通過數(shù)形結(jié)合學(xué)習(xí)提升學(xué)生運(yùn)算能力的方法探究

摘 要：數(shù)形結(jié)合是一種可以使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化、抽象問題形象化的數(shù)學(xué)思維方法。將數(shù)形結(jié)合巧妙地運(yùn)用在小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)中，可以使學(xué)生親身經(jīng)歷探索計(jì)算的過程，如此可以明晰算理，知曉算法，發(fā)現(xiàn)計(jì)算規(guī)律。提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、創(chuàng)造數(shù)學(xué)的能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合;小學(xué)數(shù)學(xué);運(yùn)算能力

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，數(shù)形結(jié)合思想是最重要的數(shù)學(xué)思想之一。貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)教材的兩條主線便是數(shù)和形，將形抽象概括為數(shù)，將數(shù)直觀表現(xiàn)為形，它們?cè)谝欢l件下可以相互轉(zhuǎn)化、相互補(bǔ)充。數(shù)形結(jié)合既是一種重要的數(shù)學(xué)思想又是一種常見的教學(xué)方式。

計(jì)算教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中重要的組成部分之一，在新計(jì)算教學(xué)理念下，我們要求學(xué)生不僅會(huì)用筆算、口算、簡(jiǎn)便計(jì)算等進(jìn)行正確的計(jì)算，而且還要求學(xué)生能夠結(jié)合具體的情形理解算理。算理和算法是一個(gè)相互聯(lián)系、有機(jī)統(tǒng)一的整體，所以說算理和算法是計(jì)算教學(xué)必須要關(guān)注的兩個(gè)方面，算理與算法在小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)中相輔相成，缺一不可。算理指的就是計(jì)算的道理，讓我們明白這樣計(jì)算的理由，而算法則是計(jì)算過程中的規(guī)則和邏輯順序，是計(jì)算的具體方法，告訴我們應(yīng)該“怎樣計(jì)算”。計(jì)算教學(xué)只有讓學(xué)生明白計(jì)算的道理，學(xué)生才能靈活掌握算法。為了保證計(jì)算的合理性和可行性，算理為算法提供了正確的思維方式，確保了計(jì)算的速度和效率的提升。

在計(jì)算教學(xué)中，算理教學(xué)比較抽象，小學(xué)生往往不能透徹理解抽象的數(shù)字符號(hào)，往往會(huì)出現(xiàn)對(duì)算理的模糊認(rèn)識(shí)導(dǎo)致計(jì)算方法的錯(cuò)誤情況。而小學(xué)生思維發(fā)展的特點(diǎn)是從具體形象思維逐步向抽象思維過渡的，但這種抽象邏輯思維在很大程度上仍然靠感性經(jīng)驗(yàn)來獲得，所以在計(jì)算教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)直觀模型的教學(xué)，數(shù)形結(jié)合能有效解決這一問題。

數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想，是通過抽象的“數(shù)”與具體的“形”相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種思維方法，將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來解決問題的思想方法。將抽象的數(shù)字符號(hào)轉(zhuǎn)化為直觀的圖形演示，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦、動(dòng)口，多種感官協(xié)同參與，使學(xué)生主動(dòng)參與到表象的建立、算理的探究、算法的構(gòu)建中去，從而達(dá)到對(duì)算理的深層理解和對(duì)算法的正確掌握，促進(jìn)學(xué)生形象思維和抽象思維的協(xié)調(diào)發(fā)展。數(shù)形結(jié)合思想貫穿整個(gè)小學(xué)階段各年級(jí)不同教學(xué)領(lǐng)域。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，較好地幫助學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)。

“數(shù)形結(jié)合”對(duì)教師來說是一種教學(xué)方法，教學(xué)策略，對(duì)學(xué)生來說是一種學(xué)習(xí)方法，著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”。在小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)的課堂上，老師教學(xué)時(shí)常常將“數(shù)”與“形”相融合，來有效講解或幫助學(xué)生理解算理，以使掌握算法多樣化，提高計(jì)算的效率。同時(shí)老師也希望學(xué)生能夠?qū)⑺鳛橐环N學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)能力來掌握它、應(yīng)用它。下面以“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”為例說明。

【教學(xué)片斷一】

師：每套書有14本，請(qǐng)大家猜測(cè)一下，王老師買了12套這樣的書，一共有多少本書呢，誰來說一說你是怎樣猜的？

生：有多種猜測(cè)，從100多到200多不等。

師：從同學(xué)們的猜測(cè)可以看出結(jié)果出入比較大，那么怎么才能判斷哪種結(jié)果比較準(zhǔn)確呢？

生1：算一算。

生2：列豎式計(jì)算。

師：大家說的沒錯(cuò)，我們通過計(jì)算就可能知道。下面請(qǐng)同學(xué)們把你猜測(cè)的結(jié)果寫在練習(xí)紙上，然后再想想有沒有其他辦法可以算出這12套書到底有多少本，看看自己猜的是否正確。

有的學(xué)生有課前預(yù)習(xí)的基礎(chǔ)，此時(shí)他們已展開計(jì)算，有的則無從下手。于是在老師的鼓勵(lì)下，全班學(xué)生都開始積極思考算法，教師則對(duì)學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo)。

