近似數(shù)量系統(tǒng)精確性與學(xué)前兒童數(shù)學(xué)能力的關(guān)系

馮軻　趙均榜

【摘要】本文梳理了近似數(shù)量系統(tǒng)精確性與學(xué)前兒童數(shù)學(xué)能力的關(guān)系，包括近似數(shù)量系統(tǒng)精確性與學(xué)前兒童數(shù)學(xué)能力的相互預(yù)測關(guān)系，近似數(shù)量系統(tǒng)精確性與學(xué)前兒童數(shù)學(xué)能力的邊緣相關(guān)或不相關(guān)關(guān)系以及近似數(shù)量系統(tǒng)訓(xùn)練及其對學(xué)前兒童數(shù)學(xué)能力的影響，建議未來研究應(yīng)當(dāng)明確學(xué)前兒童近似數(shù)量系統(tǒng)精確性測查任務(wù)，深入探討近似數(shù)量系統(tǒng)精確性與學(xué)前兒童數(shù)學(xué)能力不同方面的關(guān)系，進(jìn)一步探討近似數(shù)量系統(tǒng)訓(xùn)練對學(xué)前兒童數(shù)學(xué)能力的持續(xù)影響。

【關(guān)鍵詞】近似數(shù)量系統(tǒng)精確性;學(xué)前兒童;數(shù)學(xué)能力

【中圖分類號】G610? ?【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A? ?【文章編號】1004-4604（2020）7/8-0054-05

《3～6歲兒童學(xué)習(xí)與發(fā)展指南》指出，“幼兒在對自然事物的探究和運(yùn)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際生活問題的過程中，不僅獲得豐富的感性經(jīng)驗(yàn)，充分發(fā)展形象思維，而且初步嘗試歸類、排序、判斷、推理，逐步發(fā)展邏輯思維能力，為其他領(lǐng)域的深入學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)”?？梢?，數(shù)學(xué)能力是兒童在學(xué)前階段重點(diǎn)發(fā)展的認(rèn)知能力之一。研究發(fā)現(xiàn)，兒童在學(xué)前期間掌握一定的數(shù)字知識，會(huì)對其后期的數(shù)學(xué)能力發(fā)展起到重要促進(jìn)作用?！?〕已有研究表明，領(lǐng)域一般性和領(lǐng)域特殊性等因素都被證實(shí)與數(shù)學(xué)能力存在一定的相關(guān)或預(yù)測關(guān)系。領(lǐng)域一般性因素包括工作記憶、執(zhí)行控制等，領(lǐng)域特殊性因素包括近似數(shù)量系統(tǒng)、計(jì)數(shù)技能、計(jì)算流暢性和數(shù)學(xué)語言的運(yùn)用等?！?〕其中，近似數(shù)量系統(tǒng)（Approximate Number System，簡稱ANS）被認(rèn)為在個(gè)體的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)揮著重要作用。近似數(shù)量系統(tǒng)是人的一種直覺性能力，是一個(gè)模擬的、近似的系統(tǒng)?！?〕有研究表明，ANS指導(dǎo)著人們對數(shù)據(jù)的近似處理，如集合的比較、數(shù)字的加減等。常用于測試近似數(shù)量系統(tǒng)的任務(wù)范式是非符號比較任務(wù)，主要是參與者比較兩組點(diǎn)數(shù)，指出哪一組包含較多的點(diǎn)數(shù)?！?-6〕這些研究的一個(gè)共同發(fā)現(xiàn)是：非符號比較任務(wù)的準(zhǔn)確性和反應(yīng)時(shí)間取決于兩組點(diǎn)數(shù)數(shù)量間的比率，兩組點(diǎn)數(shù)數(shù)量相近時(shí)（3∶4）的難度高于數(shù)量差異大時(shí)（1∶2）的難度。可見，ANS的一個(gè)最基本特征就是依賴于比率?！?〕研究者通常采用數(shù)量比較任務(wù)來測量個(gè)體表征非符號數(shù)字的精確性，即ANS精確性。有研究表明，ANS精確性是兒童后期符號數(shù)學(xué)能力的認(rèn)知基礎(chǔ)。這一觀點(diǎn)的提出引發(fā)了大量關(guān)于近似數(shù)量系統(tǒng)和學(xué)前兒童數(shù)學(xué)能力關(guān)系的研究。同時(shí)，在此基礎(chǔ)上，也有一些研究者提出通過訓(xùn)練ANS精確性來提高兒童符號數(shù)學(xué)能力的研究假設(shè)。本文旨在梳理近似數(shù)量系統(tǒng)精確性與學(xué)前兒童數(shù)學(xué)能力的關(guān)系，以期為進(jìn)一步了解近似數(shù)量系統(tǒng)和學(xué)前兒童數(shù)學(xué)能力的發(fā)展特點(diǎn)，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)前兒童數(shù)學(xué)能力的提升提供參考。

