賦值法解決與二次函數系數有關的問題

廣東省廣州市白云廣雅實驗學校(510430) 袁 宏

廣東省廣州市民航職業(yè)技術學院(510403) 李宗濤

在初中數學學習中,函數這個模塊是非常重要的一部分知識,之所以重要是因為這個知識點也最好的彰顯數學“以形表數,以數釋形”數形結合的思想.對于二次函數這個知識點的學習中,我們是要教會學生會根據二次函數的圖像,提取相關信息,從而解決相關的問題.在這些相關的問題中,二次函數二次項系數、一次項系數和常數項有關的代數式問題是各地中考的熱點之一,往往在各地的中考中常常作為選擇題或是填空題的壓軸題的形式出現.

例如: 二次函數y=ax2+bx+c(a ／= 0)的圖象如圖所示,通過圖象觀察下面的式子哪些是正確的? (天津市中考題)

(1)b ＜a+c; (2) 4a+ 2b+c ＞0; (3) 2c ＜3b; (4)a+b+c ＞m(am+b)+c(m／=1).

由圖象可以提取信息: 拋物線的開口向下, 此時拋物線有最大值; 對稱軸為直線x= 1; 拋物線與x軸有兩個交點,且這兩個交點一個介于－1 和0 之間,另一個介于2 和3 之間; 拋物線與y軸交點在y軸正半軸上.

在拋物線的學習探究中我們已經熟知拋物線的開口方向和開口大小、最值、對稱軸及其和坐標軸的交點等這些知識都和二次函數各項的系數有密切的關系.開口方向決定a的符號,開口向上?a ＞0,開口向下?a ＜0;開口大小由|a|決定,開口越大?|a|越小,開口越小?|a|越大;對稱軸的位置由a,b共同決定,即對稱軸為直線圖象與y軸的交點的縱坐標就為常數項c;拋物線與x軸交點的個數與相對應的一元二次方程ax2+bx+c= 0(a ／= 0)的根的判別式息息相關,即拋物線與x軸有兩個交點?Δ＞0,拋物線與x軸有一個交點?Δ = 0,拋物線與x軸無交點?Δ＜0.也就是說,我們可以把圖象中反映出來的信息可以轉化為二次函數各項的系數之間的一些代數關系式,這樣就可以達到由“形”到“數”的轉化.

由以上知識儲備, 對于天津市的這道中考題, 我們就可以解決.對于第(1)b ＜a+c和第(2) 4a+2b+c ＞0這兩個式子的判斷, 可以采用賦值法來解決.賦值法即指把一些特殊值代入函數解析式中, 根據圖象觀察當x取這些特殊值時, 對應的y的取值.賦值法是數學中, 由“特殊到一般”的數學思想的體現.所以, 對于(1) 式, 可以變形為a － b+c ＞0, 對比一次項的系數為－b, 賦給x=－1 這個數值, 這樣y=a－b+c, 對照圖象可以看出當x=－1 時,y ＜0, 因此式子(1)b ＜a+c是錯誤的結論.同理, 當x= 2 時,y= 4a+2b+c, 由圖象可得, 當x= 2 時,y ＞0, 因此式子(2) 是正確的.對于(4) 的判斷,需要對不等式右邊的式子做一下變形, 利用乘法分配律得,m(am+b)+c=am2+bm+c,此式子可以利用賦值法得到,顯然,當x=m時y=am2+bm+c,又由圖象可以提取到的信息,拋物線有最高點,即二次函數有最大值,當x= 1時,ymax=a+b+c.

對于(1)(2)(4)三式的共同特點: 這些式子是判斷的二次函數的二次項系數、一次項系數和常數項這三者的關系,對于此類題目的判斷利用賦值法是比較容易判斷出來.學生感覺困難的是(3)2c ＜3b這種類型的題目, 此類題目的共同特點: 題目是二次函數二次項系數、一次項系數和常數項這三者中的任意兩者組合的關系,這個關系可以是相等關系也可以是不等關系.比如此題的(3)式是判斷的一次項系數和常數項之間的不等關系.學生在處理這類問題時往往是多次試探,把各種關系綜合應用,最終推出結論.為了避免學生在解決這類問題時的盲目性,我們可以找出這類問題的通解——利用賦值法來解決.

接下來詳細介紹用賦值法判斷(3) 式是否正確.首先(3) 式可以變?yōu)?c－3b ＜0, 由賦值法可以看到, 無論賦給變量x什么數值, 函數值中c的系數都是1, 所以把2c－3b ＜0 式中c的系數化為1, 得到式所以要判斷(3) 式是否成立, 需要判斷式是否成立即可.式子中只含有c,b兩個系數, 若是想用賦值法來解,少了系數a,如何補上系數a,這需要借助對稱軸得到a,b之間的關系, 由圖象可得對稱軸為直線x= 1, 再由一般形式的二次函數y=ax2+bx+c(a ／= 0) 的對稱軸為直線得到所以式子判斷是否成立,只需要判斷a－b+c ＜0 是否成立即可.由賦值法容易看出,當x=－1 時,y=a－b+c,并且由給出二次函數的圖象得到,當x=－1 時,y ＜0.所以a－b+c ＜0,這樣得到(3)2c ＜3b正確.由以上的解答過程,可以看到賦值法是可以解決二次函數中和各項系數相關的代數式的比較好的方法.接下來,用賦值法來解下面問題.

(15年烏魯木齊市中考題)如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a ／= 0)的對稱軸是x=－1,且過點判斷下列結論是否正確?

(1)a+2b+4c=0;(2)25a－10b+4c=0;(3)3b+2c ＞0.

由圖象可得以下信息,拋物線的對稱軸為直線x=－1,即同時拋物線過點可以得到拋物線過另一點即當c=0;當

由上面題目的分析,利用賦值法解決這類問題關鍵是無論賦給x什么值,c的系數都是1,所以對于(1)、(2)式,需要做的是先把c的系數化為1,所以(1)式(2)式可以變形為:

(1)a+2b+4c=+c=0,(2)25a－10b+4c=

由b的系數可得, (1) 式即為當時, 對應函數值

對于(3)3b+2c ＞0 的判斷利用賦值法就比較容易解決了.把(3) 式c的系數變?yōu)?, (3) 式變形為要想判斷+c ＞0, 利用上面的分析對稱軸得到的a,b的關系得到得到+b+c=a+b+c,而此式正是當x=1 時對應的函數值,由圖象可知當x=1 時y ＜0,所以a+b+c ＜0,即所以(3)3b+2c ＞0 是錯誤的.

由以上兩題可以看出來,對于二次函數各項系數之間的關系式的相關問題,采用賦值法這種通解的方法來完成,是非常高效的方法.