小組內(nèi)交流，小組間交流，全班交流算法：

（1）14+14+……+14=168

（2）12+12+……+12=168

（3）14×4×3=168或14×3×4=168

（4）14×2×6=168或14×6×2=168

（5）14×10+14×2=168

（6）12×10+12×4=168

（7）豎式計(jì)算

【教學(xué)分析】

“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”是在學(xué)習(xí)了“兩位數(shù)乘一位數(shù)”的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，多數(shù)課堂都是從復(fù)習(xí)開始，先復(fù)習(xí)14×2、14×6、14×10等兩位數(shù)乘一位數(shù)的計(jì)算，為學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘兩位數(shù)做好鋪墊。這樣的課堂設(shè)計(jì)為學(xué)生搭好了攀登的“腳手架”，引導(dǎo)學(xué)生順著老師的思路一步步向上爬，這樣的教學(xué)強(qiáng)化了新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，整個(gè)教學(xué)過程顯得比較順暢，使學(xué)生學(xué)習(xí)的難度降低了，同時(shí)也阻礙了學(xué)生創(chuàng)造性的思維，讓學(xué)生失去了學(xué)習(xí)的挑戰(zhàn)性和趣味性。

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)打破了常規(guī)，在開門見山地提出問題以后，先讓學(xué)生猜結(jié)果、說理由，讓學(xué)生猜測(cè)結(jié)果，其實(shí)是在培養(yǎng)學(xué)生的估算意識(shí)，這對(duì)于提高學(xué)生的計(jì)算能力有很大幫助，同時(shí)對(duì)學(xué)生建立數(shù)感也有很大的幫助。然后，鼓勵(lì)學(xué)生用計(jì)算的方法來驗(yàn)證自己的猜想，把課堂的主動(dòng)權(quán)交還給學(xué)生，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望。

教師在課學(xué)前雖然會(huì)有預(yù)設(shè)，但是課堂上面對(duì)著一個(gè)個(gè)“活生生”思維著的學(xué)生，“預(yù)設(shè)”之外的情況也時(shí)有發(fā)生，數(shù)學(xué)是有豐富思想方法、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评磉\(yùn)算同時(shí)又富有技巧性的，這就要求老師必須做到眼觀六路，耳聽八方，要有開放而平和的心態(tài)，善于透過偶發(fā)的、意外的事件，及時(shí)誘發(fā)和捕捉到學(xué)生的一些奇思妙想，有效地開發(fā)和利用這些自然生成的課程資源，以提高數(shù)學(xué)教學(xué)的針對(duì)性、時(shí)效性及主動(dòng)性。

【教學(xué)片斷二】

師：剛剛同學(xué)們列舉了這么多種算法，下面我們來看看14×12為什么可以這樣算呢，哪些算法計(jì)算起來比較簡(jiǎn)單快捷？

師生共同交流。

（1）和（2）利用了乘法和加法之間的關(guān)系，算理清晰正確，理解起來比較容易，但是計(jì)算卻很麻煩，而且容易出錯(cuò)。

（3）和（4）可以借助圖形結(jié)合幫助理解算理：

14×3=42 42×4=168

14×4=56 56×3=168

同樣14×2×6=168或14×6×2=168的算理也就顯而易見了。

通過把抽象的數(shù)字轉(zhuǎn)化成直觀的圖形，讓算理一目了然。“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”可以轉(zhuǎn)化為把其中一個(gè)兩位數(shù)看作兩個(gè)一位數(shù)的積，再進(jìn)行計(jì)算。學(xué)生進(jìn)一步分析會(huì)發(fā)現(xiàn)，這樣的算法具有局限性，不通用，如：24×13等。

（5）也可以借助圖形結(jié)合幫助理解算理：

14×10=14014×2=28140+28=168

（6）這時(shí)就有同學(xué)想到，拋開題意，計(jì)算14×12時(shí)也可以借助下圖理解算理：

12×10=12012×4=48120+48=168

（7）由以上算理演化出豎式計(jì)算的方法：

【教學(xué)分析】

算理是由數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)和定律等內(nèi)容組成的基礎(chǔ)理論知識(shí)。算法是在算理指導(dǎo)下實(shí)施計(jì)算的基本程序和方法，根據(jù)算理對(duì)算法做了一些規(guī)定。算理為算法提供了理論上的指導(dǎo)，算法則是算理的具體實(shí)施。學(xué)生在學(xué)習(xí)計(jì)算的過程中明確了算理和算法，就可以靈活、簡(jiǎn)便地進(jìn)行計(jì)算，這樣計(jì)算的多樣性才有可能實(shí)現(xiàn)。在這道題中，算理是乘法的意義，14乘12其實(shí)就是求12個(gè)14，先算2個(gè)14得28，再算10個(gè)14得140，最后把兩個(gè)積相加得168。當(dāng)學(xué)生弄清算理，對(duì)算法的理解便會(huì)水到渠成。這時(shí)候，4和2乘得的8應(yīng)該寫在個(gè)位，2和2乘得的4應(yīng)該寫在十位便不再是教學(xué)的難點(diǎn)。

