巧構(gòu)圖，生解法，悟啟示

徐強(qiáng)

[摘? 要] 文章通過(guò)對(duì)2020南通中考數(shù)學(xué)試卷第24題的分析與“十四種”解法思路的探究，感悟出如下啟示：“折疊”類幾何綜合題，教學(xué)時(shí)要“以題固知，關(guān)注折疊之不變;以題強(qiáng)能，關(guān)注折疊之變;以題展思，關(guān)注折疊之設(shè)計(jì)”.

[關(guān)鍵詞] 折疊;分析;思路;教學(xué)

“折疊”類幾何綜合題一直是全國(guó)各地中考的必考試題，這類問(wèn)題往往以三角形或四邊形為背景，涉及特殊三角形（四邊形）的性質(zhì)與判定、圖形折疊的規(guī)律、全等（相似）三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，主要考查數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、幾何直觀、推理等思想與方法，核心體現(xiàn)圖形與幾何中“算”與“證”的本質(zhì)，即“算”是“運(yùn)”的過(guò)程、“計(jì)”的方法，“證”是推理中的“尋道”、聯(lián)想中的“發(fā)現(xiàn)”. 本文結(jié)合2020南通中考數(shù)學(xué)試卷第24題，嘗試從不同角度探究“折疊”類問(wèn)題的解法，以及對(duì)日常教學(xué)的啟示.

試題分析

試題? （2020南通中考）在矩形ABCD中，AB=8，AD=12，折疊矩形ABCD，使點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，折痕為DE.

（1）如圖1，若點(diǎn)P恰好在邊BC上，連接AP，求的值;

（2）如圖2，若E是AB的中點(diǎn)，EP的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)F，求BF的長(zhǎng).

分析 本題以矩形為背景，巧妙地把軸對(duì)稱變換融入其中. 從題目呈現(xiàn)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)看，（1）問(wèn)是解決（2）問(wèn)的基礎(chǔ)和梯子，能為（2）問(wèn)的解答提供更多路徑. 對(duì)于（1）問(wèn)，學(xué)生容易上手，即先根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)得到相關(guān)的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，再根據(jù)互余角間的關(guān)系得到相似的判定條件，該問(wèn)絕大多數(shù)學(xué)生能得分. 對(duì)于（2）問(wèn)，解答的方法很多，學(xué)生答題時(shí)選擇的余地較大，從而能考查學(xué)生的思維能力、理解能力、思辨能力，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.

從題目考查的核心來(lái)看，一是能發(fā)現(xiàn)折疊前后線、角、圖形之間的聯(lián)系;二是能靈活運(yùn)用矩形性質(zhì)、相似（全等）三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)、角平分線性質(zhì)等知識(shí);三是熟悉常規(guī)的幾何模型，并能遷移、構(gòu)造，這對(duì)學(xué)生的幾何直觀、邏輯推理等能力要求較高. 下面以（2）問(wèn)為例進(jìn)行剖析.

解法賞析

解法1 如圖3，分別延長(zhǎng)FE，DA交于點(diǎn)G. 易證△AEG≌△BEF，所以AG=BF，GE=EF. 由∠BEF=∠GEA=∠GDP，可證△GEA∽△GDP. 于是===. 設(shè)BF=AG=x，則GP=3x，GE=3x-4，GD=3（3x-4）. 所以3（3x-4）=x+12，解得x=3. 所以BF=3.

解法2 如圖4，分別延長(zhǎng)DE，CB交于點(diǎn)G，連接AP，BP. 可證△APB為直角三角形，BG=AD=12，GE=DE=4，又△ABP∽△DEA，所以AP=3BP. 所以BP=. 又△BPF∽△GEF，所以===，解得BF=3.

評(píng)析 解法1和解法2以中點(diǎn)為出發(fā)點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形，實(shí)現(xiàn)了等線段的轉(zhuǎn)移，結(jié)合折疊獲取的線與角之間的關(guān)系，利用相似，列出方程解決問(wèn)題.

