基于經(jīng)驗 促進理解
——兼評兩則《小數(shù)的意義》教學(xué)設(shè)計

周衛(wèi)東（特級教師）

理解實質(zhì)上就是一個學(xué)習(xí)者以信息的傳輸、編碼為基礎(chǔ)，根據(jù)已有的信息建構(gòu)內(nèi)部心理表征，并進而獲得心理意義的過程。與一般的“理解”相比，數(shù)學(xué)理解具有典型的學(xué)科韻味。首先，理解的對象是數(shù)學(xué)的概念及其關(guān)系,理解意味著對數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延的準確把握，對概念之間相互關(guān)系的清晰認識。其次，數(shù)學(xué)理解是過程與結(jié)果的統(tǒng)一。從過程方面看，數(shù)學(xué)理解是學(xué)生與數(shù)學(xué)知識溝通對話，相互融合，不斷生成新的認知結(jié)構(gòu)的過程。從結(jié)果方面看，數(shù)學(xué)理解則可以看成是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種“獲得”，是外在的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)在個體心理上的投射。

基于如上分析，闞尚錦老師設(shè)計的《讓新知在經(jīng)驗中生長》（簡稱設(shè)計一）與方芳老師設(shè)計的《建立概念表象 讓思維看得見》（簡稱設(shè)計二），都能基于經(jīng)驗、促進理解，在提升學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)方面均有著許多值得廣大同行學(xué)習(xí)與借鑒的地方。

一、突出原理，讓學(xué)生明晰“理解什么”

數(shù)學(xué)教學(xué)教什么？毋庸置疑，擺在第一位的一定是教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)和內(nèi)涵。

小數(shù)的意義是什么？追根溯源，小數(shù)并不是由分數(shù)改寫而產(chǎn)生的，而是自然數(shù)的十進位值計數(shù)規(guī)則加以擴展的結(jié)果，它是以10 的N 次冪為分母的另外一種表示形式，是十進制計數(shù)向相反方向衍生的結(jié)果，其本質(zhì)就是十進制分數(shù)的另一種表現(xiàn)形式。小數(shù)和整數(shù)在形式上是統(tǒng)一的，小數(shù)的出現(xiàn)也使十進制計數(shù)法從整數(shù)擴展到分數(shù)，數(shù)的內(nèi)涵更加豐富了。數(shù)的形式改變了，但其中不變的是相鄰兩個計數(shù)單位之間的進率還是10。

借助生活。兩則教學(xué)設(shè)計深明此理，并有著不同的教學(xué)表達。設(shè)計一以生活中常見的測量身高現(xiàn)象為載體構(gòu)成情境串展開。第一個情境圍繞“小軍的身高是1．4米”，讓學(xué)生思考“這里的1 和4分別表示什么”，使其明白，這里的“4”是4 格，表示把1 米平均分成10 份，取了其中的4 份，表示0．4 米；接著以此為基點逐漸建立起一位小數(shù)的基本含義，即“一位小數(shù)表示十分之幾”。第二個情境圍繞“半個學(xué)期后，小軍再一次量了身高，身高到了1．4～1．5 米之間，你能想出辦法知道他現(xiàn)在的身高嗎”展開。引導(dǎo)學(xué)生進一步理解，可以把1．4～1．5 之間繼續(xù)平均分成10 份，現(xiàn)在高出的3 小格，每一小格是0．01 米，即他現(xiàn)在的身高就是1．43 米，并在大量素材的比較中建立起兩位小數(shù)的意義，即“兩位小數(shù)表示百分之幾”；然后，以大問題“你覺得還有幾位小數(shù)？請你任選一個兩位以上的小數(shù)，利用表格或紙片進行研究”驅(qū)動，把學(xué)生帶到一個更大的空間之中，任學(xué)生的思維自由馳騁，在自我感悟、全班共研的環(huán)境中形成對更多位小數(shù)意義的理解。

關(guān)注創(chuàng)造。設(shè)計二的教學(xué)可謂獨樹一幟，別有洞天。精心創(chuàng)設(shè)了讓學(xué)生畫“0．46”的大問題，帶領(lǐng)學(xué)生的思維一次又一次處于“悱憤”之中。對于畫0．46，大多數(shù)學(xué)生都會想到要涂出比4 格多一點，多多少呢？在深度卷入中學(xué)生逐漸明白，可以將第5 格再平均分成10 份，涂其中的6 份。進而引思：同一幅圖中出現(xiàn)了兩個計數(shù)單位，怎么才能統(tǒng)一計數(shù)單位呢？從而畫出了更為精確的網(wǎng)格圖，將正方形平均分成了100 份，這樣，計數(shù)單位悄悄變化，凸顯了相鄰十進制計數(shù)單位之間的關(guān)系，進而引出兩位小數(shù)的意義。學(xué)生在理解一位小數(shù)意義的基礎(chǔ)上進行已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗的正向遷移，通過一系列的追問，促使學(xué)生將已有十進制知識進行再創(chuàng)造，經(jīng)歷“做”數(shù)學(xué)的過程，建構(gòu)出兩位小數(shù)對應(yīng)的概念表征，理解了兩位小數(shù)的意義。

二、經(jīng)歷過程，讓學(xué)生卷入“怎么理解”

讓學(xué)生自己建構(gòu)數(shù)學(xué)既是教學(xué)的目標，也是理解數(shù)學(xué)的方式。發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，重要的是讓學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)的過程，讓學(xué)生自己建構(gòu)數(shù)學(xué)知識。

