把握課堂“意外”,提高思維層次

浙江省杭州第十四中學(xué)(310006) 樓思遠 周 艷

近日,筆者在課堂上講解一道關(guān)于二次曲線的切線問題時,學(xué)生提出了異議,在加以簡單的幾何解釋后學(xué)生仍有疑問,于是師生約定:各自思考后,第二天課堂展示成果,分享思路與比較哪種方法更優(yōu).根據(jù)學(xué)生展示的不同方法,師生一起通過討論分析將其整合與歸類.接著,筆者又依次給出幾道不同梯度的相關(guān)問題讓學(xué)生完成,最終取得了較好的教學(xué)效果,過程如下:

1 突發(fā)“意外”,順?biāo)浦?/h2>

課堂教學(xué)片段:

題目:已知拋物線C1:y=x2+2x和C2:y=-x2+a,若直線l同時是C1和C2的切線,則稱l是C1和C2的公切線,問:當(dāng)a取什么值時,C1和C2有且僅有一條公切線?試寫出公切線的方程.

圖一

圖二

圖三

師:顯然,由題可知圖象應(yīng)該如此(黑板上畫出圖一),從而列出方程解得答案.

生1:老師我認(rèn)為圖象往下移一點(圖二)也只有一條切線l1.

師:(略微一愣,微笑的畫出了另一條切線l2),從圖象可以看出這種情況有兩條切線.

生2:那如果向上移動呢,是不是也是兩條?

師:(在黑板上作出圖三)因為開口大小的關(guān)系,從圖象可以看出這種情況沒有切線.

生2:可是根據(jù)圖二的畫法,圖三的圖象左右兩側(cè)也該有兩條切線才對啊?(臺下有附和聲).

筆者一時也想不出更好的辦法來解釋,這個“意外”讓課堂陷入了沉寂,筆者隨即靈機一動,表示要與學(xué)生比比誰更快的找到解決方案,有想法的可以在明天為大家展示,學(xué)生的熱情一下被激發(fā)出來,個個躍躍欲試……

2 趁熱打鐵,揭示本質(zhì)

第二天的課堂上,筆者先讓學(xué)生踴躍發(fā)言,在歸納整理后于黑板上寫下三種具有代表性的解題思路,具體如下:

法一圖

法二圖

法三圖

法一(多點開花,兩面夾擊)

設(shè)切點為P(x1,y1),Q(x2,y2),記f(x)=x2+2x,g(x)=-x2+a,則f′(x)=2x+2,g′(x)=-2x,根據(jù)P點坐標(biāo)求得lPQ:y=(2x1+2)x-x21;根據(jù)Q點坐標(biāo)求得:lPQ:y=-2x2x+(a+x22),因為是同一條公切線,對比系數(shù)知:

(1)(2)?+2x1+(a+1)=0,將x1看成主元,得Δ=-4-8a,下面分類討論之:當(dāng)Δ＞0,即時,x1有兩實數(shù)解,分別對應(yīng)不同的x2,故有兩條切線,即圖二的情況;當(dāng)Δ=0,即時,一條切線,即圖一的情況;當(dāng)Δ＜0,即時,沒有切線,即圖三的情況.

法二(二次判別,一招制勝):

設(shè)f(x)=x2+2x上的一個切點為P(x1,y1),則過P的直線方程為:lp:y=(2x1+2)x-x21,聯(lián)立方程組得:x2+(2x1+2)x-(x21+a)=0.

要使lp與y=-x2+a相切,應(yīng)滿足判別式Δ1=0,即再將其看成關(guān)于x1的二次方程,則x1的解的個數(shù)對應(yīng)切線的條數(shù),解得Δ2=-4-8a,以下同法一.

法三(化繁為簡,穩(wěn)中求進):

設(shè)切點分別為P(x1,y1),Q(x2,y2),直線方程為l:y=kx+m,由兩切點皆在直線l上得,相減得:

同理,由兩點在各自曲線上得:

由兩點處切線斜率相等得:

筆者與學(xué)生一起對三種方法進行分析與比較后總結(jié)如下:

(1)法一計算量不大,思路較為巧妙,從中可歸納出解決公切線問題的關(guān)鍵:根據(jù)兩條曲線在切點處的導(dǎo)數(shù)分別表示出該公切線,利用對應(yīng)系數(shù)相等找到等量關(guān)系,再具體求解;

(2)法二將問題轉(zhuǎn)化為了熟悉的二次函數(shù)圖象問題,學(xué)生比較容易上手,但是運用兩次判別式對思維層次要求較高,若將拋物線換為橢圓或雙曲線,那么判別式的計算就比較繁瑣,因此該法有一定局限性;

(3)法三則是典型的的解析幾何的方法,在具體的解答過程中,變量較多,消元的過程需要預(yù)判與耐心,許多學(xué)生會半途而廢.

在解開了課堂疑惑后,學(xué)生們的熱情仍然高漲,筆者認(rèn)為應(yīng)該趁熱打鐵繼續(xù)加深學(xué)生對該類問題的認(rèn)識與理解,便給出了如下問題:

(2018年浙江學(xué)考22)若不等式2x2-(x-a)|x-a|-2≥0對于任意x∈?恒成立,則實數(shù)a的最小值是____.