一、近似數(shù)量系統(tǒng)精確性與學(xué)前兒童數(shù)學(xué)能力的相互預(yù)測關(guān)系

一些研究者采用不同的ANS精確性測量任務(wù)和多種數(shù)學(xué)能力評定指標(biāo)，探究近似數(shù)量系統(tǒng)精確性與學(xué)前兒童數(shù)學(xué)能力的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)近似數(shù)量系統(tǒng)精確性和數(shù)學(xué)能力之間存在顯著正相關(guān)?！?，9〕有縱向研究發(fā)現(xiàn)，兒童在嬰兒期及童年早期的ANS精確性對其之后的符號數(shù)學(xué)能力具有顯著預(yù)測作用;在控制了如智力、記憶和言語等一般認(rèn)知能力后，兒童4歲時(shí)的近似數(shù)量系統(tǒng)精確性仍能預(yù)測其6個(gè)月后的數(shù)學(xué)成績，甚至在間隔兩年后的測查中仍然發(fā)現(xiàn)兩者存在顯著聯(lián)系。〔10〕

凱勒（Keller）等人采用非符號數(shù)量比較任務(wù)和TEMA-3（早期數(shù)學(xué)能力測試工具第三版）先后測試了43名5～6歲和169名3～6歲兒童的近似數(shù)量系統(tǒng)精確性和早期數(shù)學(xué)能力。在控制了抑制控制能力后，這兩個(gè)年齡段兒童的近似數(shù)量系統(tǒng)精確性和早期數(shù)學(xué)能力均存在顯著相關(guān)關(guān)系。〔11〕哈爾伯達(dá)（Halberda）等人研究了5歲兒童近似數(shù)量系統(tǒng)精確性和符號數(shù)學(xué)能力的關(guān)系，主要采用easy-first和hard-first兩種任務(wù)形式測量近似數(shù)量系統(tǒng)的精確性，從而比較兩組被試符號數(shù)學(xué)能力的發(fā)展情況。研究結(jié)果表明，改變兒童的近似數(shù)量系統(tǒng)精確性會(huì)在一定程度上影響其在符號數(shù)學(xué)能力任務(wù)上的表現(xiàn)?！?2〕張繼英分別采用Panamath軟件和TEMA-3測查5～6歲兒童的近似數(shù)量系統(tǒng)精確性和數(shù)學(xué)能力，發(fā)現(xiàn)非符號數(shù)量比較的準(zhǔn)確率和早期數(shù)學(xué)能力測試得分呈顯著正相關(guān);在控制了年齡變量后，近似數(shù)量系統(tǒng)精確性和早期數(shù)學(xué)能力的相關(guān)性更加顯著。同時(shí)，非符號數(shù)量比較的準(zhǔn)確率可以獨(dú)立解釋數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)25%的變異量，即5～6歲兒童的近似數(shù)量系統(tǒng)精確性可以顯著預(yù)測其早期數(shù)學(xué)能力。〔13〕張琳霓在研究了各年齡段兒童近似數(shù)量系統(tǒng)精確性和數(shù)學(xué)能力的關(guān)系后，發(fā)現(xiàn)學(xué)前兒童的符號與非符號估計(jì)能力與數(shù)學(xué)能力測試任務(wù)均存在顯著相關(guān)性;在控制了智力、注意等因素后，非符號估計(jì)能力與兒童的數(shù)學(xué)任務(wù)得分仍然存在顯著相關(guān)性。〔14〕

