從一題多解思考學(xué)生解題能力的培養(yǎng)

廣東省廣州市南沙區(qū)教育發(fā)展中心(511458) 黃安錦

近日,廣州市南沙區(qū)初中畢業(yè)班學(xué)業(yè)水平適應(yīng)性測試中考查了這樣一道題,看起來不難,但卻在考試中難倒了不少學(xué)生,學(xué)生覺得試題中的情境很熟悉,卻難以找到問題解決的突破口,究其原因是學(xué)生在學(xué)習(xí)中習(xí)慣于常見幾何模型地死搬硬套, 對題目中的已知條件和結(jié)論未能搭建互通橋梁,解題思路不能完整呈現(xiàn).下面我們通過本題的幾種解法,分析題目中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)源知識的重新建構(gòu)與綜合應(yīng)用,以找到提高解題的能力的方向.

1 題目呈現(xiàn)

如圖1,AB為⊙O的直徑, 點(diǎn)C為弧AB中點(diǎn), 連接AC、BC.

(1) 利用尺規(guī)作圖, 作出∠BAC的角平分線, 分別交BC、⊙O于點(diǎn)D、E,連接BE.(保留作圖痕跡,不寫作法)

(2)若BE=2,求AD的長度.

試題分析: 本題的第(1)問主要考查學(xué)生利用尺規(guī)作圖作處角平分線及合理標(biāo)識點(diǎn)和線段.學(xué)生對此類作圖題游刃有余.而第(2)問涉及圓的基本性質(zhì)、輔助線的合理添加、三角形的全等及相似判定等相關(guān)知識,對學(xué)生轉(zhuǎn)化思想和數(shù)學(xué)建模思想進(jìn)行了考查.此題存在多種解題思路,解題的入口較寬.從題目及第(1)問的結(jié)論(如圖2)中,不難獲取以下基本信息:

①由線段AE平分∠BAC,可得∠BAE=∠CAE;

②由AB為⊙O的直徑,且點(diǎn)E、點(diǎn)C在⊙O上可得∠AEB=∠ACB=90°;

③由點(diǎn)C為弧AB中點(diǎn)可得AC=BC、∠ABC=∠BAC;

④由圓周角定理可得∠CAE=∠CBE.

本題中涉及的數(shù)學(xué)源知識有角平分線的定義及性質(zhì),圓的基本性質(zhì),圓周角定理及其推論,弦、弧、圓周角定理等,我們不妨從這些學(xué)生熟悉的源知識入手,探尋解決問題的方法.

圖1

圖2

圖3

2 解法分析

解法一如圖3,由AE平分∠BAC,根據(jù)角平分線的定義可得∠BAE= ∠CAE,結(jié)合直徑AB所對的圓周角為直角,根據(jù)等腰三角形“三線合一”,聯(lián)想到延長BE、AC交于點(diǎn)F,構(gòu)建等腰ΔABF,再利用弦、弧、圓周角定理分別得到AC=BC、∠CAE= ∠CBE,進(jìn)而推證ΔACD與ΔBCF相似,得到AD=BF=2BE=4.

解題反思本方法從角平分線的基本定義入手,通過合理添加輔助線,借助圓的基本性質(zhì)、等腰三角形的基本性質(zhì)和全等三角形的判定等基本知識來解決問題.這些知識的再現(xiàn)和綜合應(yīng)用對于提升學(xué)生的學(xué)生的幾何直觀想象能力及數(shù)學(xué)建模的能力起到很好的促進(jìn)作用.

解法二如圖4,由AE平分∠BAC,根據(jù)角平分線的基本性質(zhì),不難想到過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F,直徑AB所對的圓周角∠C= 90°,得到DF=CD.不妨設(shè)DF=x,根據(jù)點(diǎn)C為弧AB的中點(diǎn),且∠C=90°,易知道ΔABC和ΔBDF均為等腰直角三角形,所以BD=AB=利用角平分線定義及弦、弧、圓周角定理得到∠BAE= ∠CAE= ∠CBE, 從而容易推證ΔABE與ΔBDE相似,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)有求得最終得到AD=AE－DE=4.

解題反思本方法從角平分線性質(zhì)入手,結(jié)合特殊三角形及相似三角形的性質(zhì)定理,通過設(shè)置未知數(shù),通過數(shù)形關(guān)系使本問題由繁化簡,由抽象化具體,在解題過程中滲透了數(shù)形結(jié)合的思想,利于學(xué)生的思維拓展.

解法三如圖5, 由AE平分∠BAC, 可得∠BAE=∠CAE, 由此可知點(diǎn)E為弧BC的中點(diǎn), 連接OE, 交BC于點(diǎn)F, 通過垂徑定理的推論還可以知道OE⊥BC,BF=FD=再利用ΔBEF與ΔACD相似,通過求出AD=4.

圖4

圖5

圖6

解題反思本方法從圓的基本性質(zhì)入手,通過垂徑定理及其推論和弦、弧、圓周角定理搭建相似三角形的模型,將所求線段與已知線段通過相似三角形緊密聯(lián)系一起,最終解決問題,本方法強(qiáng)調(diào)從結(jié)論需求逆向?qū)ふ宜璧脑粗R,有利于加強(qiáng)學(xué)生的綜合分析能力.再者本方法對數(shù)學(xué)圓內(nèi)“蝴蝶形”相似模型非常熟悉的學(xué)生對于“如何從多樣的條件中合理選擇解決問題的方案”帶來了更深刻的思考,有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.

