從猜開(kāi)始的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

高曉健

猜的正名

在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)，數(shù)學(xué)都被認(rèn)為是一種系統(tǒng)的演繹科學(xué)。這一成見(jiàn)甚至可以追溯到歐幾里得時(shí)代。直到20世紀(jì)40年代，美籍匈牙利數(shù)學(xué)家喬治·波利亞（G.Polay）通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)創(chuàng)造和學(xué)習(xí)的具體思維過(guò)程的再現(xiàn)、分析，提出了“合情推理”的思維模式。

在《怎樣解題》[1]一書(shū)中他指出：“數(shù)學(xué)具有兩個(gè)面，它既是歐幾里得的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，但同時(shí)也是別的什么。”這里的別的什么，指的就是合情推理。

從解題的角度（雖然顯得比較應(yīng)試，但我們應(yīng)該要意識(shí)到解題就是從某種程度上研究數(shù)學(xué)問(wèn)題）看，無(wú)論是證明題還是解答題，所有答案都需要我們用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊蚬P(guān)系來(lái)書(shū)寫(xiě)，這是數(shù)學(xué)的第一個(gè)面——演繹推理。但是在學(xué)習(xí)的過(guò)程中我們也應(yīng)該注意到，很多時(shí)候我們解決不了一個(gè)問(wèn)題，不是因?yàn)椴欢萌绾螄?yán)謹(jǐn)?shù)貢?shū)寫(xiě)，而恰恰是不知道如何找到解題的思路。嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臅?shū)寫(xiě)是內(nèi)斂的由因?qū)Ч?，?dāng)我們確定了大體方向之后，書(shū)寫(xiě)變化基本不大。但是我們拿到題目探索思路卻更發(fā)散，哪怕同一個(gè)條件也可以有豐富的聯(lián)想。把這些紛繁復(fù)雜的聯(lián)想進(jìn)行整合的過(guò)程，其實(shí)就是我們所說(shuō)的合情推理?；蛘哒f(shuō)得更直白一些，就叫猜想。

猜的現(xiàn)狀

可能你沒(méi)有意識(shí)到，但是幾乎所有需要一些思考的數(shù)學(xué)問(wèn)題都對(duì)你的猜想能力提出了要求。那么我們現(xiàn)在對(duì)高中生的猜想能力培養(yǎng)得如何呢？誠(chéng)然，教材設(shè)置了專(zhuān)門(mén)的章節(jié)來(lái)教授合情推理，但是我想一般的學(xué)?？赡茉谡麄€(gè)高中三年也只會(huì)留一兩個(gè)禮拜的時(shí)間來(lái)教授。這顯然與其在數(shù)學(xué)中的地位極不相稱(chēng)。

可能有人會(huì)說(shuō)：“那好辦啊，現(xiàn)在的高中基本高三整個(gè)一年都在復(fù)習(xí)，多給幾個(gè)禮拜還不夠嗎？”這……當(dāng)然不夠?；蛘邞?yīng)該說(shuō)，這不是課時(shí)的問(wèn)題。前述已明，猜想存在于每個(gè)需要思考的數(shù)學(xué)問(wèn)題之中，那么我們的教學(xué)自然也應(yīng)該存在于每個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題之中才對(duì)。

猜的模式

教材中涉及的合情推理內(nèi)容，基本就是歸納推理與類(lèi)比推理兩塊。讓我們回到“開(kāi)山祖師爺”波利亞那里，他老人家確實(shí)非常強(qiáng)調(diào)歸納與類(lèi)比這兩個(gè)手段，在他的三個(gè)姊妹篇《怎樣解題》《數(shù)學(xué)與猜想》[2]和《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》[3]中多次提及。但是合情推理畢竟是發(fā)散性的猜想，飄忽不定才是它應(yīng)有的面貌。其實(shí)，這個(gè)問(wèn)題也早有前輩論及。比如《波利亞合情推理的成功與不足》[4]一文中就指出：“通過(guò)進(jìn)一步考察他（波利亞）所組織的反映其合情推理的案例，可見(jiàn)合情推理主要包括歸納、審美和間接實(shí)證等幾個(gè)方面?！边@里簡(jiǎn)單解釋一下審美。好比門(mén)外漢和專(zhuān)家一起看青花瓷，門(mén)外漢多半形成不了聯(lián)想，但是專(zhuān)家往往可以通過(guò)各種蛛絲馬跡來(lái)猜測(cè)它的真贗、年代、產(chǎn)地等等。數(shù)學(xué)問(wèn)題也是一樣，很多老師能夠在未經(jīng)演算的情況下就大體判斷出某想法是否可行，這就是數(shù)學(xué)審美。所以筆者斗膽將合情推理模式描繪成這樣一個(gè)場(chǎng)景：在數(shù)學(xué)審美的指導(dǎo)下，進(jìn)行類(lèi)比、歸納或其他猜想，得出猜想一;然后，繼續(xù)在數(shù)學(xué)審美的指導(dǎo)下，進(jìn)行類(lèi)比、歸納或其他猜想，得出更可信的猜想二……如此持續(xù)到幾近完美。之后的事就交給演繹推理了。

