng)過(guò)程受控時(shí),為了使控制圖發(fā)生第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率很低，希望ATS越大越好；當(dāng)過(guò)程失控時(shí),為了使得異常原因能夠及早被發(fā)現(xiàn)，希望ATS越小越好。

關(guān)于平均報(bào)警時(shí)間ATS的計(jì)算方法有很多,如馬爾科夫鏈方法,積分方程方法以及蒙特卡洛模擬方法等，由于VAR控制圖的平均運(yùn)行長(zhǎng)度ARL以及VSI VAR控制圖的平均報(bào)警時(shí)間ATS的計(jì)算公式非常復(fù)雜，無(wú)法得到解析結(jié)果。因此，本文采用蒙特卡洛模擬方法計(jì)算VSI VAR控制圖的平均報(bào)警時(shí)間ATS。隨著現(xiàn)代計(jì)算水平的提高，蒙特卡洛模擬方法比傳統(tǒng)的公式計(jì)算的方法更具有可操作性。這種方法可以應(yīng)用到多種場(chǎng)景，并且擬合的結(jié)果更準(zhǔn)確。對(duì)于給定的上控制限H,上警戒限W可以運(yùn)用下面的蒙特卡洛模擬方法計(jì)算平均報(bào)警時(shí)間ATS，具體過(guò)程如下：

令M為重復(fù)擬合的次數(shù)，可以選擇為比較大的整數(shù)，比如M=105

(1)在第j(1≤j≤M)次的重復(fù)擬合中，運(yùn)用下面的循環(huán)計(jì)算TS(j)

①對(duì)于自相關(guān)過(guò)程VAR(q)，根據(jù)公式(1)生成p維向量{Xn}；

②根據(jù)公式(3)，得到統(tǒng)計(jì)量Vk；

③如果統(tǒng)計(jì)量Vk的值落在安全域I1=[0,UWL]內(nèi)，即0H，則控制圖報(bào)警。當(dāng)控制圖報(bào)警時(shí)，記錄TS(j)的值，并停止循環(huán)；否則，令t=t+1，繼續(xù)循環(huán)。

(2)平均報(bào)警時(shí)間ATS的值可以用M個(gè)報(bào)警時(shí)間{TS(j),j=1,2,…,M}的平均值進(jìn)行估計(jì)得到。

3 VSI VAR控制圖與FSI VAR控制圖的比較

本節(jié)采用平均報(bào)警時(shí)間ATS作為其評(píng)價(jià)準(zhǔn)則?？紤]樣本容量n=50和100，針對(duì)控制限H=10,11,12,13,14,15時(shí)，選取警戒限W=4,W=5,W=6,W=7四種情況進(jìn)行比較分析。當(dāng)控制限H和警戒限W確定時(shí)，選擇合適的長(zhǎng)抽樣區(qū)間h1和短抽樣區(qū)間h2使得FSI和VSI VAR控制圖的受控平均報(bào)警時(shí)間ATS相同；然后分別計(jì)算過(guò)程失控時(shí)這兩種控制圖的ATS并進(jìn)行比較，ATS越小的控制圖其監(jiān)控效果越好。考慮用VAR(2)模型：X1=A1Xt-1+A2Xt-2+εt監(jiān)控三維變量的過(guò)程，其中

不失一般性，假設(shè)三個(gè)質(zhì)量特性值過(guò)程波動(dòng)相同，即過(guò)程波動(dòng)Δ=[δ,δ,δ]，比較結(jié)果見(jiàn)表1～8。

