基于負半熵 下半方差 近似偏度的投資組合模型及應用

歐 攀，王 沁，段靜靜，周文浩

（西南交通大學數(shù)學學院，成都 611756）

在全球經(jīng)濟一體化的推進下，中國金融市場的波動日益加劇，金融風險也隨之不斷增加，因此對金融市場風險進行度量和控制是非常有必要的。1952年Markowitz［1］以投資組合收益率的方差作為風險度量，提出了均值方差投資組合模型（mean variance portfolio model，M-V），開創(chuàng)了投資組合量化風險的先例。我國證券市場歷史較短，存在不成熟性和多變性，如何在一定約束條件下得到最優(yōu)投資決策，進一步修正M-V模型，使其應用于我國證券市場，這在理論研究和實際應用中都有重要意義。

均值 方差模型中方差作為風險度量指標，既包含收益向下的波動，也包含向上的波動。而投資者在實際投資時，更關心資產(chǎn)收益低于預期收益的那部分風險，因此提出了下半方差風險度量方法。J.Bi［2］給出了均值半方差投資組合模型；Rui Pedro Brito［3］提出了下半方差和偏度雙目標優(yōu)化的投資組合模型；Yan W［4］考慮在多期情況下建立了多周期下半方差投資組合模型；王延章［5］構建了下半方差的債券投資組合模型；李慧敏［6］構建了下半方差的地產(chǎn)投資組合模型。半方差模型中下半方差度量風險，只說明了收益率的偏離方向，而未反映證券組合的損失具體大小。信息熵也代表一種不確定性，風險的本質是回報的不確定性。近年來很多學者考慮用信息熵度量資產(chǎn)風險，Philippatos［7］首先將熵引入投資組合模型，用熵代替方差度量風險。其后，更多學者用熵作為風險度量方法，其中，王燦杰［8］建立了均值熵偏度模型；YU J R［9］在熵模型的基礎上增加收益預測；張鵬［10］構建了具有熵約束的組合投資模型；吳文娣［11］建立了具有廣義熵約束的投資組合模型；李愛忠［12］、Mehmet Aksarayl?［13］、宋燕玲［14］同時考慮方差和信息熵風險度量指標，構建了均值方差熵投資組合模型。

綜上所述，國內外學者分別用方差、下半方差、信息熵度量組合資產(chǎn)風險，修正了均值方差模型，建立了多種投資組合模型。本文結合投資者更關注資產(chǎn)收益處于下跌的心理和信息熵的優(yōu)點，構建了負半熵—下半方差 近似偏度投資組合模型，互補了這些方法單獨度量風險時存在的一些缺陷，使模型更具有效性和可行性。

1 模型的建立

1.1 M-V投資組合模型

M-V投資組合模型用方差度量風險，期望度量收益，在同時考慮資產(chǎn)風險和收益中尋找一種平衡。假設現(xiàn)有n種風險資產(chǎn)，rj表示第j（j=1，…，n）種風險資產(chǎn)的收益率，wj表示第j種風險資產(chǎn)的投資權重（其中n），則組合資產(chǎn)收益率為rp=w1r1+w2r2+…+wnrn。期望收益率、方差風險分別為：

式（1）～（2）中：投資權重向量 w=（w1，w2，…，wn）T；資產(chǎn)收益率向量 r=（r1，r2，…，rn）T；協(xié)方差矩陣 Q=（σij）n×n（其中 σij=cov（ri，rj））。

根據(jù)式（1）與式（2）可見，當確定了投資權重向量w，組合資產(chǎn)的收益和風險也就確定了。記e=（1，1，…，1）T，參數(shù) r0為預設最小收益率，則M-V投資組合模型如下：

1.2下半方差—近似偏度投資組合模型

資產(chǎn)風險既包含了資產(chǎn)收益高于期望收益的風險，也包含了低于期望收益的風險。而投資者在實際投資時，更關心資產(chǎn)期望收益低于投資者預期收益水平的風險。這樣一來，提出了下半方差（lower semi-variance，SV）的概念。如果 SV（rj）=E［（min（rj-Erj，0）2］＜+∞，那么，第 j種風險資產(chǎn)的下半方差定義為：

假設除節(jié)假日外的n種風險資產(chǎn)，在一段連續(xù)時間內，第 j（j=1，…，n）種資產(chǎn)在第 t（t=1，…，T）天的收益率為rtj，那么第j種風險資產(chǎn)的期望收益率矩估計為，方差、下半方差的矩估計分別為：

偏度衡量了資產(chǎn)收益率分布的不對稱，當偏度大于0時，意味著資產(chǎn)收益率大于期望的概率大一些，風險相對小一些。第j種風險資產(chǎn)的偏度Skew（rj）=E［rj-Erj］3，因正態(tài)分布的偏度為 0，方差和下半方差比值為2，考慮用方差和下半方差比值與2的差值近似偏度。那么根據(jù)式（4）與式（5）得到第j種風險資產(chǎn)的近似偏度矩估計為，由式（6）與式（7）得到 n種風險資產(chǎn)組合的近似偏度矩估計為：