近似數(shù)量系統(tǒng)精確性和數(shù)學(xué)能力之間并非只是單向的預(yù)測關(guān)系。 有研究發(fā)現(xiàn)，近似數(shù)量系統(tǒng)精確性能夠顯著預(yù)測數(shù)學(xué)能力，反之也成立。不論是成人還是兒童，接受過數(shù)學(xué)教育指導(dǎo)的個(gè)體的近似數(shù)量表征能力大多更好一些?！?5〕墨索里尼（Mussolin）等人對57名3～4歲兒童每隔七個(gè)月進(jìn)行一次符號數(shù)學(xué)能力的評估，比較不同時(shí)間點(diǎn)上其近似數(shù)量系統(tǒng)精確性和數(shù)學(xué)能力的發(fā)展情況。研究結(jié)果表明，數(shù)學(xué)能力中的基數(shù)能力和符號數(shù)字知識都能顯著預(yù)測近似數(shù)量任務(wù)中點(diǎn)數(shù)比較的準(zhǔn)確性?！?6〕艾略特（Elliott）等人在針對3～5歲兒童的縱向研究中，每隔6個(gè)月讓兒童參與一次非符號數(shù)量比較任務(wù)和標(biāo)準(zhǔn)化的符號數(shù)學(xué)能力測試任務(wù)，共進(jìn)行3次，旨在研究隨著時(shí)間的變化，近似數(shù)量系統(tǒng)精確性與學(xué)前兒童數(shù)學(xué)能力之間的關(guān)系。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，近似數(shù)量系統(tǒng)精確性與學(xué)前兒童數(shù)學(xué)能力呈雙向相關(guān)，即近似數(shù)量系統(tǒng)精確性能夠預(yù)測學(xué)前兒童后期的數(shù)學(xué)能力，而學(xué)前兒童早期數(shù)學(xué)能力也能夠顯著預(yù)測其后期近似數(shù)量系統(tǒng)精確性?！?7〕可見，符號數(shù)學(xué)能力的發(fā)展對學(xué)前兒童近似數(shù)量系統(tǒng)的精確性也有一定預(yù)測作用。

二、近似數(shù)量系統(tǒng)精確性與學(xué)前兒童數(shù)學(xué)能力的邊緣相關(guān)或不相關(guān)關(guān)系

盡管以上研究表明近似數(shù)量系統(tǒng)精確性與學(xué)前兒童數(shù)學(xué)能力存在相互預(yù)測關(guān)系，但也有一些研究得出了相反的結(jié)論，認(rèn)為兩者之間并不存在線性關(guān)系或僅為邊緣相關(guān)?！?8，19〕例如，富斯（Fuhs）等人以低經(jīng)濟(jì)收入家庭的學(xué)前兒童為研究對象，考察其近似數(shù)量系統(tǒng)精確性與數(shù)學(xué)能力的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)兩者呈邊緣性相關(guān);在控制了抑制控制和工作記憶等因素后，兩者間這種微弱的相關(guān)性便消失了?！?0〕在一項(xiàng)關(guān)于近似數(shù)量系統(tǒng)與數(shù)學(xué)能力關(guān)系的元分析研究中，研究者發(fā)現(xiàn)兩者僅存在微弱相關(guān)，且這種相關(guān)性會(huì)受到其他中介變量或調(diào)節(jié)變量的影響?！?1〕

考克曼（Kolkman）等人對4歲兒童進(jìn)行了長期的追蹤研究，考察非符號估計(jì)、符號估計(jì)對其后期數(shù)學(xué)能力發(fā)展的預(yù)測作用，發(fā)現(xiàn)6歲時(shí)兒童在數(shù)學(xué)能力測查任務(wù)上的表現(xiàn)與非符號和符號估計(jì)不存在相關(guān)性，即近似數(shù)量系統(tǒng)精確性不能顯著預(yù)測兒童后期的數(shù)學(xué)表現(xiàn)?！?2〕薩桑吉（Sasanguie）等人以5～6歲兒童為研究對象進(jìn)行了短期的追蹤研究，考察近似數(shù)量系統(tǒng)精確性和符號數(shù)學(xué)能力之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)5歲5個(gè)月兒童的近似數(shù)量系統(tǒng)精確性對其5歲6個(gè)月后的符號數(shù)量比較任務(wù)沒有預(yù)測作用，同時(shí)5歲6個(gè)月后兒童的近似數(shù)量系統(tǒng)精確性得分與其符號數(shù)量比較任務(wù)得分也不存在相關(guān)關(guān)系?！?3〕

