離散數(shù)學(xué)研究型教學(xué)模式的探索

蘇延森 張磊 程凡

摘要：離散數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)科學(xué)中的基礎(chǔ)課程。傳統(tǒng)教學(xué)模式難以培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維及發(fā)散思維，難以調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性。針對(duì)離散數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)專業(yè)課程中的基礎(chǔ)性地位及其理論概念抽象的特點(diǎn)，從培養(yǎng)創(chuàng)新型研究人才的需求出發(fā)，開(kāi)展基于問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的研究性教學(xué)示范課程建設(shè)是很有必要的。筆者就開(kāi)展離散數(shù)學(xué)課程研究型教學(xué)的難點(diǎn)進(jìn)行了分析，并提出了解決方法和措施。

關(guān)鍵詞：離散數(shù)學(xué);研究型教學(xué);問(wèn)題驅(qū)動(dòng)

中圖分類號(hào)：TP317.1? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-3044（2020）30-0085-02

離散數(shù)學(xué)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，是計(jì)算機(jī)科學(xué)中的基礎(chǔ)理論的核心課程。該課程包括數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)結(jié)構(gòu)、圖論等內(nèi)容，其主要目標(biāo)是離散量的結(jié)構(gòu)和相互間的關(guān)系。由于離散數(shù)學(xué)課程所涉及的基本概念與基本理論是多門計(jì)算機(jī)專業(yè)課的基礎(chǔ)，因此該課程與計(jì)算機(jī)科學(xué)中的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、操作系統(tǒng)、編譯原理、算法分析、邏輯設(shè)計(jì)、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、容錯(cuò)診斷等課程具有緊密聯(lián)系。離散數(shù)學(xué)不僅是為專業(yè)服務(wù)的基本理論，而且通過(guò)該課程可以培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和縝密概況的能力。

單向式的傳統(tǒng)教學(xué)模式中，課堂教學(xué)基本上是教師一堂言，學(xué)生機(jī)械地接收教師傳授的知識(shí)，且被動(dòng)地采納教師的觀點(diǎn)。傳統(tǒng)教學(xué)模式難以培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維及發(fā)散思維，難以調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性。由近兩年的離散數(shù)學(xué)課程的試卷分析來(lái)看，學(xué)生對(duì)教材上重要概念及定理的運(yùn)用能力不夠，對(duì)重要的概念及定理理解水平尚待提高。由此可見(jiàn)，傳統(tǒng)式離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)所培養(yǎng)出的學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力及邏輯推理水平與該課程的教學(xué)目標(biāo)尚存在較大差距。

研究型教學(xué)是教師以課程內(nèi)容和學(xué)生的學(xué)識(shí)積累為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)造性地運(yùn)用知識(shí)和能力，自主地發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、研究問(wèn)題和解決問(wèn)題，并在研討中積累知識(shí)、培養(yǎng)能力和鍛煉思維的教學(xué)模式。離散數(shù)學(xué)的基本概念及定理較為抽象，教師若是能在教學(xué)方法、教學(xué)內(nèi)容以及教學(xué)組織形式上，以問(wèn)題為載體，特別注意激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，將會(huì)達(dá)到較好的教學(xué)效果。針對(duì)離散數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)專業(yè)課程中的基礎(chǔ)性地位及其理論概念抽象的特點(diǎn)，從培養(yǎng)創(chuàng)新型研究人才的需求出發(fā)，開(kāi)展基于問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的研究性教學(xué)示范課程建設(shè)是很有必要的。

1《離散數(shù)學(xué)》開(kāi)展研究型教學(xué)的難點(diǎn)

《離散數(shù)學(xué)》課程理論性較強(qiáng)，包含大量公式及推導(dǎo)，容易使計(jì)算機(jī)專業(yè)的學(xué)生產(chǎn)生畏懼心理，因此，如何引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這門課的學(xué)習(xí)興趣，改變他們對(duì)教材整體感覺(jué)枯燥的印象非常關(guān)鍵。

第一，研究型教學(xué)注重培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、探究和解決問(wèn)題的能力。發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題以及探究和解決問(wèn)題能力的培養(yǎng)需要在教學(xué)過(guò)程中以問(wèn)題為載體展開(kāi)。然而目前已有的離散數(shù)學(xué)教材很少采用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)式的模式進(jìn)行編排。因此，選取恰當(dāng)?shù)乃夭?，開(kāi)展問(wèn)題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)將是該課程開(kāi)展研究型教學(xué)的難點(diǎn)之一。

