Brunn-Minkowski面積不等式的兩種證法

汪小玉， 何 梅

(1.合肥師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院， 安徽 合肥 230601；2.淮陰師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院， 江蘇 淮安 223300)

0 引言

幾何不等式一直是幾何學(xué)中的一個研究熱點，而Brunn-Minkowski 面積不等式是幾何不等式中的典型不等式，在凸體理論中一直備受關(guān)注，與著名的等周不等式有密切聯(lián)系[1-4]，并且被推廣到關(guān)于體積的不等式形式.本文借助高等數(shù)學(xué)中的傅里葉級數(shù)和函數(shù)的凹凸性，給出 Brunn-Minkowski面積不等式的初等證法.

1 預(yù)備知識

設(shè)γ為平面上C1類正定向閉凸曲線，O為γ所圍區(qū)域內(nèi)一點，在此選擇O作為坐標(biāo)原點.若p表示從O到γ上點(γ1,γ2)處的切線Γ的垂直距離，φ為x1軸的正半軸到p的垂直射線的夾角，則p為φ的單值函數(shù)，且p是一個以2π為周期的周期函數(shù).切線Γ的方程可寫成，

x1cosφ+x2sinφ=p(φ)

(1)

γ上所有點的切線構(gòu)成一個單參數(shù)直線族，式(1)為其參數(shù)方程，φ為參數(shù).曲線γ可以看作是此直線族的包絡(luò)，因此曲線γ可以用參數(shù)φ表示為，

(2)

其中p′(φ)表示p(φ)關(guān)于φ的導(dǎo)數(shù).(φ,p(φ))通常稱為凸曲線γ的切線極坐標(biāo)，p(φ)稱為曲線γ的 Minkowski 支撐函數(shù)，在下文中簡稱支撐函數(shù).

對式(2)兩邊關(guān)于φ求導(dǎo)，可得，

(3)

(4)

為了用支撐函數(shù)表示曲率κ，要求曲線γ至少是C2的. 式(3)關(guān)于φ求導(dǎo)后，帶入κ的計算公式可得，

(5)

曲率半徑

(6)

若L,A分別表示曲線γ的長度和γ所圍區(qū)域D的面積，則由p(φ)的周期性可得，

(7)

(8)

式(7)稱為 Blaschke 公式,式(8)稱為Cauchy公式.

設(shè)D0,D1為凸區(qū)域，其面積分別記為A0,A1，邊界曲線周長分別記為L0,L1.定義凸區(qū)域D0,D1的Minkowsks和[1]為，

由式(4)可知，

由此可知D2也是凸區(qū)域，其支持函數(shù)p2=p0+p1.

引理1 設(shè)p0,p1分別為凸區(qū)域D0,D1的支撐函數(shù)，則D2=D0+D1的面積、周長分別為，

L2=L0+L1,A2=A0+2A01+A1.

2 混合面積公式

由于D0+D1=D1+D0，所以混合面積A01=A10.下面利用微分和積分的運算關(guān)系，可得混合面積的一些不對稱計算公式，為下文中傅里葉級數(shù)表示法的計算提供依據(jù).

由全微分公式，

可得，

因此有，

由式(5)和式(6)可得，

類似可得，

(9)

3 幾何量的傅里葉級數(shù)表示

凸區(qū)域D0,D1的支撐函數(shù)分別記為p0,p1，曲率半徑分別記為ρ0,ρ1，其傅里葉級數(shù)表示法為[2-5]，

帶入式(7)、式(8)計算得，

(10)

Lj=2πaj0，

(11)

為了把上述各幾何量表示成內(nèi)積形式引入內(nèi)積序列空間，其內(nèi)積定義為，

利用上述內(nèi)積定義，將式(10)、式(11)改寫為，

(12)

(13)

4 主要結(jié)果

引理2設(shè)α0,α1,β0,β1為實數(shù)，則有，

(14)

或?qū)懗桑?/p>

定理1(Brunn-Minkowski面積不等式)設(shè)凸區(qū)域D0,D1的面積分別為A0,A1,A01為混合面積，則

(15)

證明把式(12)、式(13)帶入Cauchy-Schwarz不等式

〈(a,b),(c,d)〉2≤〈(a,b),(a,b)〉〈(c,d),(c,d)〉,

計算可得，

(16)

則有，

(17)

聯(lián)立式(16)、式(17)可得，

由面積和周長的相關(guān)不等式可知，上式中左右兩邊底數(shù)均為正數(shù)，從而兩邊開方得，

對于Minkowski和定義的推廣形式[1,4]為：D(t)=(1-t)D0+tD1,0≤t≤1.D(t)的支持函數(shù)p(t)=(1-t)p0+tp1.類似引理1可得如下引理.

引理3對于凸區(qū)域D(t)，其面積A(t)和邊界曲線的周長L(t)有，

L(t)=(1-t)L0+tL1,A(t)=(1-t)2A0+2(1-t)tA01+t2A1

(18)

(1-t)2A0+2(1-t)tA01+t2A1.

引理4[3]混合面積滿足下面不等式

(19)

證明由式(18)和式(19)可得，

A01=(1-t)2A0+2(1-t)tA01+t2A1≥

從而有，

上式移項得，

(20)

另一方面，

(21)