勿讓優(yōu)化變成窄化
——以《替換的策略》教學(xué)為例

戴 俊

課堂教學(xué)中，在對解題方法多樣化探索的基礎(chǔ)上進(jìn)行思路優(yōu)化，是激活、打開、凝練學(xué)生思維的既定路徑，這種優(yōu)化不應(yīng)以是否簡便、是否易于學(xué)生掌握等作為對思路取舍的唯一標(biāo)準(zhǔn)。以《替換的策略》一課教學(xué)為例，優(yōu)化的過程中應(yīng)尊重和鼓勵學(xué)生的創(chuàng)新思維，著重發(fā)現(xiàn)每一種方法背后的數(shù)學(xué)思維，暢通學(xué)生的思路，嚴(yán)密學(xué)生的思維邏輯性，這樣的教學(xué)才更加深刻、更加高遠(yuǎn)、更加指向人的發(fā)展。

一、緣起：課堂總結(jié)后的嘀咕

《替換的策略》是蘇教版六年級的內(nèi)容，這部分內(nèi)容主要包含倍數(shù)關(guān)系和相差關(guān)系的兩類替換。對于倍數(shù)關(guān)系的替換，教學(xué)預(yù)設(shè)往往是：通過替換將兩種量轉(zhuǎn)化成一種量后，總和不變。那實際情況果真如此嗎？

在一次公開課教學(xué)中，對于例題“把720 毫升果汁倒入6 個小杯和1 個大杯，正好都倒?jié)M。小杯的容量是大杯的。大杯、小杯的容量各是多少毫升？”教師引導(dǎo)學(xué)生用兩種方法進(jìn)行解決：一種思路是將大杯換成小杯，即“6小杯和1 大杯，共720 毫升”替換成“6 小杯和3 小杯，共9 小杯是720 毫升”；另一種思路是將小杯換成大杯，即替換成“2 大杯和1大杯，共3 大杯是720 毫升”?！斑@兩種方法有什么相同的地方？”教師進(jìn)行總結(jié)：“只要把兩種量替換成一種量，替換以后的和還是720 毫升，它們的和是不變的?！?/p>

課至此處，這位教師帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷了替換的過程，學(xué)生也對兩個量是倍數(shù)關(guān)系替換的方法有了充分的體驗，課堂總結(jié)出替換后和不變這一規(guī)律看似非常必然和順暢。

但就在此時，卻有一位學(xué)生在下面嘀咕著表示異議：“老師，我覺得不一定，如果將兩邊都乘3，就變成了9 大杯等于2160 毫升，這也是將兩種量替換成一種量，但是和卻發(fā)生了變化?！?/p>

這位學(xué)生的觀點讓大家感到很詫異，在隨后教師引導(dǎo)學(xué)生比較哪種方法更容易掌握的“優(yōu)化”過程中，這位學(xué)生提出的兩邊同時擴(kuò)大的方法也被“替代”了，后來再也沒有被用到或提起。

二、厘清：替換的形式并不唯一

課已了，思未散。課堂中那位學(xué)生的嘀咕沒有隨著課堂的結(jié)束而終止, 一直在聽課教師的耳邊縈繞。

1．兩邊乘相同的數(shù)不是替換嗎？

從上面我們可以更清楚地看出，等式左邊6 小杯乘3，轉(zhuǎn)化成了6 大杯，等式左邊的1 大杯乘3，轉(zhuǎn)化成了3 大杯，相加得到共有9 大杯；等式右邊720 毫升乘3 得到了2160 毫升。根據(jù)“9 大杯＝2160 毫升”，就可以得出大杯和小杯的容量各是多少毫升。

進(jìn)一步分析我們可以得出：如果存在x=n×y 這一等量關(guān)系，對于x＋y=a,我們常用的方法是在等式值不變的情況下，將x 用n×y 替換，原來式子就轉(zhuǎn)化成了n×y＋y=a,即（n＋1）×y=a，得出y=a÷（n＋1）。

另外一種方法，只要將y 乘n 替換成x,原來的式子就轉(zhuǎn)化成了（x＋y）×n=a×n,得到x×n＋y×n=a×n，即x×n＋x=a×n，得出x=a×n÷（n＋1）。