第二，研究型教學(xué)注重提高學(xué)生的主體意識(shí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。離散數(shù)學(xué)課程包括數(shù)理邏輯、集合論、關(guān)系、函數(shù)、集合、代數(shù)系統(tǒng)、格、圖論等八個(gè)章節(jié)的內(nèi)容。目前教學(xué)總學(xué)時(shí)為102。對(duì)于抽象的知識(shí)，如果不在課堂上進(jìn)行深入講解，學(xué)生難以理解;若對(duì)每個(gè)知識(shí)點(diǎn)都仔細(xì)講解，將需要更多的課時(shí)。課時(shí)短，教學(xué)任務(wù)重。如何合理安排教學(xué)內(nèi)容及教學(xué)過(guò)程，使得學(xué)生能夠較大程度地發(fā)揮其主體意識(shí)，高效地吸收知識(shí)將是離散數(shù)學(xué)開(kāi)展研究型教學(xué)需要考慮的核心問(wèn)題。

第三，研究型教學(xué)注重培養(yǎng)學(xué)生的研究與實(shí)踐能力以及合作與發(fā)展意識(shí)。其難點(diǎn)在于如何合理安排教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)過(guò)程及學(xué)習(xí)質(zhì)量評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，以鍛煉學(xué)生的合作及研究能力。對(duì)于離散數(shù)學(xué)課程而言，有若干問(wèn)題具有實(shí)際的應(yīng)用場(chǎng)景。例如旅行商問(wèn)題，最短路徑問(wèn)題。如何安排教學(xué)過(guò)程，使得學(xué)生能夠就具體的應(yīng)用問(wèn)題展開(kāi)合作研究，理解解決應(yīng)用問(wèn)題所需的理論基礎(chǔ)將是該課程開(kāi)展研究型教學(xué)的又一難點(diǎn)。

筆者在近三年的教學(xué)過(guò)程中，結(jié)合離散數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，主要開(kāi)展的措施如下：（1）針對(duì)代數(shù)系統(tǒng)等抽象的教學(xué)內(nèi)容，盡力做到由具體到抽象再到具體的內(nèi)容編排。（2）針對(duì)數(shù)理邏輯，穿插講解數(shù)理邏輯發(fā)展史，使學(xué)生對(duì)數(shù)理邏輯的發(fā)展有基本的認(rèn)識(shí)。（3）在課后輔導(dǎo)中，耐心、細(xì)致地解答學(xué)生所遇到的問(wèn)題。（4）期末試卷，減小客觀題所占的比重，增加應(yīng)用題，用于評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)重要概念及定理的理解及遷移能力。

結(jié)合上述已有措施可見(jiàn)目前《離散數(shù)學(xué)》課程教學(xué)尚存在以下不足：未開(kāi)展對(duì)抽象教學(xué)內(nèi)容的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)，學(xué)生對(duì)抽象內(nèi)容的理解及運(yùn)用能力有待提高;僅采用課堂教學(xué)課后輔導(dǎo)的方式難以調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性;未安排教學(xué)內(nèi)容及教學(xué)過(guò)程，使得學(xué)生的研究能力及團(tuán)隊(duì)合作能力未得到鍛煉。

2解決方法和措施

針對(duì)《離散數(shù)學(xué)》課程中的教學(xué)內(nèi)容，采用合理的教學(xué)組織形式，并使各種有效的教學(xué)方法、教學(xué)手段在相應(yīng)的組織形式中加以運(yùn)用。

2.1 基于問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的探究式教學(xué)的探索與實(shí)踐

離散數(shù)學(xué)的內(nèi)容是前人研究的成果。所涉及的知識(shí)一般都經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的歷史過(guò)程而產(chǎn)生的。但為了簡(jiǎn)明起見(jiàn)，教材中相關(guān)內(nèi)容幾乎均以定論的形式出現(xiàn)，略去了知識(shí)發(fā)展的過(guò)程、命題的形成過(guò)程和問(wèn)題的探索過(guò)程。擬通過(guò)展現(xiàn)重要概念的產(chǎn)生過(guò)程、揭示命題的形成過(guò)程、展現(xiàn)思路的獲得過(guò)程，采用基于問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的探究式教學(xué)模式，即首先教師引出問(wèn)題，其次引導(dǎo)學(xué)生探討問(wèn)題，最后幫助學(xué)生通過(guò)分析、歸納、綜合得出結(jié)論。例如，講解定理“每個(gè)循環(huán)群都是Abel群”時(shí)，傳統(tǒng)教學(xué)通常只會(huì)帶著學(xué)生證明下定理的正確性，而不去深究。可以帶領(lǐng)學(xué)生思考為何要提出該定理，定理的形成過(guò)程以及定理的逆命題是否成立。整個(gè)教學(xué)過(guò)程中鼓勵(lì)學(xué)生思考，強(qiáng)調(diào)師生互動(dòng)。

