在動(dòng)態(tài)思維的培養(yǎng)中提升學(xué)生的分類(lèi)能力

王帥兵

【摘要】

動(dòng)態(tài)問(wèn)題作為初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)有效載體，考查的是學(xué)生的化歸、分類(lèi)等數(shù)學(xué)思想，很多壓軸題也以此為基礎(chǔ)來(lái)設(shè)計(jì)，以動(dòng)態(tài)思維來(lái)研究、解題，它已成為初中數(shù)學(xué)教與學(xué)中不可或缺的組成部分.

【關(guān)鍵詞】動(dòng)態(tài)思維;函數(shù);分類(lèi)能力

動(dòng)態(tài)思維，是指在解題過(guò)程中，能夠根據(jù)題目不斷變化的條件場(chǎng)景，調(diào)動(dòng)對(duì)應(yīng)知識(shí)，動(dòng)態(tài)地研究問(wèn)題、解決問(wèn)題的一種思維活動(dòng)過(guò)程，它最突出的特性是變化、建構(gòu)和創(chuàng)造生成，里面包含了一個(gè)從讀題、分析到選擇、建構(gòu)創(chuàng)造的完整思考過(guò)程.

一、數(shù)軸：動(dòng)態(tài)思維啟蒙

數(shù)軸由點(diǎn)組成，本身就具有動(dòng)態(tài)特性，不管是點(diǎn)還是線，在由數(shù)軸生成的背景范圍里，數(shù)學(xué)研究的內(nèi)容就已經(jīng)動(dòng)起來(lái)了，學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)就必須調(diào)動(dòng)思維，在分類(lèi)創(chuàng)造中解決問(wèn)題.

（1）數(shù)軸上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)

數(shù)軸在本質(zhì)上是一條直線，構(gòu)成這條直線的點(diǎn)對(duì)應(yīng)著我們數(shù)學(xué)中的每一個(gè)數(shù)，其無(wú)限延伸的特點(diǎn)，給了數(shù)無(wú)限的活動(dòng)空間.點(diǎn)在直線上左右移動(dòng)產(chǎn)生的距離，不僅表現(xiàn)著數(shù)軸的幾何特征，也把思維動(dòng)起來(lái).

如圖1，一個(gè)機(jī)器人從數(shù)軸上A點(diǎn)出發(fā)，先向左運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，再向右運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，最后向左運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，在整體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，這個(gè)機(jī)器人總的運(yùn)動(dòng)路程是多少？

在這里考的就是動(dòng)態(tài)思維，思維要隨著機(jī)器人移動(dòng)、分段以解決問(wèn)題.由A點(diǎn)（對(duì)應(yīng)數(shù)為1）到B點(diǎn)（對(duì)應(yīng)數(shù)為-2）是一段，距離為1-（-2）=3;由B點(diǎn)（對(duì)應(yīng)數(shù)為-2）到C點(diǎn)（對(duì)應(yīng)數(shù)為4）是一段，距離為4-（-2）=6;由C點(diǎn)（對(duì)應(yīng)數(shù)為4）到D點(diǎn)（對(duì)應(yīng)數(shù)為-5）是一段，距離為4-（-5）=9.這個(gè)機(jī)器人總的運(yùn)動(dòng)路程是3+6+9=18.

類(lèi)似的題目還有：如圖1，一個(gè)機(jī)器人從數(shù)軸上A點(diǎn)出發(fā)，先向左移動(dòng)3個(gè)單位，再向右移動(dòng)4個(gè)單位，再向左移動(dòng)5個(gè)單位，再向右移動(dòng)6個(gè)單位……再向右移動(dòng)2020個(gè)單位，最后這個(gè)機(jī)器人所在點(diǎn)表示的數(shù)是幾？這個(gè)機(jī)器人走過(guò)的路程是多少？

在這里，要解決問(wèn)題，首先要跟隨這個(gè)機(jī)器人動(dòng)態(tài)地研究問(wèn)題、分析問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)移動(dòng)規(guī)律：每?jī)纱螐乃谖恢孟蛴乙苿?dòng)1個(gè)單位，分組計(jì)算后問(wèn)題得到解決.

（2）數(shù)軸上的動(dòng)態(tài)思維與分類(lèi)

點(diǎn)的移動(dòng)帶來(lái)的是位置的變化，位置的變化造就距離的產(chǎn)生，這個(gè)距離在數(shù)軸上指的是兩點(diǎn)之間的距離，往往用絕對(duì)值來(lái)表示.如圖2所示，我們可以直接求出A，B兩點(diǎn)之間的距離，因?yàn)榫嚯x非負(fù)，所以我們用通用式子表示為〖JB（|〗a-b〖JB）|〗.