以資產(chǎn)組合的下半方差為目標函數(shù)，在M-V模型約束條件上引入偏度系數(shù)大于0，得到半方差—近似偏度模型（semi-variance approximate skewness model，SVASM）。那么，SVASM模型可以表示為：

1.3負半熵—下半方差—近似偏度投資組合模型

風險本質上是資產(chǎn)收益率的不確定性。信息熵是系統(tǒng)的無序程度與信息量的有效結合，信息熵數(shù)值越小，樣本不確定性程度就越小。相比只能反映分布二階矩特征的方差，信息熵能更加準確度量組合資產(chǎn)的全部風險。假設X是離散型隨機變量，其概率分布律為 pi=P（X=xi），pi≥0，i=1，…，n，那么，信息熵為如果X是連續(xù)型隨機變量，M.Rao［15］給出了一種新的信息度量方法——累積剩余熵，其表達式為：

對于投資者而言，更加在乎組合資產(chǎn)收益低于期望收益的信息。這樣一來，根據(jù)式（9）提出負半熵（negative half entropy，簡稱 NE）的概念。負半熵公式為：

負半熵本質是一種期望，它衡量了組合資產(chǎn)收益低于期望收益的信息?；陬l率代替概率的思想，可以獲得組合資產(chǎn)負半熵的矩估計，步驟如下：

步驟1 將第j種風險資產(chǎn)在第t天的收益率rtj減去樣本均值 ˉrj，獲得新序列 ytj=rtj-ˉrj；

步驟2 將新序列ytj分成長度相等的m個子區(qū)間，記載每個子區(qū)間中新序列ytj小于0的頻數(shù)Nij（i=1，…，m，j=1，…，n）；

步驟3 用頻率估計概率的方法，獲得收益率序列 ytj落在第 i（i=1，…，m）個區(qū)間上的概率

步驟5 權重向量為 w=（w1，…，wn）的組合資產(chǎn)收益的負半熵為

下半方差常常受資產(chǎn)變量分布的影響，因而用負半熵補償下半方差度量組合資產(chǎn)收益低于期望收益的那部分風險，這樣一來，在SVASM模型基礎上，構建負半熵 —下半方差 —近似偏度模型（negative half entropy lower semi-variance approximate skewness portfolio model，NESVASM）為：

其中 λ為調節(jié)參數(shù)［16］，需滿足 λ＞0；H^-（w）表示n種風險資產(chǎn)組合的負半熵。

2 實證分析

2.1 數(shù)據(jù)的選取與處理

在實際投資組合中投資資本有限，投資者在考慮選取資產(chǎn)時，既要兼顧分散風險又要考慮自身資本承受能力，因此投資組合中的資產(chǎn)數(shù)量不宜過多。根據(jù)投資組合原理以及對中國金融市場調查研究得出的經(jīng)驗法則，當投資組合中證券數(shù)量過多時，組合對非系統(tǒng)風險的分散作用開始減弱。因此，在組合投資時選擇13種風險資產(chǎn)，此時對非系統(tǒng)風險的分散作用較大。從瀘深300中，涉及銀行、通信、建筑等多個行業(yè)選擇相對平穩(wěn)的13只股票進行研究，所選股票見表1。為保證模型的時效性，選取2016年3月1日至2017年3月1日，除節(jié)假日外的日收盤價進行實證分析。假設第j只股票在第t天的收盤價為stj，則收益率為rtj=ln stj-ln s（t-1）j，t=1，…，T，j=1，…，n。

2.2 描述性分析

根據(jù)定義，計算出各只股票的樣本均值與方差、下半方差與負半熵、樣本偏度與近似偏度，如表2所示。

表1 選取的13只股票

表2 各只股票的樣本均值與方差、下半方差與負半熵、樣本偏度與近似偏度

從表2可以看出：①在13只股票中，股票S2、S4的下半方差比其方差要小得多，可見下半方差在方差中并非對稱的，用下半方差度量風險能更加準確地度量股票收益向下波動的那部分風險；②負半熵與下半方差進行比較，13只股票的負半熵與下半方差有大致相同的增減趨勢，這與負半熵和下半方差都是度量低于期望收益風險相吻合；③近似偏度與樣本偏度進行比較，股票S2和S8是樣本偏度值中最大和最小的2只股票，在近似偏度值中股票S2和S8同樣是最大和最小的2只股票，并且近似偏度與樣本偏度有幾乎一樣的大小趨勢，這表明近似偏度與真實偏度存在較好的擬合效果。

