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    玩轉(zhuǎn)高考題
    ——直線與圓篇

    2020-07-16 07:56:32
    關(guān)鍵詞:圓心四邊形最值

    蘇 玖

    高考題(2019年浙江卷第12題)已知圓C的圓心坐標(biāo)是(0,m),半徑長(zhǎng)是r.若直線2x-y+3=0與圓相切于點(diǎn)A(-2,-1),則m=____,r=____.

    點(diǎn)撥本題考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用,考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,是基礎(chǔ)題.

    如果把圓心放在x軸上,半徑確定,直線方程含有參數(shù),兩者位置關(guān)系不變,于是得到改編1.

    改編1

    已知圓C:(x -m)2+y2=5,直線l:2x-ay+b=0。若直線l與圓C相切于點(diǎn)P(-3,1),求m,a,b的值.

    點(diǎn)撥本題中圓心在y軸上滑動(dòng),半徑確定,直線是一條動(dòng)直線,改變圓方程的形式,如圓是以參數(shù)方程形式給出,于是得到改編題2.

    改編2

    已知直線l:ax-by-2a+b+4=0與圓C:相切,則ab的最大值為,的最小值為_(kāi)______.

    點(diǎn)撥直線與圓相切時(shí),有且僅有1 個(gè)公共點(diǎn),如果有兩個(gè)不同交點(diǎn),就是相交問(wèn)題,于是就可以改編為有關(guān)弦長(zhǎng)問(wèn)題,請(qǐng)看改編題3.

    改編3

    已知過(guò)P(3,5)的直線l與圓O:x2+y2=25 交于A,B兩點(diǎn),若AB=8,求直線l的方程.

    點(diǎn)撥本題已知弦長(zhǎng)求直線方程,同學(xué)們?nèi)菀走z漏直線斜率不存在的特殊情況.直線與圓的問(wèn)題常常與平面向量整合為小型綜合題,于是有改編題4.

    圖1

    改編4

    已知圓O:x2+y2=r2(r>0),直線l:x+y-2=0 與圓O交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)C在圓O上,若,求r的值.

    點(diǎn)撥本題是一條直線與圓相交,是不是也可以?xún)蓷l相交直線與圓相交組成四邊形,然后研究?jī)蓷l弦長(zhǎng)的相關(guān)問(wèn)題,如過(guò)某一定點(diǎn)作兩條弦,求弦長(zhǎng)的平方和的最值等,請(qǐng)看改編題5.

    改編5

    已知圓O:x2+y2=8,經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2,0)的兩條直線l1,l2分別交圓O于A,C和B,D點(diǎn),∠AMB=120°,且圓心O在∠AMB內(nèi)部或者角的邊界上,求AC2+BD2的最大值和最小值.

    點(diǎn)撥本題是研究圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線平方和的取值范圍問(wèn)題,當(dāng)然也可以改變條件,如以向量形式給出,研究三角形的面積最值問(wèn)題,請(qǐng)看改編題6.

    圖2

    改編6

    已知圓O:x2+y2=8,經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2,0)的兩條直線l1,l2分別交圓O于A,C和B,D點(diǎn),∠AMB=120°,且圓心O在∠AMB內(nèi)部,,求△POQ面積的最大值.

    點(diǎn)撥本題是圓與向量線性運(yùn)算整合的綜合題,要求三角形最值引入變量,分析引起三角形變化的原因是∠AMO,于是自變量就確定了.

    答案與解析

    原題:-2;.

    改編1:將點(diǎn)P的坐標(biāo)(-3,1)代入圓C的方程得,(-3-m)2+1=5,解之得,m=-1 或m=-5,再將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入直線方程得,a-b=-6.又因?yàn)橹本€l與圓C相切,所以kPC×,即(m+3)a=2.當(dāng)m=-1時(shí),a=1,b=7;當(dāng)m=-5時(shí),a=-1,b=5.故m=-1,a=1,b=7 或者m=-5,a=-1,b=5.

    改編2:將圓C的方程化為(x-2)2+(y-1)2=4,由直線與圓相切知,,即a2+b2=4。又由基本不等式知,a2+b2≥2|ab|,所以|ab|≤2,所以ab的最大值為2.又因?yàn)?,?dāng)且僅當(dāng)|a|=時(shí),ab的最大值為2,的最小值為1.

    改編3:當(dāng)直線斜率不存在時(shí),直線方程為x=3,此時(shí)圓心O到直線距離為3,于是AB=8.當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)直線方程為y-5=k(x-3),圓心O到直線距離為,由AB=8 得,,即d=3,所以,解之得,所以直線l的方程為8x-15y+51=0.

    改編4:利用點(diǎn)到直線距離公式得,,即圓心O到AB中點(diǎn)D的距離為.于是,兩邊同時(shí)平方得,再將已知等式兩邊平方得,,即,解之得,.

    改編5:設(shè)圓心O到AC,BD的距離分別為d1,d2,因此,所以下 求的最值. 設(shè)∠AMO=α(0°≤α≤120°),于是,d1=2sinα,d2=2sin(120°-α),因此,進(jìn)行三角恒等變換化簡(jiǎn)得,由于-30°≤2α-30°≤210°,因此所以,所以40 ≤AC2+BD2≤52,故AC2+BD2的最大值為52,最小值為40.

    改編6:分別取AC,BD中點(diǎn)E,F(xiàn),由平面向量知識(shí)得,,即,同理可得,,因此EF是△POQ的中位線,所以S△POQ=4S△EOF.設(shè)∠AMO=α(0°<α<120°),于是,同改編5,可得d1=2sinα,d2=2sin(120°-α).

    解題回顧

    直線與圓的位置關(guān)系中重點(diǎn)內(nèi)容:

    1.相切、相交;

    2.與三角形、四邊形等相關(guān)的面積最值或范圍;

    3.與向量或圓錐曲線等結(jié)合的問(wèn)題.

    處理直線與圓的位置關(guān)系問(wèn)題的步驟:

    1.由位置關(guān)系找出相關(guān)量的等式或不等式;

    2.利用圓的幾何性質(zhì)簡(jiǎn)化運(yùn)算;

    3.運(yùn)用所熟悉的知識(shí)(如二次函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、基本不等式、三角函數(shù)性質(zhì)等)和數(shù)學(xué)思想方法求解.

    小試牛刀

    1.(2019年天津卷理科第12 題)設(shè)a∈R,直線ax-y+2=0和圓為參數(shù))相切,則a的值為_(kāi)___.

    2.已知圓O:x2+y2=r2(r>0),若直線l:x+y-2=0 與圓O交于A,B兩點(diǎn),,求r的值.

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