解法四如圖6, 在AE上作點(diǎn)F, 使AF=CF, 連接CE.根據(jù)“等邊對等角”和三角形外角性質(zhì)不難得到∠EFC= 2∠FAC= 45°, 又因?yàn)锳E平分∠BAC, 結(jié)合再根據(jù)圓周角定理的推論和弦、弧、圓周角定理可得∠AEC=∠ABC=45°,BE=CE,由此可推證ΔEFC是等腰直角三角形,則有CE=CF=AF=BE=2,進(jìn)而求出再利用ΔABE與ΔBDE相似求出則AD=AE－DE=4.

解題反思本方法從圖形的特殊性出發(fā),從特殊三角形特殊角的半角問題通過構(gòu)建特殊角,并借助圓的基本性質(zhì)將已知線段BE 進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化,使圖中的位置線段的長度明朗,為后面的相似比求未知線段的長鋪設(shè)條件.本方法發(fā)展學(xué)生空間觀念、推理能力和創(chuàng)新意識起一定的促進(jìn)作用,加強(qiáng)學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題中對源知識的挖掘和綜合應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識.

3 對學(xué)生解題能力培養(yǎng)的思考

課程標(biāo)準(zhǔn)中強(qiáng)調(diào)對學(xué)生“四基”的培養(yǎng),關(guān)注學(xué)生在問題情境中全身心的積極參與思考,在學(xué)習(xí)過程中促進(jìn)學(xué)生“四能”的培養(yǎng).在教學(xué)中,教師要避免擔(dān)心學(xué)生不會而急于暴露問題解決的線索或思路,應(yīng)鼓勵學(xué)生嘗試從不同的角度對問題的分析與解決進(jìn)行思考,體驗(yàn)問題解決的多樣性,并通過變式訓(xùn)練強(qiáng)化學(xué)生解決問題的能力.解題能力并不是一朝一夕生成的,很多教師在日常教學(xué)中過分強(qiáng)調(diào)解題的基本模型與套路,通過大量的重復(fù)練習(xí)讓學(xué)生變得“嫻熟”,如上題,很多學(xué)生從圖形的表面特征中發(fā)現(xiàn)了“8 字相似形”,然而他們卻忽略了解題中的目標(biāo)意識,也就是本題需要探究的結(jié)論是什么? 結(jié)論的實(shí)質(zhì)又是什么? 題目中隱含那些基礎(chǔ)源知識?這些源知識跟所探究的解困存在怎樣的依存關(guān)系等等,所以很多學(xué)生找不到解決問題的突破口, 無法搭建解題的橋梁,最終導(dǎo)致解題思路的紊亂.

3.1 學(xué)生的解題能力首先與學(xué)生扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)密不可分

如上題中涉及的圓的基本性質(zhì)、角平分線的定義及性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)等源知識,如果學(xué)生無法熟練掌握,自然無法綜合應(yīng)用并形成解決策略與方法,一切都是空談.而源知識的習(xí)得就有賴于教師對教材的重視,教學(xué)中通過合理的情境創(chuàng)設(shè)和教學(xué)活動組織讓學(xué)生親歷教材中的概念、性質(zhì)、定理和推論的生成過程,幫助學(xué)生對數(shù)學(xué)源知識的識記.同時,通過鼓勵學(xué)生鉆研教材,通過變式訓(xùn)練使源知識得以拓展,促進(jìn)學(xué)生解題思維的發(fā)展和延伸.

3.2 學(xué)生的解題能力還取決于學(xué)生審題能力

審題不僅限于讀題,更側(cè)重于已知條件和探究結(jié)論間的互聯(lián)互通,這也是學(xué)生能否從中找到解題突破口的關(guān)鍵.日常教學(xué)中很多老師習(xí)慣帶著學(xué)生一起做題,幫助學(xué)生找出關(guān)鍵信息或條件,甚至直接點(diǎn)破了問題的解決思路,這不利于學(xué)生審題能力的發(fā)展,當(dāng)學(xué)生在真實(shí)獨(dú)立的解題環(huán)境中也容易審題不嚴(yán)或找不到方向,最終導(dǎo)致解題思路無法完整的呈現(xiàn).在教學(xué)中,教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究性的閱讀活動,讓學(xué)生審題過程中嘗試讀懂題目,找到問題關(guān)鍵詞,并對問題的解決提出自己的看法,并通過小組討論或分享自己的看法,教師適時參與學(xué)生的分享并進(jìn)行針對性的疑惑解答,并組織學(xué)生解題思路的總結(jié)和呈現(xiàn).

3.3 培養(yǎng)學(xué)生的解題能力需要注重?cái)?shù)學(xué)思維的延伸

課程標(biāo)準(zhǔn)中強(qiáng)調(diào)學(xué)生思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力的培養(yǎng),更鼓勵教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生從多視角、多途徑去探索分析和解決問題的思路和方法.教學(xué)中的一題多解是有效發(fā)展學(xué)生高階思維的重要方法之一,教學(xué)中不能只關(guān)注模型和套路,更應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生通過追本溯源, 深挖源知識背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想,建立知識間的相互聯(lián)系和對比分析, 找出解決問題的思路,促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的延伸和發(fā)展.