解法3 如圖5，分別延長(zhǎng)DE，CB交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)P作PH∥CG交DG于點(diǎn)H. 易證BG=AD=12. 因?yàn)椤螦DE=∠PDE，所以可證PD=PH=12. 又△EHP∽△EGF，所以==. 設(shè)EF=x，則GF=3x，BF=3x-12. 于是在Rt△EBF中運(yùn)用勾股定理，有16+（3x-12）2=x2，解得x=5或x=4（舍去），所以EF=5，BF=3.

解法4 如圖6，分別延長(zhǎng)DC，EF交于點(diǎn)G. 根據(jù)翻折和平行線的性質(zhì)可證GE=GD. 設(shè)GE=GD=x，則PG=x-4. 在Rt△DPG中，運(yùn)用勾股定理，有x2=122+（x-4）2，解得x=20. 所以CG=12. 又△EBF∽△GCF，所以可求得BF=3.

解法5 如圖7，過(guò)點(diǎn)E作EH∥BC，分別交PD，CD于點(diǎn)G和點(diǎn)H. 可證△EPG≌△DHG，于是得EG=DG. 設(shè)PG=x，則EG=12-x. 在Rt△EPG中運(yùn)用勾股定理，得42+x2=（12-x）2，解得x=. 又△EBF∽△GPE，所以可求得BF=3.

評(píng)析 解法3至解法5，基于折疊過(guò)程中折痕即為角平分線，聯(lián)想構(gòu)造等腰三角形或全等三角形，獲取等線段，設(shè)元后利用相似三角形的性質(zhì)和勾股定理建立方程，從而得解.

解法6 如圖8，過(guò)點(diǎn)P作GH∥AD，分別交AB，DC于點(diǎn)G和點(diǎn)H. 可證△PHD∽△EGP，得===. 設(shè)EG=x，則PH=3x，HD=4+x，GP=. 于是有+3x=12，解得x=. 再由△EGP∽△EBF，可求得BF=3.

解法7 如圖9，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)M，使BM=4，延長(zhǎng)DC到點(diǎn)N，使CM=4，連接MN，延長(zhǎng)EF交MN于點(diǎn)G，連接DG. 易證四邊形AMND為正方形，△DPG≌△DNG. 設(shè)MG=x，則NG=12-x=PG. 所以EG=16-x. 在Rt△EMG中運(yùn)用勾股定理，得82+x2=（16-x）2，解得x=6. 再由△EBF∽△EMG，可求得BF=3.

解法8 如圖10，連接AP，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥AB，垂足為G，則△APG∽△DEA. 所以=. 設(shè)GP=x，則AG=3x，EG=3x-4. 在Rt△EGP中運(yùn)用勾股定理，得42=x2+（3x-4）2，解得x=或x=0（舍去）. 又由△EGP∽△EBF，可求得BF=3.

解法9 如圖11，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥AB，垂足為G，PH⊥AD，垂足為H，連接AP，則△AGP∽△DAE. 于是有=. 設(shè)GP=x，則AG=3x=PH，HD=12-x. 在Rt△PDH中運(yùn)用勾股定理，得（3x）2+（12-x）2=122，解得x=或x=0（舍去）. 所以PH=，HD=. 所以tan∠HDP=tan∠BEF=. 所以BF=3.

解法10 如圖12，分別延長(zhǎng)DP，AB交于點(diǎn)G，則△GPE∽△GAD. 所以==. 設(shè)PG=x，則AG=3x，EG=3x-4，DG=3（3x-4）. 于是3（3x-4）=12+x，解得x=3. 又△EPG≌△EBF，所以BF=PG=3.

解法11 如圖13，延長(zhǎng)DP交BC于點(diǎn)G，連接EG. 可證△EBG≌△EPG，于是tan∠BEG=tan∠ADE=，所以BG==PG，GC=. 所以GD=. 又△GPF∽△GCD，所以=，解得GF=. 所以BF=3.