猜的實(shí)戰(zhàn)——?dú)w納推理

只有泛泛而談未免單調(diào)。筆者分享一個(gè)在教學(xué)過(guò)程中的實(shí)例來(lái)輔助說(shuō)明：

此題求前2012項(xiàng)和，關(guān)鍵點(diǎn)當(dāng)然在求出通項(xiàng)公式，也就要對(duì)遞推關(guān)系式作處理。看似不難，但是在初學(xué)階段，學(xué)生往往難以一蹴而就地想到正確解法。毫不夸張地說(shuō)，在普通一點(diǎn)的學(xué)校，能不能有一小半的學(xué)生構(gòu)造成功都是存疑的。那么對(duì)于大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)，聽(tīng)老師講課未免有些望山跑馬了。

對(duì)于那些沒(méi)有一點(diǎn)想法的學(xué)生來(lái)說(shuō)，打擊太多甚至?xí)屗麄儩u漸失去對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。我們可以試著讓他從“猜”開(kāi)始。

直接構(gòu)造數(shù)列的通項(xiàng)公式太難，那么我們能不能試著猜出來(lái)呢？通項(xiàng)公式是項(xiàng)值與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系，那么只要計(jì)算幾項(xiàng)，應(yīng)該就能發(fā)現(xiàn)規(guī)律了。

怎么樣，是不是很容易操作。容易就對(duì)了，我們?cè)跊](méi)有降低題目難度的同時(shí)，讓學(xué)生更容易得到答案，獲得成就感，也就免于失去對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，對(duì)學(xué)習(xí)的興趣。這就是猜的第一個(gè)好處：比解題容易，讓更多學(xué)生能夠參與。

猜的實(shí)戰(zhàn)——審美加成

可能有人會(huì)說(shuō)，這不是辦法啊。這個(gè)通項(xiàng)公式畢竟是“猜”到的，不符合數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。確實(shí)如此，不僅我們老師，只要學(xué)生有一點(diǎn)上進(jìn)心的話(huà)也會(huì)知道這樣其實(shí)是不妥的，這將在后續(xù)的學(xué)習(xí)中激勵(lì)他更進(jìn)一步。

可能你會(huì)說(shuō)“這兩個(gè)方法差別不大”。但只要學(xué)生足夠有心，就一定會(huì)擔(dān)心將來(lái)的問(wèn)題，直接進(jìn)行猜想可能會(huì)遇到猜不出的情況。學(xué)生就會(huì)嘗試培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)審美，或許他并不知道這個(gè)詞，但是實(shí)質(zhì)上他會(huì)在這個(gè)方向努力。我們可以說(shuō)，猜其實(shí)也是一種提高數(shù)學(xué)審美的絕佳手段。

猜的終結(jié)——?dú)w于不猜

當(dāng)我們?cè)谌粘＝虒W(xué)中積極引入猜想之后，這道本來(lái)只能啟發(fā)一小半學(xué)生的題目，就變得人人能從中受益。其背后的成就感，激發(fā)的靈感、興趣都是不可估量的。

猜的后言

老師或許會(huì)很擔(dān)心，如果教學(xué)生來(lái)猜答案，會(huì)不會(huì)讓學(xué)生懶于思考?；蛟S真有老師嘗試了這種教學(xué)策略之后發(fā)現(xiàn)有一半的學(xué)生都沉浸在第一個(gè)階段似乎也沒(méi)有進(jìn)步的跡象。但你要知道，不然的話(huà)，這些甚至更多的學(xué)生會(huì)步入對(duì)遞推關(guān)系，甚至對(duì)數(shù)學(xué)的恐懼之中。雖然算不得，但是猜了個(gè)大概，足以讓很多學(xué)生寬慰。而我們也不應(yīng)該希望有這么一種辦法能讓全部學(xué)生一定時(shí)間內(nèi)取得最好的學(xué)習(xí)成就。畢竟我在前文的行文中也強(qiáng)調(diào)了諸如“有一點(diǎn)上進(jìn)心”“足夠有心”等字眼。但是對(duì)于上進(jìn)的有心的這部分學(xué)生，當(dāng)他最后發(fā)現(xiàn)，猜想的答案離標(biāo)準(zhǔn)只差這么微小的一步，他怎么可能會(huì)放棄學(xué)習(xí)呢？當(dāng)數(shù)學(xué)審美達(dá)到一定程度時(shí)，就會(huì)從量變到質(zhì)變——完全解出題目。畢竟完全解決一個(gè)問(wèn)題比大致解決更能給人以興奮。

當(dāng)我們回顧整個(gè)過(guò)程不難發(fā)現(xiàn)，雖然“猜”聽(tīng)上去就不上臺(tái)面，但是猜給我們帶來(lái)了解題的“興奮”。正是這種興奮，挽救了那些在數(shù)學(xué)面前弱小又無(wú)助的學(xué)習(xí)信心，提升了那些在轉(zhuǎn)化條件時(shí)的數(shù)學(xué)審美，并最終將學(xué)生送入“不猜的境界”。文筆拙劣，非敢言能補(bǔ)正前賢之缺失也。

參考文獻(xiàn)：

[1]G·波利亞.怎樣解題：數(shù)學(xué)思維的新方法[M].上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2011.

[2]G·波利亞.數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)：對(duì)解題的理解研究的講授[M].北京：科學(xué)出版社，1981.

[3]G·波利亞.數(shù)學(xué)與猜想：數(shù)學(xué)中的歸納與類(lèi)比[M].北京：科學(xué)出版社，2001.

[4]孫名符，蒙虎.波利亞合情推理的成功與不足[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，1998，7（3）：43-46.

編輯 李琴芳