淺談數(shù)量關(guān)系在小學(xué)數(shù)學(xué)解決問題中的重要性

魏麗佩

摘 要：數(shù)量關(guān)系是解決問題的基礎(chǔ)，是一種有數(shù)學(xué)價(jià)值的解決問題的模式。對(duì)數(shù)量關(guān)系的剖析、提煉、概括、分析，有利于幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型思想，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、解題能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新能力，有利于學(xué)生學(xué)習(xí)“有價(jià)值的數(shù)學(xué)”。

關(guān)鍵詞：數(shù)量關(guān)系;小學(xué)數(shù)學(xué);解決問題;重要性

數(shù)學(xué)是一門研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。什么是數(shù)量關(guān)系？數(shù)量關(guān)系是從一類具有共同規(guī)律的數(shù)學(xué)問題中總結(jié)出來的揭示某些數(shù)量之間的本質(zhì)聯(lián)系，并以數(shù)量關(guān)系式來表示這種聯(lián)系的關(guān)系。眾所周知，過去解答應(yīng)用題的“金鑰匙”是分析數(shù)量關(guān)系，也可以說應(yīng)用題教學(xué)離不開數(shù)量關(guān)系的分析。然而，新課程改革后，新教材不再出現(xiàn)“應(yīng)用題”字眼，而是“解決問題”，那么，數(shù)量關(guān)系的分析對(duì)解決問題還存在重要作用嗎？

隨著我國(guó)新課程的改革和進(jìn)一步實(shí)施，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)在新課程理念下提出了新的教學(xué)目標(biāo)。教學(xué)的重點(diǎn)不在于提高學(xué)生的成績(jī)，而是要幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)思維，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，掌握解決實(shí)際問題的能力?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》在“解決問題”課程目標(biāo)中有這樣的表述：“初步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)角度提出問題、理解問題，并且能夠綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，發(fā)展應(yīng)用意識(shí);掌握解決問題的一些基本策略，體驗(yàn)解決問題策略的多樣化，發(fā)展實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神?！爆F(xiàn)在的“解決問題”與傳統(tǒng)的“應(yīng)用題”雖然在呈現(xiàn)方式、素材范圍、學(xué)習(xí)內(nèi)容、價(jià)值取向、教學(xué)方法等方面存在一定的差異，但這種差異是建立在讓學(xué)生更好地感知數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上的，而解決問題的數(shù)學(xué)化過程仍然是建立在數(shù)量關(guān)系分析的基礎(chǔ)上，其解決問題的思維本質(zhì)還是相同的，數(shù)量關(guān)系在現(xiàn)在解決問題教學(xué)中仍然具有重要指導(dǎo)作用。它為小學(xué)生解決同類數(shù)學(xué)問題指明了方向，提供了基本方法，是解決問題的基礎(chǔ)，是一種有數(shù)學(xué)價(jià)值的解決問題的模式。本文就從以下三個(gè)方面來談?wù)剶?shù)量關(guān)系在小學(xué)數(shù)學(xué)解決問題中的重要性。

一、數(shù)量關(guān)系為學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型思想提供了思維模式

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)始終是一個(gè)抽象概括，不斷建立數(shù)學(xué)模型的過程。在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》中也明確指出：“義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程，強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程?！笨梢姡?shù)學(xué)模型仍然是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一項(xiàng)重要任務(wù)。數(shù)量關(guān)系（尤其是數(shù)量關(guān)系式）作為數(shù)學(xué)模型的一個(gè)重要組成部分，為學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題提供了思維方式和支撐。因此，指導(dǎo)學(xué)生解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型。什么是數(shù)學(xué)模型？數(shù)學(xué)模型一般指在解決實(shí)際問題中，要求學(xué)生將實(shí)際問題概括或抽象為數(shù)學(xué)模型來求解。簡(jiǎn)單地說，數(shù)學(xué)模型的建立就是在問題中找到已知量和未知量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，形成數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，找到規(guī)律，沿著正確的思維模式去分析并解決問題。

例如，在北師大版四年級(jí)上冊(cè)“除法”中有一問題：一輛平均速度為98千米/小時(shí)的火車從北京到上海需要約15小時(shí)。我問：從北京到上海有多少千米？學(xué)生通過審題，分析理解，很快得出：98×15=1470（千米）;我再問：京滬高鐵開通后，一輛高速動(dòng)車從北京到上海只需5小時(shí)左右，這輛高速動(dòng)車的速度是多少？由前一問題的解答，學(xué)生也可推出：1470÷5=294（千米/小時(shí)）。最后，我引導(dǎo)學(xué)生回顧整個(gè)分析解答的過程，他們通過自己的觀察發(fā)現(xiàn)，得出以下數(shù)量關(guān)系式：速度×?xí)r間=路程，路程÷時(shí)間=速度。于是，懂得在以后學(xué)習(xí)中遇到同類的路程問題，就可以用此數(shù)量關(guān)系式來解決?？梢?，生活中的實(shí)際問題就是這樣抽象成數(shù)學(xué)模型后得以解決的。