解法12 如圖14，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥EF交AD于點(diǎn)G，則EG∥DP. 可證EG=DG，設(shè)EG=DG=x，則AG=12-x. 在Rt△AEG中運(yùn)用勾股定理，得x2=42+（12-x）2，解得x=. 所以AG=. 又△GAE∽△EBF，所以=. 所以BF=3.

評(píng)析 解法6至解法12，由矩形的特殊性、折疊產(chǎn)生直角，以及對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的中垂線，構(gòu)造“K”形、“十字架”形、“斜交”形等相似模型，為邊角溝通架構(gòu)橋梁，解決問(wèn)題.

解法13 如圖15，連接DF，設(shè)BF=x，PF=y，則CF=12-x. 在Rt△BEF中運(yùn)用勾股定理得x2+42=（4+y）2，在Rt△PFD和Rt△CFD中運(yùn)用勾股定理得y2+122=（12-x）2+82，解得x=0（舍去）或x=3. 所以BF=3.

評(píng)析 解法13通過(guò)直接設(shè)元，以直角三角形為載體，利用勾股定理建立方程，凸顯方程思想.

解法14 如圖16，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則A（0，8），D（12，8），E（0，4），直線DE的解析式為y=x+4. 所以直線AP的解析式為y=-3x+8. 可求得兩直線的交點(diǎn)為，，所以P，. 所以直線EF的函數(shù)解析式為y=-x+4. 所以F（3，0）. 所以BF=3.

評(píng)析 解法14借助平面直角坐標(biāo)系解題，實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的完美轉(zhuǎn)化，線段長(zhǎng)通過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換.

縱觀以上解法可以發(fā)現(xiàn)，問(wèn)題解決的關(guān)鍵是挖掘邊角之間的內(nèi)在聯(lián)系，重在考查學(xué)生從形的角度突破，從數(shù)的角度解決問(wèn)題的基本技能和基本路徑. 當(dāng)然，解決本題時(shí)，重在圖形的構(gòu)造，那如何構(gòu)造呢，關(guān)鍵是抓住題眼，如中點(diǎn)的聯(lián)想、折痕的本質(zhì)、矩形中直角的價(jià)值等.

教學(xué)啟示

1. 以題固知，關(guān)注折疊之不變

解決折疊類幾何綜合題是建立在足夠的知識(shí)積累基礎(chǔ)上的，因此，教學(xué)時(shí)要以題固知，關(guān)注折疊之不變;要依托題目不斷進(jìn)行相關(guān)重點(diǎn)知識(shí)、規(guī)律、基本圖形、常用輔助線的再回顧與鞏固，這樣才能具備聯(lián)想轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)，才能厚積薄發(fā).

如教學(xué)本題時(shí)，首先可以結(jié)合條件觀察圖形，并設(shè)置引導(dǎo)性問(wèn)題“圖中有哪些熟悉的基本圖形（模型）”“圖中哪些線段已知，哪些線段可求” 等，從而依托題目回顧并鞏固學(xué)生在初中幾何學(xué)習(xí)中涉及的重點(diǎn)知識(shí)，如“翻折”是全等變換，而折疊的本質(zhì)是軸對(duì)稱，所有對(duì)應(yīng)的元素滿足軸對(duì)稱性質(zhì);相似的基本圖形;倍長(zhǎng)中線等.

其次，不管折疊的背景如何變化，要讓學(xué)生感知折疊之不變，尤其是對(duì)稱軸在折疊過(guò)程中體現(xiàn)的幾何性質(zhì)——角平分線與中垂線性質(zhì). 以此為基礎(chǔ)，滲透方法：①標(biāo)（相關(guān)等線段、角），②表（未知線段）（設(shè)參數(shù)，用工具，如相似、勾股定理、三角函數(shù)等），③求（建立方程，同時(shí)關(guān)注基本幾何模型構(gòu)造，如等腰三角形、“十字架”模型等）. 由此抓住圖形變化過(guò)程中的本質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

2. 以題強(qiáng)能，關(guān)注折疊之變

折疊類幾何綜合題中題設(shè)與結(jié)論之間的關(guān)系往往較為隱蔽，因此教學(xué)時(shí)要以題強(qiáng)能，關(guān)注折疊之變，注重讀題、析圖能力的培養(yǎng)與強(qiáng)化，這是關(guān)鍵.