從已有研究可以發(fā)現(xiàn)，近似數(shù)量系統(tǒng)精確性與學(xué)前兒童數(shù)學(xué)能力之間是否存在聯(lián)系，目前還沒有統(tǒng)一的結(jié)論。這一方面可能是因?yàn)闇y查兒童近似數(shù)量系統(tǒng)精確性的任務(wù)形式不統(tǒng)一，不存在統(tǒng)一的評估標(biāo)準(zhǔn);另一方面可能是因?yàn)閷W(xué)前兒童數(shù)學(xué)能力是由許多不同成分組成的，每個(gè)研究者在考察學(xué)前兒童數(shù)學(xué)能力時(shí)的側(cè)重點(diǎn)不同，可能會(huì)引起近似數(shù)量系統(tǒng)精確性與學(xué)前兒童數(shù)學(xué)能力之間關(guān)系的變化。

三、近似數(shù)量系統(tǒng)訓(xùn)練及其對學(xué)前兒童數(shù)學(xué)能力的影響

針對近似數(shù)量系統(tǒng)訓(xùn)練的研究，主要是為了考察近似數(shù)量系統(tǒng)的發(fā)展特點(diǎn)及其對學(xué)前兒童數(shù)學(xué)能力的影響。當(dāng)前關(guān)于近似數(shù)量系統(tǒng)訓(xùn)練的研究主要是將被試隨機(jī)分為兩組，一組接受近似數(shù)量系統(tǒng)訓(xùn)練，另一組不接受?！?4〕近似數(shù)量系統(tǒng)的主要訓(xùn)練范式有兩種。第一種以游戲的形式進(jìn)行，如“數(shù)字競賽”訓(xùn)練。它是一款電腦游戲軟件，最初是為有計(jì)算障礙的兒童設(shè)計(jì)的，能夠考慮到每名兒童的個(gè)體差異和能力水平。兒童作為一名獨(dú)立的玩家，以游戲中的虛擬對象為對手，通過數(shù)字比較和簡單的算術(shù)類程序來進(jìn)行游戲，旨在通過訓(xùn)練提高兒童的反應(yīng)速度，增強(qiáng)兒童對數(shù)字與空間之間聯(lián)系的認(rèn)識?！?5〕第二種是通過非符號數(shù)量比較任務(wù)進(jìn)行專業(yè)的一對一程序訓(xùn)練。這類訓(xùn)練任務(wù)通常包括短期和長期兩種形式。

近幾年的研究主要以第二種訓(xùn)練范式為主。王金晶等人通過考察調(diào)整近似數(shù)量系統(tǒng)訓(xùn)練的難度順序是否會(huì)影響兒童在符號數(shù)學(xué)任務(wù)上的表現(xiàn)，探討近似數(shù)量系統(tǒng)精確性與學(xué)前兒童符號數(shù)學(xué)能力之間的關(guān)系。該研究選取40名5歲兒童為研究對象，將兒童隨機(jī)分成兩組。兩組兒童在近似數(shù)量訓(xùn)練任務(wù)上的不同在于一組任務(wù)難度是從難到易，一組則是從易到難。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，訓(xùn)練任務(wù)從易到難組兒童在近似數(shù)量訓(xùn)練任務(wù)上的表現(xiàn)更好，在符號數(shù)學(xué)任務(wù)上的表現(xiàn)也比另一組好。也就是說，近似數(shù)量系統(tǒng)訓(xùn)練的難度順序會(huì)在一定程度上影響兒童近似數(shù)量系統(tǒng)的精確性和在符號數(shù)學(xué)任務(wù)上的表現(xiàn)?！?6〕利比圖斯（Libertus）等人對學(xué)前兒童進(jìn)行了5周的非符號數(shù)量比較訓(xùn)練，發(fā)現(xiàn)與音素意識訓(xùn)練相比，非符號數(shù)量比較訓(xùn)練更能提高兒童的標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)學(xué)評估水平，加深兒童對近似數(shù)量系統(tǒng)表征形式的了解。〔27〕