有了之前的鋪墊,學(xué)生很快便給出了解法:

解:原不等式等價于2x2-2≥畫出臨界位置(右圖),此時兩個切點重合,設(shè)為P(x0,y0),由點P落在曲線y=2x2-2上知

由點P落在曲線y=-(x-a)2上知

因為切線為同一條直線,對比系數(shù)知:a=3x0,代回原曲線方程解得

(2013年華約自主招生5)已知點A在直線y=kx上,點B在直線y=-kx上,其中k＞0,|OA|·|OB|=k2+1,且A,B在y軸同側(cè).

(1)求AB的中點M的軌跡C;

(2)若曲線C與拋物線x2=2py(p＞0)相切,(a)求證:兩切點分別過兩定直線;(b)求過兩切點的切線方程.

解:(1)C:

(2)設(shè)兩個切點分別為P(x0,y0),Q(x1,y1),考慮P點的情況:由P在雙曲線上得l切:x0x-=1,即

由P在拋物線上得l切:x0x=p(y0+y),即

因為兩條切線為同一條直線,對比系數(shù)知:

解得y0=k,代回雙曲線方程知因此切點P在定直線上,過點P的切線方程為Q點類似.

總結(jié):上述兩題皆是切點重合的情況,根據(jù)兩條曲線在切點處的導(dǎo)數(shù)分別表示出該公切線,利用對應(yīng)系數(shù)相等找到等量關(guān)系,即可順利求解.

3 更進一步,提升層次

至此,學(xué)生們已經(jīng)體會到了思維的樂趣與成功的喜悅,筆者不失時機的給出兩個切點不重合的問題,希望能百尺竿頭,更進一步:

(2019年浙江學(xué)考24)如圖,不垂直于坐標(biāo)軸的直線l與拋物線y2=2px(p＞0)有且只有一個公共點M.

(1)當(dāng)M的坐標(biāo)為(2,2)時,求p的值及直線l的方程;

(2)若直線l與圓x2+y2=1相切于點N,求|MN|的最小值.

解:(1)略;(2)設(shè)N(x1,y1),M(x2,y2),根據(jù)切點N知lMN:x1x+y1y=1,即y=根據(jù)切點M知lMN:y2y=p(x+x2),即因為lMN表示同一條直線,根據(jù)對應(yīng)系數(shù)相等得:

解得

將點M代入根據(jù)N點坐標(biāo)求得的切線方程lMN:x1x+y1y=1中得x1x2+y1y2=1,解得

根據(jù)(3)(4)知:

解:設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),只需證明:

由題知:

根據(jù)切點P知lPQ:即y=根據(jù)切點Q知lPQ:x2x=p(y2+y),即y=因為lPQ為同一條直線,根據(jù)對應(yīng)系數(shù)相等得

解得

將點P(x1,y1)代入根據(jù)Q點坐標(biāo)求得的切線方程lPQ:x2x=p(y2+y)中得:

根據(jù)(1)(4)(5)(6)知:

以第二題為例:在具體的解題過程中,大部分學(xué)生無法求出y1+y2的值.在筆者的啟發(fā)下,利用“將切點P代入用切點Q表示的切線方程中”這一點才證得結(jié)論,師生在共同討論后進一步完善了該類問題的方法模型:

(1)若是在兩個切點重合,根據(jù)兩條曲線在切點處的導(dǎo)數(shù)分別表示出該公切線,利用對應(yīng)系數(shù)相等找到等量關(guān)系.

(2)若是兩個切點不重合,一方面可根據(jù)兩條曲線在各自切點處的導(dǎo)數(shù)分別表示出該公切線,利用對應(yīng)系數(shù)相等找到等量關(guān)系,另一方面可利用“其中一個切點位于用另一個切點坐標(biāo)表示的切線上”這一點來發(fā)掘隱含關(guān)系.

4 反思總結(jié),螺旋上升

正是學(xué)生通過直觀想象對圖形結(jié)構(gòu)提出了質(zhì)疑,才引發(fā)了后面一系列有意義的討論與思考.因此,教師在上課之前應(yīng)充分考慮學(xué)生的思維視角,對可能出現(xiàn)的情況做各種預(yù)設(shè),基于記憶與理解的時效性,對學(xué)生課堂提出的問題足夠重視并及時給出明確的解答,這樣才能讓整個教學(xué)過程少點往復(fù),多點效率.

維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)理論”認(rèn)為學(xué)生的發(fā)展有兩種水平:一種是現(xiàn)有水平,即獨立活動時所能達到的解決問題的水平;另一種是可能的發(fā)展水平,即通過教學(xué)指導(dǎo)之后能到達到的水平.兩者之間的差異就是最近發(fā)展區(qū).本次課堂教學(xué)不僅僅滿足于解決學(xué)生提出的問題,更進一步,還著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū),及時提供不同梯度的相關(guān)內(nèi)容進行課堂討論,從而調(diào)動他們的積極性.在整個過程中,學(xué)生通過對解題模式的正遷移,充分領(lǐng)略了解題策略的橫向擴展與縱向伸延,進而在潛移默化中內(nèi)化為數(shù)學(xué)解題經(jīng)驗.

最后,“直觀想象”與“邏輯推理”這二者的辨證統(tǒng)一也在課堂得到體現(xiàn):有時對圖形的直觀想象并不能精準(zhǔn)的刻畫出數(shù)學(xué)問題的本質(zhì),此時需從代數(shù)角度進行嚴(yán)格的邏輯推理來獲得精確的證明,而在證得結(jié)論后,需再次回到圖形的角度透析本質(zhì),加深理解.因此,“直觀想象”與“邏輯推理”二者相得益彰,這與“數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微;數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休”的思想是完全契合的.