在動(dòng)態(tài)環(huán)境下，數(shù)軸上形成的兩定一動(dòng)問(wèn)題（或多定一動(dòng)問(wèn)題），就要在動(dòng)態(tài)思維下，采用分類(lèi)的方法來(lái)解決.這里舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子：求的最小值.表示的是表示數(shù)a與1的兩點(diǎn)之間的距離，表示的是表示數(shù)a與-3的兩點(diǎn)之間的距離，由此可見(jiàn)，題目要求的是表示數(shù)a的點(diǎn)到表示數(shù)1與數(shù)-3的點(diǎn)之間距離和的最小值，這是個(gè)兩定一動(dòng)問(wèn)題.我們不妨先把確定的數(shù)1與-3表示在數(shù)軸上，如圖3.

綜上，最小值為4.

初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)內(nèi)容多樣，極富變化，數(shù)軸既是入門(mén)的認(rèn)識(shí)課程，也是代數(shù)動(dòng)態(tài)和幾何動(dòng)態(tài)完美結(jié)合的基礎(chǔ).學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)要注重思維能力的培養(yǎng).它對(duì)發(fā)揮學(xué)生的思維潛力、創(chuàng)造性地解決問(wèn)題具有不可替代的作用.

二、動(dòng)態(tài)思維與函數(shù)

函數(shù)所研究的是變量之間的關(guān)系.在動(dòng)態(tài)場(chǎng)景里，不管是一次函數(shù)，還是反比例函數(shù)或二次函數(shù)，我們都會(huì)把其放在平面直角坐標(biāo)系中，用數(shù)形結(jié)合的動(dòng)態(tài)思維來(lái)研究點(diǎn)動(dòng)規(guī)律，以及所形成的函數(shù)特征和圖形特征.這里以一次函數(shù)和二次函數(shù)為例.

（1）一次函數(shù)中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題列舉

一次函數(shù)的圖像是一條直線，其與坐標(biāo)軸會(huì)形成一個(gè)直角三角形（這里不考慮正比例函數(shù)），利用這個(gè)三角形，我們可以考查面積問(wèn)題、存在問(wèn)題、相似問(wèn)題等多種綜合性問(wèn)題.

例1

如圖4，點(diǎn)A坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，2），在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使S△ABP=4？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析：點(diǎn)P是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，依據(jù)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡，可以分為3個(gè)位置：y軸正半軸、原點(diǎn)和y軸負(fù)半軸，然后畫(huà)出草圖即可求解.

①當(dāng)點(diǎn)P在y軸正半軸上時(shí)，為圖5中P1位置，此時(shí)，以AO為高、BP為底，可以求出BP=4，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，6）;

②當(dāng)點(diǎn)P在原點(diǎn)時(shí)，如圖6，S△ABP=2，不滿足題意;

③當(dāng)點(diǎn)P在y軸負(fù)半軸上時(shí)，為圖7中P3位置，此時(shí)，以AO為高、BP為底，可以求出BP=4，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-2）.

綜上，存在點(diǎn)P，使S△ABP=4，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，6）或（0，-2）.

例2

如圖8，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A，C均在坐標(biāo)軸上，且OA=4，OC=3.動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AO向終點(diǎn)O移動(dòng);點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)沿CB向終點(diǎn)B以同樣的速度移動(dòng)，當(dāng)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了x秒（0

（2）二次函數(shù)中的圖形存在

在二次函數(shù)存在性問(wèn)題中，我們要先研究好其背景圖形所包含的兩個(gè)基本特征：幾何特

征（什么圖形，特殊角等）和代數(shù)特征（表達(dá)式，點(diǎn)的坐標(biāo)等）.要依據(jù)點(diǎn)移動(dòng)的軌跡，調(diào)動(dòng)動(dòng)態(tài)思維來(lái)分析、解決問(wèn)題.

例3 如圖12，拋物線y=-x2+2x+3與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A，B，C，點(diǎn)D是y軸上一

點(diǎn)，坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)E是直線AD與拋物線的另一交點(diǎn).在拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使得S△AME=6？若存在，求出M點(diǎn)的坐標(biāo).

綜上，存在一點(diǎn)M，使得S△AME=6，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-2，-5）或（3，0）.

對(duì)于上面例題，問(wèn)題都涉及分類(lèi)，我們都要在動(dòng)態(tài)基礎(chǔ)上，結(jié)合問(wèn)題實(shí)際，進(jìn)行模型構(gòu)造、表示與解答.在這里，我們要利用好幾何特征來(lái)進(jìn)行分類(lèi)，并在與代數(shù)特征的相互轉(zhuǎn)化中，構(gòu)造方程求解.

三、結(jié)語(yǔ)

綜上，在數(shù)軸或坐標(biāo)系背景下的分類(lèi)問(wèn)題雖然比較復(fù)雜，但在動(dòng)態(tài)思維的引導(dǎo)下，我們著重分析問(wèn)題產(chǎn)生的實(shí)際背景和點(diǎn)動(dòng)規(guī)律，就很容易找到題目的突破口，建構(gòu)基本的數(shù)學(xué)模型，從而解決問(wèn)題.

【參考文獻(xiàn)】

[1]馬佑軍.數(shù)學(xué)解題中的動(dòng)態(tài)思維——解題思路的探求[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2018（18）：77-78.

[2]施丁也.培育“動(dòng)態(tài)思維”，讓學(xué)生思維自然流淌[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2019（22）：21-22.