帕克（Park）等人假設(shè)長期的近似數(shù)量系統(tǒng)訓(xùn)練能提高3～5歲兒童的符號數(shù)學(xué)能力。他們在研究過程中要求訓(xùn)練組兒童在2～3周內(nèi)在電腦上完成10次非符號加減法游戲訓(xùn)練，對照組兒童在電腦上完成記憶游戲。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，接受非符號加減法游戲訓(xùn)練的兒童的標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)學(xué)評估（符號數(shù)學(xué)測試）水平明顯高于進(jìn)行記憶游戲的兒童。這表明近似數(shù)量系統(tǒng)精確性的提升能夠促進(jìn)兒童數(shù)學(xué)能力的提升?！?8〕斯庫德拉雷克（Szkudlarek）等人選取了158名學(xué)前兒童為研究對象，將兒童隨機(jī)分為三個(gè)訓(xùn)練組（非符號算術(shù)訓(xùn)練、數(shù)字識別訓(xùn)練、字母識別訓(xùn)練），接受10次短期培訓(xùn)。研究結(jié)果表明，在控制無關(guān)因素影響的前提下，接受非符號算術(shù)訓(xùn)練的兒童的非正式數(shù)學(xué)能力得到了明顯改善，且顯著優(yōu)于其他兩個(gè)組的兒童?！?9〕

針對近似數(shù)量系統(tǒng)的訓(xùn)練能否對學(xué)前兒童數(shù)學(xué)能力產(chǎn)生影響，研究者的結(jié)論尚不一致。較多的研究雖能驗(yàn)證預(yù)期的假設(shè)，但不足以證明近似數(shù)量系統(tǒng)訓(xùn)練與學(xué)前兒童數(shù)學(xué)能力之間存在因果關(guān)系。出現(xiàn)這一結(jié)果的原因，一方面可能是受訓(xùn)練任務(wù)的影響，目前針對學(xué)前兒童的研究采取的訓(xùn)練任務(wù)與成人區(qū)別不大，訓(xùn)練方式高度結(jié)構(gòu)化;另一方面可能是受兒童語言和思維發(fā)展差異等的影響，若在研究設(shè)計(jì)中沒有合理控制額外變量，可能會(huì)導(dǎo)致研究結(jié)果不一致。

四、研究展望

1.明確學(xué)前兒童近似數(shù)量系統(tǒng)精確性測查任務(wù)

當(dāng)前，關(guān)于近似數(shù)量系統(tǒng)與學(xué)前兒童數(shù)學(xué)能力關(guān)系的研究尚未達(dá)成一致結(jié)論，其主要原因可能是針對近似數(shù)量系統(tǒng)精確性的測查任務(wù)還不統(tǒng)一。因此，未來研究需要進(jìn)一步明確學(xué)前兒童近似數(shù)量系統(tǒng)精確性測查任務(wù)。研究者可以在借鑒國外研究成果的基礎(chǔ)上，立足我國學(xué)前兒童發(fā)展特點(diǎn)，開發(fā)并完善本土化的學(xué)前兒童近似數(shù)量系統(tǒng)測查任務(wù)。在測查過程中，研究者一方面應(yīng)當(dāng)保證測查任務(wù)易于操作，兒童較少受到干擾，最大程度地保證測查任務(wù)的有效性，從而提高測查任務(wù)的信效度;另一方面，因?yàn)閷W(xué)前兒童身心發(fā)展尚不完善，所以研究者應(yīng)當(dāng)注意測查任務(wù)要符合兒童的發(fā)展特點(diǎn)，并對難度進(jìn)行層級劃分，從而保證測查任務(wù)的適用性。