教學(xué)時(shí)，首先要關(guān)注學(xué)生如何讀題思考，讓他們學(xué)會(huì)審題. 如本題教學(xué)時(shí)可以設(shè)置“由折疊這一條件，你可以得到哪些結(jié)論”“由中點(diǎn)這一條件，你想到了什么”等引導(dǎo)性問(wèn)題，從而有意識(shí)地強(qiáng)化學(xué)生抓熟悉的圖形、特定條件聯(lián)想、類比對(duì)應(yīng)模型的思維方法，尋找“新”問(wèn)題與“舊”模型之間的關(guān)聯(lián).

其次，要不斷地滲透解決此類問(wèn)題的最佳路徑，即讓學(xué)生真正體會(huì)到折疊之變的規(guī)律：一變折疊對(duì)象，不能局限于矩形、正方形，實(shí)際上三角形、圓、其他規(guī)則圖形中都可以設(shè)計(jì)出折疊問(wèn)題;二變折痕位置，通過(guò)折痕位置的變化，構(gòu)造出不同的折疊后圖形，從而形成不同形式的問(wèn)題鏈;三變折疊次數(shù)，進(jìn)一步豐富圖形組合. 教學(xué)過(guò)程中，若能緊抓“三變”，必能讓學(xué)生把理解的知識(shí)、形成的基本技能遷移到不同的情境中，促進(jìn)學(xué)生對(duì)新知識(shí)、方法的進(jìn)一步內(nèi)化.

3. 以題展思，關(guān)注折疊之設(shè)計(jì)

折疊問(wèn)題類型眾多，具有“一題多解、多變”的特點(diǎn)，教學(xué)時(shí)可以“以題展思”，關(guān)注折疊之設(shè)計(jì)，持續(xù)關(guān)注思維方式方法的拓展，這是核心.

首先，既要注重變中的不變，也要注重變化中的聯(lián)系.

如本題，毫無(wú)疑問(wèn)，從（1）問(wèn)到（2）問(wèn)，從圖1到圖2，兩者之間肯定有密切的聯(lián)系. 所以，教學(xué)時(shí)我們不妨讓學(xué)生先比較一下兩個(gè)圖形的變化和聯(lián)系，找一找兩個(gè)問(wèn)題的共性. 容易發(fā)現(xiàn)，如圖17，連接AP，線段AP依然可求;過(guò)點(diǎn)P作GH∥BC，分別交AB，CD于點(diǎn)G和點(diǎn)H，依然有“一線三等角”模型;∠GEP依然等于∠ADP;很多三角形之間的關(guān)系依然存在……

當(dāng)然，圖形的變化也帶來(lái)了一些新的關(guān)系、模型. 當(dāng)學(xué)生對(duì)圖形和問(wèn)題已經(jīng)熟悉后，我們就可以引導(dǎo)學(xué)生有序地從多方面尋求解決問(wèn)題的思路和方法了. 如求線段的長(zhǎng)度可以從勾股定理、相似三角形、三角函數(shù)等方面入手.

其次，要注重學(xué)生的自主變式設(shè)計(jì). 好的思維方法應(yīng)該像“鹽”，但不能光吃“鹽”，最好的方式是將“鹽”溶解到各種食物中自然而然地吃. 在教學(xué)中，若能開展折疊問(wèn)題探究，那對(duì)折疊問(wèn)題的本質(zhì)理解必能事半功倍. 教學(xué)時(shí)可從以下幾個(gè)角度來(lái)實(shí)施：一是給出折疊圖形，讓學(xué)生添加條件解決問(wèn)題;二是給定折痕，讓學(xué)生思考折疊后對(duì)應(yīng)點(diǎn)落的位置變化;三是改變問(wèn)題形式，由求線段的長(zhǎng)走向問(wèn)題的多樣性. 真正讓學(xué)生獲取折疊問(wèn)題思考的“序”，從而獲取解決問(wèn)題的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).