表1 n=50,W=4時(shí)VSI VAR控制圖與FSI VAR控制圖的ATS的比較

表2 n=50,W=5時(shí)VSI VAR控制圖與FSI VAR控制圖的ATS的比較

表3 n=50,W=6時(shí)VSI VAR控制圖與FSI VAR控制圖的ATS的比較

表4 n=50,W=7時(shí)VSI VAR控制圖與FSI VAR控制圖的ATS的比較

表5 n=100,W=4時(shí)VSI VAR控制圖與FSI VAR控制圖的ATS的比較

表6 n=100,W=5時(shí)VSI VAR控制圖與FSI VAR控制圖的ATS的比較

表7 n=100,W=6時(shí)VSI VAR控制圖與FSI VAR控制圖的ATS的比較

表8 n=100,W=7時(shí)VSI VAR控制圖與FSI VAR控制圖的ATS的比較

由表1～8可知，在過(guò)程處于受控狀態(tài)(δ=0)，并且兩種控制圖的平均報(bào)警時(shí)間相同的前提下,過(guò)程失控時(shí)可變抽樣區(qū)間VAR控制圖與固定抽樣區(qū)間VAR控制圖相比，具有較小的平均報(bào)警時(shí)間。例如在表2中，當(dāng)n=50,W=4,H=12，過(guò)程受控時(shí)，F(xiàn)SI VAR控制圖的為196.57，VSI VAR控制圖的ATS均為196.59，基本相同；而當(dāng)δ=0.1時(shí)，F(xiàn)SI VAR控制圖的ATS為26.936，VSI VAR控制圖的為21.703，明顯前者大于后者；當(dāng)δ=-0.2時(shí)，F(xiàn)SI VAR控制圖的為5.170，VSI VAR控制圖的ATS為2.316，明顯前者大于后者。由此可以看出，過(guò)程發(fā)生波動(dòng)時(shí)，VSI VAR控制圖比FSI VAR控制圖具有較小的平均報(bào)警時(shí)間，進(jìn)而能更快地發(fā)現(xiàn)過(guò)程中的偏移。當(dāng)n=100時(shí)，可以得出同樣的結(jié)論，例如表7時(shí),H=13,W=6過(guò)程受控時(shí)，F(xiàn)SI VAR控制圖的ATS為236.95，VSI VAR控制圖的ATS均為237.03，基本相同；而當(dāng)δ=0.15時(shí)，F(xiàn)SI VAR控制圖的ATS為3.363，VSI VAR控制圖的ATS為1.173，明顯前者大于后者；而當(dāng)δ=-0.15時(shí)，F(xiàn)SI VAR控制圖的ATS為4.743，VSI VAR控制圖的ATS為2.061，明顯前者大于后者。因此，在實(shí)際生產(chǎn)中，對(duì)于多維變量的制造過(guò)程，可以采用VSI VAR控制圖對(duì)過(guò)程進(jìn)行監(jiān)控，以提高過(guò)程監(jiān)控效率，降低生產(chǎn)成本，提高生產(chǎn)的效率。

為了更直觀的看出VSI VAR控制圖與FSI VAR控制圖的監(jiān)控效果，用圖形的方式表示表1中六種情況兩種控制圖的監(jiān)控效果，具體見(jiàn)下圖。

從上圖可以看出，無(wú)論那種情況下，只要保證受控的時(shí)候兩種控制圖具有相同的平均報(bào)警時(shí)間，過(guò)程失控時(shí)，VSI VAR控制圖的監(jiān)控效果均優(yōu)于FSI VAR控制圖，具有較小的平均報(bào)警時(shí)間。

4 結(jié)論

為了提高多變量自相關(guān)過(guò)程監(jiān)控效率，本文對(duì)向量自回歸VAR控制圖進(jìn)行可變抽樣區(qū)間設(shè)計(jì)。用蒙特卡洛模擬方法計(jì)算多變量自相關(guān)過(guò)程VSI VAR控制圖的平均報(bào)警時(shí)間；以平均報(bào)警時(shí)間為評(píng)價(jià)準(zhǔn)則，對(duì)所設(shè)計(jì)的可變抽樣區(qū)間VAR控制圖與固定抽樣區(qū)間的VAR控制圖進(jìn)行比較研究。研究結(jié)果表明：所設(shè)計(jì)的可變抽樣區(qū)間VAR控制圖較固定抽樣區(qū)間的VAR控制圖具有很大的優(yōu)越性, 它可以降低系統(tǒng)的平均報(bào)警時(shí)間, 減少產(chǎn)品的不合格率，從而提高生產(chǎn)的效率。