2.深入探討近似數(shù)量系統(tǒng)精確性與學(xué)前兒童數(shù)學(xué)能力不同方面的關(guān)系

當(dāng)前大多數(shù)研究表明，近似數(shù)量系統(tǒng)精確性與學(xué)前兒童數(shù)學(xué)能力之間存在相互預(yù)測關(guān)系。然而，目前的研究多集中在近似數(shù)量系統(tǒng)精確性與學(xué)前兒童符號數(shù)學(xué)能力的關(guān)系上，較少關(guān)注近似數(shù)量系統(tǒng)精確性與學(xué)前兒童數(shù)學(xué)能力其他方面的關(guān)系，如近似數(shù)量系統(tǒng)精確性與時(shí)間、空間、圖形以及數(shù)感等的關(guān)系。因此，未來研究應(yīng)當(dāng)進(jìn)一步擴(kuò)展研究內(nèi)容，深入探討近似數(shù)量系統(tǒng)精確性與學(xué)前兒童數(shù)學(xué)能力不同方面的關(guān)系。在研究過程中，研究者應(yīng)當(dāng)嚴(yán)格控制外部因素的干擾，使用較為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难芯吭O(shè)計(jì)，從而深入準(zhǔn)確地揭示兩者之間的關(guān)系。

3.進(jìn)一步探討近似數(shù)量系統(tǒng)訓(xùn)練對學(xué)前兒童數(shù)學(xué)能力的持續(xù)影響

因?yàn)閷W(xué)前兒童近似數(shù)量系統(tǒng)和數(shù)學(xué)能力的發(fā)展都是長期的過程，所以未來研究應(yīng)當(dāng)進(jìn)一步探討近似數(shù)量系統(tǒng)訓(xùn)練對學(xué)前兒童數(shù)學(xué)能力的持續(xù)影響。有研究者提出，近似數(shù)量系統(tǒng)訓(xùn)練可能會(huì)促使兒童在除訓(xùn)練以外的環(huán)境中更關(guān)注與數(shù)學(xué)相關(guān)的信息以及參與到數(shù)學(xué)活動(dòng)中，從而促進(jìn)其數(shù)學(xué)能力的發(fā)展。因此，未來研究可以在訓(xùn)練前、訓(xùn)練過程中、訓(xùn)練后分別評估兒童對與數(shù)學(xué)有關(guān)的信息或活動(dòng)的興趣，考察訓(xùn)練能否增加兒童對數(shù)學(xué)的興趣。另外，訓(xùn)練所采取的方式和選擇的內(nèi)容應(yīng)當(dāng)符合學(xué)前兒童的發(fā)展水平，難度應(yīng)當(dāng)逐步提升。研究者可以設(shè)計(jì)除高結(jié)構(gòu)化的電腦操作訓(xùn)練任務(wù)外的更適合學(xué)前兒童的訓(xùn)練形式，考察其對學(xué)前兒童數(shù)學(xué)能力的影響。同時(shí)，研究者在訓(xùn)練對象的選取上應(yīng)當(dāng)擴(kuò)大范圍，篩選出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難或近似數(shù)量系統(tǒng)精確性較低的兒童進(jìn)行有效的跟蹤訓(xùn)練，從而縮小他們與一般兒童數(shù)學(xué)能力發(fā)展之間的差距，并根據(jù)訓(xùn)練結(jié)果來探尋兩者關(guān)系的內(nèi)在機(jī)制，從而促進(jìn)學(xué)前兒童數(shù)學(xué)能力的發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

〔1〕PAGANI L S，F(xiàn)ITZPATRICK C，ARCHAMBAULT I，et al.School readiness and later achievement：A French Canadian? replication and extension〔J〕.Developmental Psychology，2010，（46）：984-994.

〔2〕PASSOLUNGHI M C，LANFRANCHI S.Domain-specific and domain-general precursors of mathematical achievement：A longitudinal study from kindergarten to first grade〔J〕.British Journal of Educational Psychology，2012，82（1）：42-63.

〔3〕BRANNON E M，MERRITT D J.Space，time and number in the brain〔M〕.New York：Academic Press，2011：207-224.

〔4〕HALBERDA J，F(xiàn)EIGENSON L，et al.Individual differences in non-verbal number acuity correlate with maths achievement〔J〕.Nature，2008，455：665-668.

〔5〕〔10〕LIBERTUS M E，F(xiàn)EIGENSON L，HALBERDA J.Numerical approximation abilities correlate with and predict informal but not formal mathematics abilities〔J〕.Journal of Experimental Child Psychology，2013，116（4）：829-838.

〔6〕〔15〕PIAZZA M，PICA P，IZARD V，et al.Education enhances the acuity of the nonverbal approximate number system〔J〕.Psychological Science，2013，（6）：1037-1043.