學(xué)生的觀點無疑是正確的。只不過，這種兩邊同時擴(kuò)大的方法，卻使和發(fā)生了變化。

2． 為何教師更傾向于教學(xué)“和不變”的替換？

在“6 小杯+1 大杯＝720 毫升”這個關(guān)系式中，存在著小杯、大杯和總和三種量。第一種方法，即替換后和不變的思路中，只要將其中的6 小杯換成2 大杯，或者將1 大杯換成3 小杯，另外的兩種量無需進(jìn)行變換。

用第二種方法解決這個問題，需要根據(jù)“等式的性質(zhì)”，將等式的兩邊同時乘3，“6 小杯、1 大杯、720 毫升”這幾個量都要進(jìn)行變換。同時，對于“6 小杯×3”的結(jié)果，不等于18 小杯，而是轉(zhuǎn)換成了6 大杯，對于學(xué)生來說，這也是很大的思維跳躍。對于解題正確率的追求，無形之中增加了執(zhí)教者對學(xué)生使用這種方法的憂慮。

于是乎，在只替換一部分與需要轉(zhuǎn)化三個量，在部分替換與整體轉(zhuǎn)換的較量、權(quán)衡中，我們往往偏向于第一種方法的教學(xué)，第二種方法被忽略甚至是被回避，被第一種方法“替換”的現(xiàn)象也就不足為奇了。

三、重建：在知識脈絡(luò)的前沿后續(xù)之上展開

華羅庚說過：“新的數(shù)學(xué)方法和概念，常常比解決數(shù)學(xué)問題本身更重要?！碑?dāng)我們站在學(xué)科知識發(fā)生、發(fā)現(xiàn)、發(fā)展的軌跡上來看替換的教學(xué)，第二種方法絕不可以用不簡便、不常用來搪塞學(xué)生。

首先，在五年級的教學(xué)中，對于“等式兩邊同時乘一個相同的非零數(shù)，等式依然成立”這一等式的性質(zhì)，學(xué)生在相關(guān)的問題解決中萌生出了一定的應(yīng)用意識和能力。當(dāng)出現(xiàn)“6 小杯＋1 大杯=720毫升”，用兩邊同時乘進(jìn)行轉(zhuǎn)換這一方法必然會出現(xiàn)在學(xué)生數(shù)學(xué)思維的菜單中，這絕不是偶然迸發(fā)出的一道火花，而是其思維發(fā)展的一種可能。其次，在學(xué)生的后繼學(xué)習(xí)中將接觸到方程組，利用等式的性質(zhì)進(jìn)行消元將成為解決此類問題的基本方法。這種方法在六年級學(xué)生中出現(xiàn)，雖然“意料之外”，但亦是“情理之中”，教師應(yīng)有“這可能又是一個良好的教學(xué)契機(jī)”的資源意識，要對“意外”進(jìn)行靈活利用，即時開發(fā)，要提供學(xué)生展示屬于自己思維方式和解題策略的機(jī)會，提供給學(xué)生解釋和評價自己思維結(jié)果的時空。作為教師，不應(yīng)漠視學(xué)生思維發(fā)展的這顆種子，甚至以優(yōu)化的名義帶領(lǐng)學(xué)生將其摒棄，這樣將窄化學(xué)生的思維與思想。正如盧梭所說：“兒童是有他特有的看法、想法和感情的。如果用成人的看法、想法和感情去代替他們的看法、想法和感情，那簡直是最愚蠢的事情?！?/p>

教師不應(yīng)在課堂中借優(yōu)化的名義而將方法唯一化甚至是絕對化。課堂不應(yīng)是解決數(shù)學(xué)問題的“獨唱”，而應(yīng)是面向?qū)W生適應(yīng)其終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的關(guān)鍵能力和必備品格的“交響”。這必然考量到教師對兒童觀、教學(xué)觀、課堂觀、發(fā)展觀等本質(zhì)問題的理解程度。蘇霍姆林斯基說：“學(xué)生的注意力就像一只極易受驚的小鳥，當(dāng)你走近時，它馬上會飛走；當(dāng)你抓住它并把它關(guān)起來時，以后就別想再聽到優(yōu)美的歌喉?！弊鹬貙W(xué)生的每一次嘗試，激活學(xué)生的每一次探索，傾聽學(xué)生的每一次實踐……教師與學(xué)生同在一個“教學(xué)場”中，教師就有可能真正聽到學(xué)生那優(yōu)美的“歌唱”，師生也有可能會實現(xiàn)真正的“同頻共長”，這才是課程優(yōu)化、教法優(yōu)化、思維優(yōu)化、素養(yǎng)優(yōu)化……趨近的結(jié)果。