數(shù)學實驗探究課“拼圖與配方”的教學設計

余登琴

【摘要】

數(shù)學實驗探究教學可以很好地提高學生的學習興趣，也可以更大限度地培養(yǎng)學生探究能力與創(chuàng)造能力.數(shù)學實驗過程讓學生從表象入微，幫助他們構建數(shù)學思維能力，使其創(chuàng)新能力得到發(fā)展.文章以“拼圖與配方”為例，對初中數(shù)學實驗探究課進行研究.

【關鍵詞】數(shù)學實驗;拼圖;配方

一、探究背景

本節(jié)課是蘇科版九年級上冊第1章《一元二次方程》第2節(jié)《一元二次方程解法》的第二課時《配方法解一元二次方程》的一個片段，是在講解配方法后的一個描述驗證說明，不是專門的一個課時.在考慮到對配方法描述驗證的合理性的基礎上，從書本的“數(shù)學實驗室”出發(fā)，從二次項系數(shù)為1的方程來進行拼圖描述驗證，拼圖過程直觀形象地描述了整個配方過程，并且通過拼圖直觀地解釋了“一次項系數(shù)的一半”，如果系數(shù)不為1呢，是僅僅轉化為系數(shù)為1，還是可以用同樣的拼圖方法來進行驗證.帶著這樣的問題，這一節(jié)課就應運而生了.

二、探究目標

1.運用拼圖的方法描述驗證解一元二次方程的配方法，幫助學生進一步理解配方法，感受數(shù)與形的聯(lián)系.

2.借助圖形的分割變化，發(fā)展幾何直觀，提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

三、探究重難點

借助拼圖驗證解一元二次方程配方法的過程，體會感受數(shù)形結合思想.

四、探究準備

若干長方形紙片，正方形紙片，剪刀，直尺.

五、探究課堂

（一）情景再現(xiàn)

（1）拼圖驗證完全平方公式因式分解.

（2）配方法：將一個式子（或一個式子的某一部分）通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和，這種方法稱之為配方法.

（3）解一元二次方程x2+2x-24=0（配方法）.

設計意圖：今天重點講解的是配方，而完全平方公式在七年級就講過，設計（1）是為了喚醒同學們對完全平方公式與圖形的對應關系，并給出配方法的定義和配方法解應用題，目的是讓學生理解和回憶配方法是什么，給今天所研究的內(nèi)容做鋪墊.

（二）課堂活動

活動一：你能用拼圖的方法來描述配方法這一過程嗎？

與你的組員進行討論，之后進行交流反饋.

設計意圖：（1）引導學生用圖形來描述式子，比如一元二次方程x2+2x-24=0可轉化為x（x+2）=24，引導學生把它看作是長為（x+2）、寬為x、面積為24的矩形，通過剪、拼、補，原來的圖形就變成了一個邊長為（x+1）、面積為25的大正方形，而整個圖形變形的過程就是配方過程的幾何化.

（2）引導學生描述補的正方形邊長是怎么得來的，與配方過程中一次項系數(shù)的一半有何聯(lián)系，讓學生在操作的過程中，經(jīng)歷觀察、猜想、探究，解釋并驗證了配方法解一元二次方程，特別是配方過程中方程左右兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方的合理性，讓學生進一步認識配方法解一元二次方程的合理性.

（3）在這一描述驗證過程中，總體上運用的方法是面積求法的不變性，即同一個圖形的面積不同的算法.

（4）這一設計采用了從特殊到一般的形式來展現(xiàn)問題，一方面有助于學生認清問題的實質(zhì)、明確解題的思路，另一方面學生從中也感受到了數(shù)與形的聯(lián)系，體會了數(shù)與形的和諧統(tǒng)一.

活動二：現(xiàn)有長為（x+2），寬為x，面積為24的矩形（x>0），如圖，你能利用四個這樣相同的矩形構造1個圖形，并利用你的拼圖直觀描述方程x2+2x-24=0的求解過程嗎？

設計意圖：（1）讓學生從面積著手，通過正方形面積的不同算法來得到一個等式，由此配成完全平方公式，進而可以解這一方程.

（2）這一拼圖過程跟活動一完全不一樣，可以讓學生體會不同的拼圖來描述x2+2x-24=0的配方以及求解過程，拓寬了學生的思維，提升了學生學習的空間.

活動三：你能用拼圖的方法來描述配方法解方程2x2+x-1=0這一過程嗎？與你的組員進行討論，之后進行交流反饋.

設計意圖：（1）活動三是二次項系數(shù)不為1的一元二次方程，如果不把二次項系數(shù)轉化為1，能不能用拼圖的過程來描述它的配方呢？提出這一問題后，學生躍躍欲試，想來一探究竟，學生的興趣和思維瞬間被調(diào)動起來了，學生也會類比前面的拼圖的方式來嘗試，這時可以放手讓學生自己去研究、探究、操作.

