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    熟悉的陌生人
    ——如何解多項選擇題

    2020-12-29 12:44:03端木彥
    新世紀智能(數(shù)學備考) 2020年4期
    關鍵詞:末位偶函數(shù)倍數(shù)

    端木彥

    多項選擇題,即正確選項不止一個的選擇題.模擬卷中的評分規(guī)則為:全部選對得5分,有選錯的得0 分,部分選對的得3 分.2021年高考很有可能有此種題型.

    以往高中數(shù)學試題中沒有多項選擇題,不過有一類我們很熟悉的題,表面是單項選擇題,其實與多項選擇題相似.

    右欄的這道題你會做嗎?2019年,全國有4 份高考卷中出現(xiàn)了這種題型.看來,多項選擇題對我們來說還真是一位熟悉的陌生人,那就來深入了解一下這位朋友.直接法、排除法、數(shù)形結合法、特值法等單項選擇題常用方法,都可以用來招呼這位朋友;比較異同法、綜合法等方法,這位朋友也挺喜歡.

    一、直接法

    即從已知條件出發(fā),結合相關定理、法則、定義等,通過準確的運算、嚴謹?shù)耐评淼贸稣_結論的方法.簡言之,直接求.

    例1在平面直角坐標系xOy中,角α以Ox為始邊,終邊經(jīng)過點P(1,m)(m<0),則下列各式一定為正的是( )

    A.sinα+cosαB.cosα-sinα

    C.sinαcosαD.

    引例(2019年全國Ⅰ理科卷)關于函數(shù)f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四個結論:

    ①f(x)是偶函數(shù);②f(x)在區(qū)間上單調遞增;③f(x)在[-π,π]有4個零點;④f(x)的最大值為2.其中所有正確結論的編號是( )

    A.①②④ B.②④

    C.①④ D.①③

    (答案見例6)

    解析

    由任意角的三角函數(shù)的定義結合三角函數(shù)的象限符號求解,正確答案為BD.

    二、排除法

    “去偽存真”的奧義在此法中體現(xiàn)無疑,解題時可通過排除一些較易判定的、不合題意的選項,縮小選擇范圍.

    例2下列函數(shù)中,既是偶函數(shù),又在(0,+∞)上單調遞增的是( )

    A.y=x3B.y=x-2C.y=e|x|D.y=lgx2

    三、數(shù)形結合法

    把抽象的數(shù)學語言與直觀的幾何圖形結合起來,使抽象問題具體化,常用于解決有幾何背景的問題.

    例3已知兩點M(-3,0),N(3,0),給出下列曲線方程,在其所對應的曲線上存在點P滿足PM+PN=10的曲線方程為( )

    A.x-y+5=0 B.y2=4x

    四、特值法

    運用題設條件的某些特殊數(shù)值、特殊位置、特殊關系、特殊圖形等對各選項進行校驗或推理,利用一般與特殊的辯證關系判斷正誤.

    例4若方程所表示的曲線為C,則下面四個命題中正確的是( )

    A.若1 <t<5,則C為橢圓;

    B.若t<1,則C為雙曲線;

    C.若C為雙曲線,則焦距為4;

    D.若C為焦點在y軸上的橢圓,則3 <t<5.

    五、比較異同法

    這類多項選擇題的特點十分明顯,即選項中存在內容對立的情況,此時應考慮從對立選項中選出正確的.

    例5對于給定的正整數(shù)數(shù)列{an},滿足an+1=an+bn,其中bn是an的末位數(shù)字,下列關于數(shù)列{an}的說法正確的是( )

    A.如果a1是5 的倍數(shù),那么數(shù)列{an}與數(shù)列{2n}必有相同的項;

    B.如果a1是5 的倍數(shù),那么數(shù)列{an}與數(shù)列{2n}必沒有相同的項;

    C.如果a1不是5 的倍數(shù),那么數(shù)列{an}與數(shù)列{2n}只有有限個相同的項;

    D.如果a1不是5 的倍數(shù),那么數(shù)列{an}與數(shù)列{2n}有無窮多個相同的項.

    解析

    由“偶函數(shù)”排除A,由“遞增”排除B,故正確答案為CD.

    解析

    根據(jù)橢圓定義,P點軌跡方程為橢圓,故可通過作圖看公共點情況進行快速求解.正確答案為ABC.

    解析

    當t=3時,曲線C為圓,故A 錯.當t=0時,方程表示雙曲線,但此時焦距不為4,故C 錯.當t=4時,方程表示焦點在y軸上的橢圓.對于B,D,特殊值代入正確,可進一步精確計算:若曲線C為雙曲線,則(5-t)(t-1)<0,得t>5 或t<1;若曲線C為焦點在y軸上的橢 圓,則0 <5-t<t-1,得3 <t<5.故選BD.

    敲黑板

    因為多項選擇的答案不唯一,所以選取特殊值時需要格外謹慎.如例4 的A 選項,若選擇范圍內的其他特殊值,都會掉入陷阱.

    六、綜合法

    在多項選擇題中常與直接法結合使用.如引例,我們可以將它改編為多項選擇題如下:

    例6已知函數(shù)f(x)=sin|x|+|sinx|,下述四個結論中正確的是( )

    A.f(x)是偶函數(shù)

    B.f(x)在區(qū)間上單調遞增

    C.f(x)在[-π,π]上有4個零點

    D.f(x)的最大值為2

    值得注意的是,多選題的每一個選項都可能是滿足題意的,所以逐一計算審核選項的過程必然會增加答題時間.常見的典型錯誤、容易混淆的概念、不夠全面的思考,都可能成為干擾我們得分的因素.所以,同學們更要認真審題,認真分析選項情況,再通過驗證等方式檢驗,保證選項完全正確.最后,認真、規(guī)范地填寫答案.

    知己知彼,百戰(zhàn)不殆,希望同學們可以與多項選擇題成為好朋友.

    小試牛刀

    1.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,已知S9=72,a7=10,則( )

    A.an=n+3 B.an=2n-4

    2.已知函數(shù)f(x)=xlnx+x2,x0是函數(shù)f(x)的極值點,以下幾個結論中正確的是( )

    答案:1.AC;2.AD

    解析

    因為選項中AB 為一組,CD 為一組,各組內兩選項彼此對立.故只需在兩組內圍繞關鍵詞研究即可.

    當a1是5 的倍數(shù),則數(shù)列{an}的末位數(shù)字是5 或0,數(shù)列{2n}的末位數(shù)字只能是2,4,6,8,不存在相同的項,則B 正確.當a1不是5 的倍數(shù)時,這個數(shù)加上它的末位數(shù)字所得數(shù)的末位數(shù)字只能是2,4,6,8,數(shù)列{an}的末位數(shù)字只能是2,4,6,8,數(shù)列{2n}的末位數(shù)字有且只有2,4,6,8,故它們必有相同的項,且有無窮多個相同的項,則D 正確.故此題答案為BD.

    解析

    很明顯A 正確,易知f(0)=0,故f(x)在關于原點對稱的區(qū)間內只可能有奇數(shù)個零點,由此排除C 選項.再用直接法得到區(qū)間上的f(x)=2 sinx,故B 錯誤.對D 的判斷則可以用極限法,因 為sin|x|≤1 且|sinx|≤1,故只要兩個等號同時成立則D 正確,顯然時成立.所以,正確答案是AD.

    敲黑板

    多項選擇題的得分規(guī)則“多選得0分,部分選對得3分”也很重要.一旦出現(xiàn)拿捏不準的選項,可采用保守策略,寧“缺”勿“濫”,得保險分.不過話雖如此,能得5分才是王道哦!

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