2.2 主題貫穿式教學(xué)的探索與實(shí)踐

在教學(xué)過(guò)程中，擬針對(duì)教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)制定主題，圍繞主題，重點(diǎn)闡述抽象的概念、定理之間的異同及邏輯演化關(guān)系。例如，第六章第七節(jié)的教學(xué)內(nèi)容包括群的定義及性質(zhì)，及子群、半群、置換群、循環(huán)群、正規(guī)子群、商群等多個(gè)特殊群的定義及性質(zhì)。如果逐條講解各知識(shí)點(diǎn)，那么學(xué)生難以掌握學(xué)習(xí)群的意義。為此，擬設(shè)置“構(gòu)造具有特殊結(jié)構(gòu)的群”這個(gè)主題，帶領(lǐng)學(xué)生積極思考，構(gòu)造完第一種特殊結(jié)構(gòu)的群后，通過(guò)設(shè)置問(wèn)題，啟發(fā)學(xué)生思考，引出下一種特殊類型的群。

2.3 專題討論的探索與實(shí)踐

1）概念定理專題的討論，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)研究能力。教師在上節(jié)課布置下專題討論題目。鼓勵(lì)學(xué)生查看與該定理相關(guān)的背景資料，從而培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)研究能力。結(jié)合生活實(shí)際來(lái)揭示概念的提出、發(fā)現(xiàn)、抽象和概括的過(guò)程，讓學(xué)生更深刻認(rèn)識(shí)概念、理解概念本身的價(jià)值。例如，利用信息編碼實(shí)例解釋代數(shù)系統(tǒng)中群、環(huán)、域的概念。

2）應(yīng)用性專題的討論，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作能力。教師提供典型案例，將學(xué)生引入到一個(gè)特定的真實(shí)情景中，讓它們識(shí)別、分析、解決具體問(wèn)題。其間教師將尊重學(xué)生探究方式的多樣性，首先鼓勵(lì)學(xué)生各自獨(dú)立思考、判斷，在此基礎(chǔ)上把個(gè)人思考取得的結(jié)果與小組其他成員進(jìn)行交流、討論，進(jìn)行思維的碰撞，由此相互推動(dòng)對(duì)問(wèn)題的深入理解，最終尋找問(wèn)題的解決途徑。例如，在中國(guó)的一些一線城市如北京、上海、廣州、深圳等，一般從A點(diǎn)到到達(dá)B點(diǎn)都要通過(guò)幾次地鐵、公交的換乘才可以到達(dá)。有些朋友想用最短對(duì)的時(shí)間，有些朋友想花最少的金錢，這就涉及不同的方案，那么如何才能最快地計(jì)算出最佳的方案呢？該問(wèn)題可以應(yīng)用迪杰斯特拉算法設(shè)計(jì)最佳方案。在案例教學(xué)中加深學(xué)生對(duì)算法的理解，提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

2.4 綜合利用多種教學(xué)手段

在教學(xué)手段上，不局限于傳統(tǒng)的黑板板書教學(xué)，把現(xiàn)代化教學(xué)手段引入課堂，充分利用計(jì)算機(jī)技術(shù)和網(wǎng)絡(luò)技術(shù)，讓學(xué)生獲得更多的知識(shí)。例如，在講解環(huán)的概念及分類時(shí)，可以利用多媒體展示多種類型的環(huán)之間的關(guān)系，這樣不但可以減少老師在課堂上的作圖時(shí)間，并且可以建立模型演示，讓學(xué)生更加直觀地認(rèn)識(shí)抽象的代數(shù)系統(tǒng)。

2.5 加入教學(xué)過(guò)程評(píng)價(jià)

傳統(tǒng)的教學(xué)模式下，僅利用單一的筆試來(lái)評(píng)價(jià)學(xué)生和評(píng)判人才培養(yǎng)的得失。本項(xiàng)目擬采用一套行之有效的適應(yīng)研究型教學(xué)的考試方式和方法來(lái)評(píng)價(jià)。例如，設(shè)計(jì)專題討論的評(píng)價(jià)方法，使其評(píng)價(jià)結(jié)果作為教學(xué)過(guò)程的一部分成績(jī)。最終的教學(xué)評(píng)價(jià)包含教學(xué)過(guò)程考核及考試。

3結(jié)束語(yǔ)

離散數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)關(guān)注如何促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)，使他們掌握學(xué)習(xí)方法，并在學(xué)習(xí)過(guò)程中培養(yǎng)積極思考的習(xí)慣。開(kāi)展離散數(shù)學(xué)課程的研究型教學(xué)為解決該課程教學(xué)中概念繁多、公式抽象、學(xué)生學(xué)習(xí)興趣不高等問(wèn)題提供了新的途徑。此外，為了更好地遵循現(xiàn)代教學(xué)思想，即從單純發(fā)展智力為中心轉(zhuǎn)到全面提高學(xué)生素質(zhì)，在實(shí)際的離散數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中需要積極探索更多有效的研究型教學(xué)模式。

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