淺談線段與角的類比

摘 要：類比不僅是一種從特殊到一般的推理方法，也是一種探索解題思路、猜測問題答案或結(jié)論的有效方法。文章探究了關(guān)于線段和角的知識在應(yīng)用（或方法）上的類比，通過類比，幫助學(xué)生更清晰地認(rèn)識兩個相似體系間的內(nèi)在聯(lián)系，降低問題的解決難度，構(gòu)建系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu)，優(yōu)化知識網(wǎng)絡(luò)，提高學(xué)生的遷移能力，逐漸形成發(fā)散思維能力和創(chuàng)新意識。

關(guān)鍵詞：類比;線段;角;數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

類比的思想方法是最通俗易懂且最便于應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想方法之一，開普勒曾經(jīng)說過“我珍惜類比勝于任何別的東西，它是我最可依賴的老師，它能揭示自然界的秘密，在數(shù)學(xué)中是最不可忽視的”。探討類比思想方法對教學(xué)與教研都具有很高的價值，從而引起許多學(xué)者對類比思想方法的研究熱情。

在文獻(xiàn)中，劉建英從線段與角在定義、畫法、平分以及線段與角的計數(shù)等方面進(jìn)行了類比;2015年，仇日鋒在文獻(xiàn)中說明了數(shù)學(xué)思想在解決線段和角問題過程中的重要作用。同年11月，趙國瑞在文獻(xiàn)中將線段和角進(jìn)行了類比推理與計算。2016年6月，陳偉華在文獻(xiàn)中以“線段與角”復(fù)習(xí)課為例，從類比的角度來關(guān)注、辨析線段與角的復(fù)習(xí)課，取得了良好的教學(xué)效果。2016年7月，在文獻(xiàn)中，祁紅平從分類討論、計數(shù)、特殊位置、線線相交、運動等五個方面將線段與角進(jìn)行了類比。

一、 線段與角的類比

（一）線段和角的計數(shù)

線段：觀察圖形：一條直線上有n個點，則這條直線上共有n（n-1）2條線段。

角：觀察圖形：如圖所示，若從點O出發(fā)的n條射線，此時平面內(nèi)共有n（n-1）2個角。

（二）有圖情況下的線段與角的和差問題

線段：已知，如圖，點A，B，C在一條直線上，線段AB=60，BC=40，則線段AC=AB+BC=100。

角：已知，如圖，∠AOB=60°，∠BOC=40°，則∠AOC=∠AOB+∠BOC=100°。

（三）分類討論情況下，線段與角的和差問題

線段：已知，點A，B，C在一條直線上，線段AB=60，BC=40，則線段AC=20或100。

角：已知，∠AOB=60°，∠BOC=40°，則∠AOC=20°或100°。

二、 雙中點，雙角平分線問題

線段：已知，點A，B，C在一條直線上（A在B左側(cè)），M是AC中點，N是BC中點。

（1）若線段AB=60，BC=40，求線段MN的長。

（2）若線段AB=a，BC=b（b

解：（1）∵M(jìn)，N分別是AC，BC中點

∴MC=12AC，NC=12BC

①當(dāng)點C在點B左側(cè)時，如圖：

MN=MC+NC=12AC+12BC=12（AC+BC）=12AB

②當(dāng)點C在點B右側(cè)時，如圖：

MN=MC-NC=12AC-12BC=12（AC-BC）=12AB

綜上所述，MN=12AB

當(dāng)AB=60時，MN=12AB=30。

（2）由（1）知分兩種情況進(jìn)行討論，類似的可以得到結(jié)論MN=12AB=12a。

角：已知，平面內(nèi)，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC。

（1）若∠AOB=60°，∠BOC=40°，求∠MON的度數(shù);