2.3 模型NESVASM的求解

根據(jù)拉格朗日乘子法和梯度下降法對模型進行編程求解，模型NESVASM中存在調節(jié)參數(shù)λ和收益參數(shù)r0，圖1給出了模型在相同收益參數(shù)、不同調節(jié)參數(shù)下，13只股票的投資組合情況。

從圖1可以看出：①模型求解的投資權重wj分布在第 2、3、8、9、11、12只股票，沒有呈現(xiàn)集中分布現(xiàn)象，符合分散投資理念；②隨著調節(jié)參數(shù)λ的逐漸增大，負半熵的作用逐漸顯現(xiàn)，負半熵更小的股票S9和S12投資權重呈增加的趨勢，負半熵更大的股票S8和S11的投資權重呈減小的趨勢，這也表明用負半熵來衡量風險時，股票S8和S11被度量出了更多的風險，模型更看好股票S9和S12。

圖2給出了模型在相同調節(jié)參數(shù)、不同收益參數(shù)下，13只股票的投資組合情況。

從圖2可以看出：①隨著收益參數(shù)r0的逐漸增大，呈現(xiàn)股票 S4、S10替代股票 S2、S3、S8、S11的現(xiàn)象，可見股票S4和S10發(fā)生超額收益的可能性更大；②調節(jié)參數(shù)也可看作投資者對負半熵的偏好程度，不同投資者對風險偏好和收益要求不同，調節(jié)參數(shù)和收益參數(shù)可根據(jù)實際情況進行適當調整。

表3給出了在不同調節(jié)參數(shù)λ和收益參數(shù)r0下NESVASM模型的收益率、下半方差、負半熵、近似偏度值。

表3 NESVASM模型在不同調節(jié)參數(shù)λ和收益參數(shù)r0下的結果

從表3可以看出：① 在固定收益參數(shù)r0時，隨著調節(jié)參數(shù)λ的逐漸增大，下半方差呈增長趨勢，負半熵呈減小趨勢，這與負半熵在目標函數(shù)中比例變大相吻合；② 同樣，在相同收益參數(shù)r0條件下，NESVASM模型在λ=0.000 01時，負半熵比在λ=0.000 005時的負半熵更大，表明此時負半熵度量出了更多的高階矩風險，使得本應更小的負半熵出現(xiàn)變大的現(xiàn)象；③ 在固定調節(jié)參數(shù)λ條件下，隨著收益參數(shù)r0的增大，下半方差和負半熵呈增大的趨勢，這與收益更大風險更大相吻合。

2.4 模型NESVASM與MV模型、SVASM模型的比較

為進一步說明負半熵對投資組合的影響，取定模型NESVASM中參數(shù)λ=0.000 01，r0=0.000 2，與M-V、SVASM模型的投資權重進行比較，結果見表4。

表4 在3種不同模型下的權重情況 %

從表4可以看出：① 與SVASM模型比較，NESVASM模型中股票S3、S6、S8的權重比例有所減小，股票 S2、S9、S11、S12的權重比例有所增加，這可能是負半熵度量出了股票S3、S6、S8的下半方差風險外其他高階矩風險所導致的結果；②特別是在股票S6、S11、S12上的權重比例存在明顯的變化，為投資者進行選股時給予更多理性參考。

通過計算得到3種模型下的收益率、下半方差、負半熵、近似偏度，結果見表5。

表5 M-V、SVASM、NESVASM模型的結果

從表5可以看出：與M-V、SVASM模型相比，模型NESVASM收益更大，風險度量指標中下半方差和負半熵均更小，并且組合資產(chǎn)偏度也存在明顯提升?？梢?，結合負半熵的NESVASM模型更能反映組合資產(chǎn)所面臨的風險，能更有效地規(guī)避風險，為投資者在配置資產(chǎn)時提供更加合理的選擇。

3 結論

在傳統(tǒng)M-V模型的基礎上，考慮到投資者更關心資產(chǎn)收益能否達到預期收益的心理，通過用負半熵補償下半方差衡量資產(chǎn)收益低于預期收益的風險，并在約束條件中引入偏度系數(shù)，構建NESVASM模型。通過選取13只股票進行實證分析，發(fā)現(xiàn)NESVASM模型能獲得更大的收益，能更好地規(guī)避風險，并且發(fā)生超額收益的可能性更大。在理論上，結合負半熵與半方差度量風險的NESVASM模型，規(guī)避了它們單獨度量風險存在的缺陷；在實際投資時，NESVASM模型從方差和信息熵的角度度量資產(chǎn)收益低于預期收益風險，給風險厭惡型投資者更多的理性指導，在股票選擇和風險預測方面也具有指導意義。此外，模型約束條件也可考慮引入正半熵大于負半熵，本文中實證分析也可考慮期貨、期權、債權等衍生產(chǎn)品或流動性因素，使模型更加切合真實的金融市場。