（2）在研究的過程中，學生會考慮到有兩個邊長為x的正方形，上一次操作中一個正方形需要2個小長方形，這里2個正方形就需要4個小長方形，自然而然就將長為 x、寬為1的長方形分成四個長為x的小長方形，分別去拼大正方形，于是補的小正方形的邊長就由此得來了.通過類比分析，學生的思維又進了一步，對原有的配方有了進一步認識，進一步理解了一次項系數(shù)的一半.

（3）在這個拼圖的過程中，學生進一步理解了配方的概念，最后化為一個完全平方式或幾個完全平方式，也即化為一個正方形或幾個正方形，進一步體會了用圖來描述配方.

（三）課堂小結

通過本課的學習，你對配方有哪些認識？與同伴進行交流.

設計意圖：梳理本節(jié)課的內(nèi)容和思想方法.

（四）附拼圖驗證過程

附1：x2+2x-24=0

六、探究反思

（1）拼圖驗證配方法很有必要.本節(jié)課是在一元二次方程的解法上完后，再回過去上的一節(jié)課，一開始學生可能會覺得已經(jīng)會解的方程為什么又要用拼圖來描述驗證一遍，覺得老師會有多此一舉的念頭.隨著拼圖的進行，學生又會有“原來如此”這樣的感慨，譬如原來一次項系數(shù)的一半是這樣的啊，配方過程就是變成正方形的過程等等，從學生的表現(xiàn)來說，這一節(jié)課還是很有必要的.

（2）培養(yǎng)數(shù)學的幾何直觀很有必要.數(shù)學的核心素養(yǎng)有六大塊，其中幾何直觀就是核心素養(yǎng)之一，也是此次新增的核心概念.《標準》指出“幾何直觀是指利用圖形描述分析問題，借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，可以幫助學生直觀地理解數(shù)學”.本課中就利用了幾何直觀將配方法形象地展現(xiàn)了出來，而且簡單易懂.教師通過數(shù)學實驗來培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力.數(shù)學理念是抽象性的，但它往往又以某種“直觀”的想法為背景.教師要做的就是通過實驗從抽象的理念中提煉出“直觀”的背景，幫助學生找到問題的本質(zhì).

（3）抓住課堂生成、拓展學生思維很有必要.本節(jié)課的教學中，在活動一中利用拼圖來理解x2+2x-24=0的配方，最后配成的正方形有不同的拼法：有一小組將長為x，寬為2的長方形分成了四個全等的小長方形分別放在邊長為x的正方形的四周，四個角上補上邊長為〖SX（〗1〖〗2的小正方形，同樣可以達到目的.這一點是出乎我意料的，不僅如此，這一種方法肯定也出乎同學們的意料，拓展了學生的思維，也拓展了老師們的思維，達到了教學相長.

（4）正視不足很有必要.本節(jié)課中雖然組織了三個活動，但是三個活動的難度并不是逐層推進的，在活動三中可能更多的是對活動一的一個應用和模仿，可能還沒有達到拓展的目的，評課老師們在評課中也提到了這一點，也給出了一些建議.

（5）開展數(shù)學實驗課堂教學很有必要.數(shù)學來源于實踐，其本身就充滿了唯物論和辯證法.學生可以從數(shù)學實驗中認識唯物論和辯證法.“感知—表象—抽象—反饋—再感知—豐富表象—發(fā)展思維—問題解決”是每次數(shù)學實驗中學生的思維必然經(jīng)歷的螺旋上升的階段.

因此，學生可以通過數(shù)學實驗來培養(yǎng)其唯物辯證觀.此外，學生通過數(shù)學實驗還可以培養(yǎng)其觀察能力、創(chuàng)造能力，使其養(yǎng)成嚴謹?shù)膶W習態(tài)度.數(shù)學實驗教學最重要的是要有足夠的時間空間，需要課堂的時間和課堂的空間能夠達到數(shù)學實驗教學的各要素的教學環(huán)境，否則實驗很難取得應有的效果.數(shù)學實驗是學生進行探究和發(fā)現(xiàn)的過程，因此，在數(shù)學實驗中給學生提供答案是不必的甚至是有害的.

學生在數(shù)學實驗中學習摸索，有助于其深入了解數(shù)學知識，準確把握問題主旨.同時，實驗教學可以拓寬學生思維，激發(fā)學生的創(chuàng)造力.

隨著教學理念的不斷創(chuàng)新，實驗素材庫不斷壯大，實驗技術不斷改進，數(shù)學實驗教學法將在數(shù)學教學理論中占據(jù)更大的地位.

總之，開展初中數(shù)學實驗教學有利于激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣，促進學生的主動學習，有利于轉變學生學習數(shù)學的方式，有利于加深學生對所學知識的記憶和理解，使其掌握解決問題的方法和策略，提高解決問題的能力.同時，開展初中數(shù)學實驗教學有利于教師的專業(yè)發(fā)展和各方面能力的提高.

【參考文獻】

[1]董林偉，等.初中數(shù)學實驗的理論與實踐研究[M].南京：江蘇鳳凰科學技術出版社，2016.

[2]董林偉，魏玉華.淺析初中數(shù)學實驗的基本特征[J].中國數(shù)學教育，2013（09）：2-4.