計(jì)算看似是程序性的教學(xué)，思維含量比較低，其實(shí)不然，在梳理算理的過程中，學(xué)生對(duì)于算法的掌握相對(duì)是比較零散的。此時(shí)，教師非常有必要通過數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生進(jìn)行一次完整的算法體驗(yàn)，協(xié)助學(xué)生掌握算法，以形解數(shù)，在探究算理的過程中，以圖形矩陣作為探究材料，經(jīng)歷從數(shù)到形，再?gòu)男纬橄蟪鰯?shù)的過程，這樣學(xué)生既感知了算理，同時(shí)也體現(xiàn)了計(jì)算的多樣化和實(shí)效性，優(yōu)化了計(jì)算方法的選擇。

【教學(xué)片斷三】

生：老師，我有新的發(fā)現(xiàn)，是不是也可以這樣算：

師生一起交流算理。

師生總結(jié)：這種方法適用于口算。

【教學(xué)分析】

在前期的教學(xué)過程中，通過數(shù)與形結(jié)合，使學(xué)生理解了算理和算法之間的聯(lián)系，使算理和算法得到了有效的融合。點(diǎn)子圖將“冰冷”的算法和“秘密”的算理深層次融合，讓學(xué)生清晰感受到“法中見理，理中得法”，算法形成與鞏固的過程也變成了明晰算理的過程，在這個(gè)過程中，學(xué)生真正理解了算理并掌握了算法，這樣學(xué)生的計(jì)算技能就得以形成，也可使學(xué)生對(duì)計(jì)算方法做到知其然，更知其所以然。所以在“教學(xué)片斷三”中才會(huì)出現(xiàn)學(xué)生思維進(jìn)一步提升的情況。

我國(guó)數(shù)學(xué)家張廣厚曾經(jīng)說過：“抽象思維如果脫離直觀，一般是很有限度的。同樣，在抽象中如果看不出直觀，說明還沒有把握住問題的實(shí)質(zhì)?！笨梢?，抽象思維與直觀思維有著密切聯(lián)系。數(shù)形結(jié)合，實(shí)際上就是將直觀的圖形和抽象的數(shù)學(xué)語言相聯(lián)系，使抽象思維和形象思維相結(jié)合，通過對(duì)圖形的處理，將直觀圖形當(dāng)作抽象的數(shù)學(xué)語言的支柱，揭示數(shù)和形之間的內(nèi)在聯(lián)系，把抽象的概念轉(zhuǎn)化為具體的形象或表象，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的思維。建構(gòu)知識(shí)依靠數(shù)形結(jié)合這根拐杖，可以使學(xué)生在理解算理，掌握算法的道路上走得更穩(wěn)、更扎實(shí)。事實(shí)證明，抽象的數(shù)學(xué)概念和復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，能夠借助圖形變得更加形象、更加直觀、更加簡(jiǎn)單。

正如華羅庚先生所說，“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非”。作為教師，要著眼于數(shù)學(xué)發(fā)展的全局，從具體的教學(xué)過程著手，努力挖掘“數(shù)”和“形”的本質(zhì)聯(lián)系，有計(jì)劃、有目的、有系統(tǒng)、適時(shí)適度對(duì)其加以滲透，幫助學(xué)生逐步形成數(shù)形結(jié)合思想，并將這種思想應(yīng)用于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、創(chuàng)造數(shù)學(xué)之中，逐步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和數(shù)學(xué)能力，這也是我們數(shù)學(xué)教學(xué)著力追求的目標(biāo)。

當(dāng)然，數(shù)形結(jié)合思想作為一種意識(shí)或觀念，不是一朝一夕就能形成的，日積月累、長(zhǎng)期滲透才能逐漸被學(xué)生所掌握。所以，我們教師要做教育的有心人，在計(jì)算教學(xué)中，要有的放矢地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將它與其他數(shù)學(xué)思想始終貫穿在傳授數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中，為學(xué)生構(gòu)建一個(gè)算理、算法交融的課堂，真正將數(shù)形結(jié)合的方法落到實(shí)處，引導(dǎo)學(xué)生在算法探究中理解算理，在理解算理的基礎(chǔ)上形成算法，那么計(jì)算課堂同樣會(huì)很精彩。

總而言之，教師要在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段，將數(shù)形結(jié)合這一重要思想融入教學(xué)過程中，通過數(shù)形結(jié)合來開展數(shù)學(xué)教學(xué)，以此提升學(xué)生的思維能力和實(shí)踐能力，保證數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。與此同時(shí)，在具體的數(shù)形結(jié)合教學(xué)過程中，教師要在整體上對(duì)“數(shù)”和“形”進(jìn)行把握，使兩者相輔相成，相互補(bǔ)充，使學(xué)生學(xué)得輕松而有效，從而更好地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

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[2]劉玉桂.淺談數(shù)形結(jié)合在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].新課程學(xué)習(xí)，2015（8）：64.

作者簡(jiǎn)介：

朱玉賢，河北省保定市，保定市物探中心學(xué)校第二分校。