一道中考題的解法探究

摘要：在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力是十分重要的。教師在日常的解題教學(xué)中，應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生如何思考。對(duì)于有多種解法的題進(jìn)行方法歸納，一題多解有利于培養(yǎng)學(xué)生從不同的角度分析問(wèn)題，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

關(guān)鍵詞：解題教學(xué);方法歸納;學(xué)習(xí)能力

教師最重要的任務(wù)之一是幫助學(xué)生學(xué)習(xí)。這個(gè)任務(wù)并不很容易，它包含了時(shí)間、實(shí)踐、奉獻(xiàn)和正確等因素。

著名數(shù)學(xué)家波利亞認(rèn)為，我們的解題工作應(yīng)該分為四個(gè)階段：理解題目，擬定方案，執(zhí)行方案，回顧。這些階段中的每一個(gè)都有其重要性。

一、 題目呈現(xiàn)

（2021年江蘇省連云港市中考數(shù)學(xué)第16題）如圖，BE是△ABC的中線，點(diǎn)F在BE上，延長(zhǎng)AF交BC于點(diǎn)D。若BF=3FE，則BD/DC=___________。

二、 解題實(shí)踐

（一）理解題目

本題是一道幾何題，已知條件是BE為中線且BF=3FE，未知量是BD/DC的值。隱含的條件有對(duì)頂角相等，即∠AFE=∠BFD。

（二）擬定方案

第一個(gè)角度，從題目的兩個(gè)條件入手的話，關(guān)于中線，我們知道中線將三角形的面積分為相等的兩部分，其次是構(gòu)造中位線以及通過(guò)倍長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形;關(guān)于另一個(gè)條件BF=3FE，易得BF/FE=3，由線段的比值可想到相似比，從而可想到構(gòu)造相似三角形，另外，對(duì)于同高或者等高的兩個(gè)三角形，面積之比等于相應(yīng)的底邊之比，故可得S△ABF=3S△AEF，所以這道題也可以考慮從面積入手。

第二個(gè)角度，如果從題目的結(jié)論入手，關(guān)于求線段的比值，仍然可構(gòu)造相似三角形或者找到相應(yīng)的等高或同高的三角形等，線段之比便是相應(yīng)的底邊之比，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為三角形的面積之比。

第三個(gè)角度，換一個(gè)解題環(huán)境，將幾何問(wèn)題代數(shù)化——建立平面直角坐標(biāo)系，通過(guò)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，將BD、DC的長(zhǎng)表示出來(lái)，再求BD/DC。

基于以上思考，筆者擬定了以下解題方案：

1. 嘗試構(gòu)造兩個(gè)相似的三角形，使得BF、FE、BE中的某兩條成為這兩個(gè)三角形的一組對(duì)應(yīng)邊;

2. 等倍延長(zhǎng)中線BE，構(gòu)造全等三角形，同時(shí)也構(gòu)造了相似三角形;

3. 嘗試構(gòu)造兩個(gè)相似的三角形，使得BD、DC、BC中的某兩條成為這兩個(gè)三角形的一組對(duì)應(yīng)邊;

4. 將線段之比轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的三角形的面積之比;

5. 以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在的直線為x軸，過(guò)B點(diǎn)且垂直于BC的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系。

（三）執(zhí)行方案

思路1：構(gòu)造含有BF、FE、BE中某兩條線段的相似三角形。

解法1：如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EG∥BC交AD于點(diǎn)G，得△EFG∽△BFD，則EGBD=EFBF=1/3，故BD=3EG，又因?yàn)镋G∥BC，所以△AEG∽△ACD，則EG/CD=AE/AC=1/2，故CD=2EG，所以BD/DC=3/2。

解法2：如圖1，取CD的中點(diǎn)H，連接EH，得EH是△ACD的中位線，故EH∥AD，則△BDF∽△BHE，所以BD/DH=BF/EF=3，又因?yàn)镃D=2DH，所以BD/DC=BD/2DH=3/2。

思路2：等倍延長(zhǎng)中線BE，構(gòu)造全等三角形，同時(shí)構(gòu)造相似三角形。

解法3：如圖2，延長(zhǎng)BE至點(diǎn)G，使得EG=BE，連接AG，得△AEG≌△CEB，則AG=BC，∠G=∠CBE，所以AG∥BC，從而得△AFG∽△DFB，所以AG/BD=FG/BF，因?yàn)锽F=3FE，所以FG=EG+EF=BE+EF=5EF，故AG/BD=5/3，所以BC/BD=5/3，因而B(niǎo)D/DC=3/2。