〔7〕BRANKAER C，GHESQUI?RE P，SMEDT B D.Numerical magnitude processing deficits in children with mathematical difficulties are independent of intelligence〔J〕.Research in Developmental Disabilities， 2014，（11）：2603-2613.

〔8〕〔21〕CHEN Q X，LI J G.Association between individual differences in non-symbolic number acuity and math performance：A meta-analysis〔J〕.Acta Psychologica，2014，148：163-172.

〔9〕牛玉柏.學(xué)前兒童近似數(shù)量系統(tǒng)敏銳度和符號數(shù)學(xué)能力的關(guān)系〔J〕.心理發(fā)展與科學(xué)教育，2016，（2）：129-138.

〔11〕KELLER L，LIBERTUS M.Inhibitory control may not explain the link between approximation and math abilities in kindergarteners from middle class families〔J〕.Frontiers in Psychology，2015，（6）：685-695.

〔12〕HALBERDA J，F(xiàn)EIGENSON L.Changing the precision of preschoolers approximate number system representations changes their symbolic math performance〔J〕.Journal of Experimental Child Psychology，2016，147：82-99.

〔13〕張繼英.5～6歲兒童近似數(shù)量系統(tǒng)精確性和數(shù)學(xué)能力關(guān)系的研究〔D〕.上海：華東師范大學(xué)，2017.

〔14〕張琳霓.近似數(shù)量系統(tǒng)與數(shù)學(xué)能力和空間能力的關(guān)系研究〔D〕.上海：上海師范大學(xué)，2019.

〔16〕MUSSOLIN C，CONTENT A，et al.Symbolic

number abilities predict later approximate number system acuity in preschool children〔J〕.The Public Library of Science，2014，（3）：1-12.

〔17〕ELLIOTT L，F(xiàn)EIGENSON L，HALBERDA J，et al.Bidirectional， longitudinal associations between math ability and approximate number system precision in childhood〔J〕.Journal of Cognition and Development，2018，155：1-19.

〔18〕PURPURA D J，LOGAN J A.The nonlinear relations of the approximate number system and mathematical language to early mathematics development〔J〕.Developmental Psychology，2015，（12）：1717-1724.

〔19〕NEGEN J，SARNECKA B W.Is there really a link between exact-number knowledge and approximate number system acuity in young children〔J〕.British Journal of Developmental Psychology，2015，（1）：92-105.

〔20〕FUHS M W，MCNEIL N M.ANS acuity and mathematics ability in preschoolers from low-income homes：Contributions of inhibitory control〔J〕.Developmental Science，2013，（1）：136-148.

〔22〕KOLKMAN M E，KROESBERGEN E H，LESEMAN P P M. Early numerical development and the role of non-symbolic and symbolic skills〔J〕.Learning and Instruction，2013，（25）：95-103.

〔23〕SASANGUIE D，DEFEVER E，MAERTENS B，et al.The approximate number system is not predictive for symbolic number processing in kindergarteners〔J〕.The Quarterly Journal of Experimental Psychology，2014，（2）：271-280.

〔24〕MELISSA E，LIBERTUS M.Understanding the link between the approximate number system and math abilities〔J〕.Mathematical Cognition and Learning，2019，（5）：91-106.

〔25〕USANNAH K，et al.An open trial assessment of “the number race”：An adaptive computer game for remediation of dyscalculia〔J〕.Behavioral and Brain Functions，2006，（20）：1-16.

〔26〕JINJING WANG，ODIC D，HALBERDA J.Changing the precision of preschoolers approximate number system representations changes their symbolic math performance〔J〕.Journal of Experimental Child Psychology，2016，147：82-99.

〔27〕LIBERTUS M E.Cognitive foundations for improving mathematical〔M〕.New York：Academic Press，2019：91-106.

〔28〕PARK J，BRANNON E M.How to interpret cognitive training studies：A reply to Lindskog and Winman〔J〕.Cognition，2016，150：243-251.

〔29〕SZKUDLAREK E，BRANNON E M.Approximate arithmetic training improves informal math performance in low achieving preschoolers〔J〕.Frontiers in Psychology，2018，（9）：606-617.

The Relationship Between Approximate Number System Precision and Preschoolers Mathematical Ability