（2）若∠AOB=α，∠BOC=β，（其中α+β<180°，α>β），求∠MON的度數(shù)。（用含α，β的代數(shù)式表示）

解：（1）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC

∴∠MOC=12∠AOC，∠NOC=12∠BOC

①當(dāng)OC與OA在OB同側(cè)時，如圖：

∴∠MON=∠MOC+∠NOC=12∠AOC+12∠BOC=12（∠AOC+∠BOC）=12∠AOB

②當(dāng)OC與OA在OB異側(cè)時，如圖：

∴∠MON=∠MOC-∠NOC=12∠AOC-12∠BOC=12（∠AOC-∠BOC）=12∠AOB

綜上所述，∠MON=12∠AOB

當(dāng)∠AOB=60°時，∠MON=12∠AOB=30°。

（2）由（1）知分兩種情況進(jìn)行討論，類似的可以得到結(jié)論∠MON=12∠AOB=12α。

由此，我們得到一個結(jié)論：

線段：若點A，B，C在一條直線上，M是AC中點，N是BC中點，則MN=12AB。

角：若平面內(nèi)，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，則∠MON=12∠AOB。（最大角不超過180°）

有了這個結(jié)論，有些題做起來非常方便：

線段：點B是線段AC上一點，點M是線段AB的中點，點N是線段AC的中點，點P是線段AN的中點，點Q是線段AM的中點，

則MN∶PQ∶BC=??? 。

分析：因為點M是線段AB的中點，點N是線段AC的中點，所以MN=12BC;因為點P是線段AN的中點，點Q是線段AM的中點，所以PQ=12MN=14BC;所以MN∶PQ∶BC=12BC∶14BC∶BC=2∶1∶4。

角也有類似結(jié)論。

三、 結(jié)論推廣

如圖，C是線段AB上一點，D為線段BC上一點，CD=（n-1）BD，E為線段AC上一點，CE=（n-1）AE。若AB=a，求DE的長。（用含a的代數(shù)式表示）

解：分析得到DE=EC+DC=n-1nAC+n-1nBC=n-1n（AC+BC）=n-1nAB=n-1na

如圖，C是線段AB延長線上一點，D為線段BC上一點，CD=（n-1）BD，E為線段AC上一點，CE=（n-1）AE。若AB=a，求DE的長。（用含a的代數(shù)式表示）。

解：由分析得到

DE=EC-DC=n-1nAC-n-1nBC=n-1n（AC-BC）=n-1nAB=n-1na

角也有類似結(jié)論。

四、 結(jié)論與展望

文章首先對線段與角的概念、計數(shù)以及計算問題等幾方面進(jìn)行了類比總結(jié)，在“雙中點”“雙角平分線”的基礎(chǔ)之上提出了一個更為普遍的結(jié)論，為今后在解題過程中總結(jié)經(jīng)驗與結(jié)論提供了較好的基石。今后在學(xué)習(xí)過程中要學(xué)會觸類旁通，舉一反三，拓寬知識面。

《國家十二五中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要》規(guī)定：我國教育改革應(yīng)加強對人的全面發(fā)展的重視，培養(yǎng)更多社會需要的實用型和復(fù)合型人才，這才是衡量國家教育質(zhì)量水平的重要依據(jù)。因此，努力提高學(xué)生的思維能力和科學(xué)文化素養(yǎng)至關(guān)重要，我們在日常教學(xué)中要自然滲透類比推理的思想方法，幫助提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，幫助學(xué)生的創(chuàng)造力在一次次的類比成功中得到升華。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉建英.線段與角的相近性[J].數(shù)學(xué)大世界：名師導(dǎo)學(xué)，2013（11）：8-9.

[2]趙國瑞.用類比的方法學(xué)習(xí)線段與角[J].數(shù)學(xué)：初中生輔導(dǎo)，2015（3）：44-48.

[3]仇日鋒.線段與角相關(guān)問題中的數(shù)學(xué)思想應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)參考，2015（239）：36-37.

[4]祁紅平.線與角的類比[J].初中生數(shù)學(xué)，2016（7）：2-3.

[5]中華人民共和國教育部.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

作者簡介：張芳，四川省成都市，成都外國語學(xué)校。