強化“變式”。在設(shè)計一中，學(xué)生初步理解了一位小數(shù)的意義后，讓學(xué)生用正方形的紙片，通過折一折、畫一畫等方法表示0.3。在理解了一位小數(shù)的意義后，又讓學(xué)生拿出剛剛的那張正方形紙片，在原作品上表示想研究的一個兩位小數(shù)。并對學(xué)生作品進行逐一評析，讓其明白，無論畫的是一維的線段還是二維的平面圖形，只要把它們平均分成10 份、100 份，其中的幾份都可以用小數(shù)來表示，促進其進一步加深對小數(shù)意義的理解。在設(shè)計二中也有同樣的過程。

豐富“表征”。每一個抽象的數(shù)學(xué)概念，都可以有不同的數(shù)學(xué)表征。不同表征之間的“互譯”，可以豐富學(xué)生對概念內(nèi)涵的把握和洞察。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)鼓勵學(xué)生用自己有意義的形式表征他們的數(shù)學(xué)觀點，在不同的表征方式之間形成豐富的聯(lián)系，有利于形成豐富的概念意象，促進對數(shù)學(xué)知識的深入理解。比如，設(shè)計一的練習(xí)階段，讓學(xué)生在線段、長方形和長方體三種圖形中任選一種來表示0.7、0.23 和0.575，從而使其明白：數(shù)學(xué)知識內(nèi)部的發(fā)展是有規(guī)律可循的，盡管每一種圖都可以表示多位小數(shù)，但是平均分成10 份、100 份、1000 份，分別對應(yīng)一維的線段圖、二維的平面圖和三維的方體圖會顯得更方便些。設(shè)計二讓學(xué)生在方格紙上畫出“0.46”，也體現(xiàn)出同樣的特點，在第5 份中怎么再平均分成10 份呢，有學(xué)生橫著分，也有學(xué)生豎著分，教師引導(dǎo)學(xué)生對兩種表征方式進行對比，在肯定都有道理的前提下，引導(dǎo)學(xué)生感覺到，橫著分的優(yōu)勢更明顯：既美觀又明晰，還能更方便把整個正方形平均分成100 份。

三、多重聯(lián)系，讓學(xué)生實現(xiàn)“理解深刻”

哈佛大學(xué)威金斯教授等人認為，理解不是單方面的成就，而是多方面的，可以通過不同類型的證據(jù)表現(xiàn)出來?！罢嬲睦斫狻笨梢栽诹鶄€方面得以體現(xiàn)，即能結(jié)構(gòu)、能解釋、能應(yīng)用、能洞察、能深入、能自知。理解的六個維度表現(xiàn)為評價學(xué)生的數(shù)學(xué)理解提供了多元的指標，同時也啟示我們：數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要關(guān)注知識的客觀性標準，也要關(guān)注學(xué)生在理解數(shù)學(xué)時的個性化活動。

納入結(jié)構(gòu)。一般情況下，學(xué)習(xí)過程只能按時間順序先后安排，但理解卻并不是直線式的簡單累積；相反，它是螺旋式地發(fā)展、結(jié)構(gòu)式地建造出來的。對于數(shù)學(xué)來說，無論是一個概念的形成，還是整體認知結(jié)構(gòu)的產(chǎn)生，都需要經(jīng)歷一個建構(gòu)的過程。因此，理解不僅僅是把新知識與先前的已有知識產(chǎn)生聯(lián)系，而是創(chuàng)建了一個豐富的、整合的知識結(jié)構(gòu)。兩則設(shè)計都能關(guān)注知識內(nèi)部聯(lián)系的建立。比如設(shè)計一出示了三幅圖，讓學(xué)生填空并思考“它們之間有什么聯(lián)系”；而設(shè)計二則通過同一個正方體，依次平均分成10 份、100份、1000 份后所得到一份量，感受不同計數(shù)單位1、0.1、0.01、0.001，進一步讓學(xué)生感受一位小數(shù)、兩位小數(shù)與三位小數(shù)的研究模型及其計數(shù)單位之間的關(guān)系。

促進闡釋。面對不同的問題人們通常會采取不同的思維方式?；谡鎸嵢蝿?wù)的問題解決將學(xué)校學(xué)習(xí)視為“現(xiàn)實世界中創(chuàng)造性社會實踐中完整的一部分”，對促進學(xué)生的數(shù)學(xué)理解具有重要的作用。真實任務(wù)為學(xué)生提供了一個有意義學(xué)習(xí)并促進知識向日常生活轉(zhuǎn)化的實踐場。在這一實踐場中，知識、思維和學(xué)習(xí)的情境是互相緊密聯(lián)系的，學(xué)生的信念、經(jīng)驗和背景構(gòu)成了解決問題的概念工具。在設(shè)計一中，精心設(shè)計了“上四年級的小馬在學(xué)校參加了體檢”這一現(xiàn)實問題，讓學(xué)生在有趣富有開放性的問題中，運用已經(jīng)理解的小數(shù)意義進行解釋和應(yīng)用，同時也有效地建立了數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系。在設(shè)計二中，則圍繞“有了分數(shù)為什么還要學(xué)習(xí)小數(shù)呢”這一思辨性很強的問題進行研究，并讓學(xué)生用分數(shù)與小數(shù)兩種方法表示結(jié)果，從而感受到用小數(shù)計算比用分數(shù)計算更加快捷與簡單，體現(xiàn)學(xué)習(xí)小數(shù)的價值。