思路3：構(gòu)造含有BD、DC、BC中的某兩條線段的相似三角形。

解法4：如圖3，過(guò)點(diǎn)C作CG∥AD交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，得△AEF≌△CEG，則EF=EG，所以FG=2EF，又由CG∥AD得BD/DC=BF/FG=3/2。

解法5：如圖3，過(guò)點(diǎn)C作CH∥BE交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，得△AEF∽△ACH，則EF/CH=AE/AC=1/2，故CH=2EF，又由CH∥BE得△BDF∽△CDH，所以BD/DC=BF/CH=3/2。

解法6：如圖3，過(guò)點(diǎn)B作BM∥AC交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，得△AEF∽△MBF，則BMAE=BFEF=3，由BM∥AC亦可得△BDM∽△CDA，所以BD/DC=BM/AC=BM/2AE=3/2。

思路4：將線段之比轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的三角形的面積之比。

解法7：如圖4，連接DE，設(shè)S△AEF=x，S△DEF=y，因?yàn)椤鰽BF和△AEF同高，所以S△ABF∶S△AEF=BF∶EF=3∶1，所以S△ABF=3S△AEF=3x，同理可得S△BDF=3y，因?yàn)镈E是△ACD的中線，故S△ACD=2S△ADE=2x+2y，因?yàn)镾△ABD=S△ABF+S△BDF=3x+3y，且△ABD和△ACD同高，所以BD/DC=S△ABD/S△ACD=3/2。

解法8：如圖4，連接CF，由解法7得S△ABF=3S△AEF，因?yàn)镋是AC的中點(diǎn)，故S△AEF=S△CEF，所以S△ABF∶S△ACF=3∶2，因?yàn)椤鰽BD和△ACD同高，所以BD/DC=S△ABD/S△ACD，同理可得BD/DC=S△BDF/S△CDF，所以BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BDF/S△CDF，故BD/DC=（S△ABD-S△BDF）/（S△ACD-S△CDF）=S△ABF/S△ACF=3/2。

思路5：建立平面直角坐標(biāo)系。

解法9：

（四）回顧與反思

關(guān)于這道中考題，在求解的過(guò)程中，我們應(yīng)該先理解題目，理清已知量、未知量及隱含條件，并探究已知量和未知量之間的聯(lián)系。經(jīng)過(guò)探究，筆者一共找到了9種解法，回顧這9種解法，核對(duì)每一個(gè)步驟。完成解題任務(wù)后，我們應(yīng)及時(shí)回顧反思。整道題的重要條件是BF=3FE，相當(dāng)于已知線段的比值。在我們的學(xué)習(xí)中，相似三角形這一章節(jié)是會(huì)涉及線段的比值的，即相似三角形的相似比。不論是從條件出發(fā)還是從結(jié)論出發(fā)，都體現(xiàn)了線段的比值，所以構(gòu)造相似三角形是比較容易想到的方法，而構(gòu)造相似三角形的方法是不唯一的，基本可以分為兩大類(lèi)，從條件出發(fā)構(gòu)造相似三角形或者從結(jié)論出發(fā)構(gòu)造相似三角形。

另外，我們也知道兩個(gè)三角形如果是同高的，那么三角形的面積之比便等于相應(yīng)的底邊之比，而本題中有同高的三角形，因而這道題還可以從面積的角度入手。

關(guān)于第9種解法，這是一種完全不同的思路。雖然這種解法對(duì)于這道題來(lái)說(shuō)，不是最簡(jiǎn)便的方式，比較煩瑣，對(duì)運(yùn)算能力要求較高，但它體現(xiàn)了幾何問(wèn)題代數(shù)化以及幾何問(wèn)題坐標(biāo)化的思想，也體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的思想，同樣能解決本題，并且它在其他的一些問(wèn)題中是可以有一定的優(yōu)勢(shì)的。如果就本題而言，本題更適合用構(gòu)造相似三角形或者用面積的方法。

同一道題目，不同的解法，體現(xiàn)了不同的思路，讓我們能更好地理解題目，積累解題經(jīng)驗(yàn)，避免造成思維固化，也有利于培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，逐漸做到減負(fù)增效，讓學(xué)生更輕松地學(xué)習(xí)，提高學(xué)生的學(xué)生興趣。

參考文獻(xiàn)：

[1]G·波利亞.怎樣解題[M].上海：上海科技教育出版社，2011.

作者簡(jiǎn)介：

李潔，江蘇省蘇州市，吳江區(qū)松陵第一中學(xué)。