立體幾何

一、填空題

1.兩個圓錐有等長的母線，它們的側(cè)面展開圖恰好拼成一個圓，若它們的側(cè)面積之比為1：2，則它們的體積比是________.

2.已知L，m，n是空間中的三條直線，給出下列四個命題：①若L∥m，L∥n，則m∥n；②若L⊥m，L⊥n，則m∥n；③若點A，B不在直線L上，且到L的距離相等，則直線AB∥L；④若三條直線L，m，n兩兩相交，則直線L，m，n共面.其中正確命題的序號為__________.（填寫所有正確命題的序號）

3.（2017年全國卷Ⅱ）長方體的長，寬，高分別為3，2，1，其頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為________.

5.（2019年長治二中月考）在正方體中，下列說法正確的是________（填序號）.

①直線AC1在平面CC1B1B內(nèi)；

②設(shè)正方形ABCD與A1B1C1D1的中心分別為O，O1，則平面AA1C1C與平面BB1D1D的交線為OO1；

③由A，C1，B1確定的平面是ADC1B1；

④由A，C1，B1確定的平面與由A，C1，D確定的平面是同一個平面.

6.若將一個真命題中的“平面”換成“直線”、“直線”換成“平面”后仍是真命題，則該命題稱為“可換命題”.下列四個命題，其中所有“可換命題”的序號是________.

①垂直于同一平面的兩直線平行；②垂直于同一平面的兩平面平行；③平行于同一直線的兩直線平行；④平行于同一直線的兩平面平行.

7.將邊長為1的正方形ABCD沿對角線AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，在折起后形成的三棱錐中，給出下列三個命題：

①△DBC是等邊三角形；

②AC⊥BD；

其中，真命題的序號是________.

8.從一個半徑為1的圓形鐵片中剪出圓心角為x弧度的一個扇形，并將其卷成一個圓錐（不考慮連接用料），若圓錐的容積達(dá)到最大時，則x的值是________.

9.（2019年全國卷Ⅲ）學(xué)生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術(shù)制作模型，如圖，該模型為長方體，挖去四棱錐后所得的幾何體，其中O為長方體的中心，E，F(xiàn)，G，H，分別為所在棱的中點，AB=BC=6cm，AA1=4cm，3D打印所用原料密度為0.9g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為 g.

（第9題）

二、解答題

（第11題）

（1）求證：AB⊥平面PBC；

（2）在棱PB上是否存在點M，使得CM∥平面PAD？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

12.如圖，平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，PE∥CB，M是AE的中點.

（1）若N是PA的中點，求證：平面CMN⊥平面PAC；

（2）若MN∥平面ABC，求證：N是PA的中點.

（第12題）

（第13題）

（1）求證：MQ∥平面PAB；

（2）若AN⊥PC，垂足為N，求證：PD⊥平面AMN.

14.（2020年蘇州中學(xué)模擬）如圖，四棱柱的底面ABCD是正方形，O為底面中心，A1O⊥平面ABCD，，AA1=2.

（第14題）

（1）證明：平面A1BD∥平面CD1B1；