二、數(shù)量關(guān)系是培養(yǎng)學(xué)生解題能力的重要途徑

解決問題的關(guān)鍵在于找到解決辦法。解決辦法的發(fā)現(xiàn)就是要找出問題與條件之間的聯(lián)系，通過分析隱含條件，進(jìn)行從已知到未知的轉(zhuǎn)換，最終解決問題。事實(shí)上，在解決問題的過程中，學(xué)生解題策略、思路的產(chǎn)生都必須建立在對(duì)題目基本數(shù)量關(guān)系的理解和把握上，解答的正確與否取決于能否正確對(duì)數(shù)量關(guān)系進(jìn)行分析。

在課堂上，我們經(jīng)?？吹竭@樣的現(xiàn)象：當(dāng)學(xué)生面對(duì)較復(fù)雜的問題感到無從下手時(shí)，老師引導(dǎo)他們抓住題目的基本數(shù)量關(guān)系（即題目中條件和問題之間的本質(zhì)關(guān)系），他們就可以找到切入點(diǎn)，進(jìn)而順利解決問題。事實(shí)證明：在解決問題時(shí)，都是有意或無意地運(yùn)用數(shù)量關(guān)系的。一是根據(jù)數(shù)量關(guān)系推斷先算什么，后算什么;二是根據(jù)數(shù)量關(guān)系確定每步用什么方法算，如何列式?？梢?，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)分析數(shù)量關(guān)系是培養(yǎng)學(xué)生解題能力的重要途徑。

如北師大版六年級(jí)上冊(cè)第四單元“百分?jǐn)?shù)”中有一個(gè)問題：笑笑買了一支圓珠筆和一支鋼筆，一共用去24元，圓珠筆的單價(jià)是鋼筆的1/5，圓珠筆和鋼筆的單價(jià)各是多少元？初看題目，許多學(xué)生會(huì)覺得很難。但是通過分析數(shù)量關(guān)系，問題就變得簡(jiǎn)單多了：圓珠筆的價(jià)錢+鋼筆的價(jià)錢=24元，圓珠筆的價(jià)錢=鋼筆的價(jià)錢×1/5，或者鋼筆的價(jià)錢=圓珠筆的價(jià)錢×5。有了關(guān)于價(jià)錢的數(shù)量關(guān)系作為列式計(jì)算的理論依據(jù)，實(shí)際問題的解決變得不再困難。

三、數(shù)量關(guān)系是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的重要臺(tái)階

數(shù)學(xué)的價(jià)值在于它源于生活，而又應(yīng)用于生活。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最終目的是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活中的實(shí)際問題，但是要解決什么樣的問題呢？是前人早已解決的問題嗎？還是人們還沒有解決的問題呢？對(duì)于小學(xué)生來說還是以解決前人已經(jīng)解決的問題為主。那么，解決這樣的“不是問題的問題”的價(jià)值何在？事實(shí)上，通過解決這些“不是問題的問題”，不僅可以使學(xué)生學(xué)會(huì)解決問題的技能和方法，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)無處不在、無處不用，培養(yǎng)學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)的積極情感;還可以使學(xué)生在解決問題的過程中，通過對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、技能的“操練”，進(jìn)一步豐富認(rèn)知結(jié)構(gòu)，奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，提升思維能力。最重要的一點(diǎn)是在解決問題的過程中，可以有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神和能力，教會(huì)學(xué)生探索和創(chuàng)新的基本方法，為其今后解決紛繁復(fù)雜的實(shí)際問題打下創(chuàng)新意識(shí)、精神和方法的基礎(chǔ)。

這種創(chuàng)新能力的培養(yǎng)在解決實(shí)際問題的教學(xué)中具體體現(xiàn)為：一是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)抽象思考。要善于把要解決的實(shí)際生活問題去粗取細(xì)，去偽存真，轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題;二是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)分析。要學(xué)會(huì)用猜想、驗(yàn)證、推理、歸納等思維方法去分析數(shù)量關(guān)系，還要學(xué)會(huì)運(yùn)用畫圖、舉例、演示、實(shí)驗(yàn)等輔助手段理解題目?jī)?nèi)容，理清數(shù)量關(guān)系;三是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)概括歸納、反思。如在分析、解決問題的過程中，用到哪些數(shù)學(xué)知識(shí)？你對(duì)這些知識(shí)又有什么新的認(rèn)識(shí)？你又掌握了哪些解決問題的方法？解決這個(gè)問題還有其他方法嗎等。通過概括、反思，引導(dǎo)學(xué)生建立這類問題的模型，提高認(rèn)知能力;四是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)應(yīng)用。解決問題的學(xué)習(xí)，從生活問題開始，最后又回到生活問題，這個(gè)過程不是原地畫圈，而是沿著臺(tái)階層層上升，學(xué)生在此過程中完成了感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的不斷發(fā)展。應(yīng)用所學(xué)解決新的、更為復(fù)雜的問題的過程，無疑是一個(gè)創(chuàng)新思維和創(chuàng)造能力發(fā)展的過程。當(dāng)然，在運(yùn)用數(shù)量關(guān)系解決問題的訓(xùn)練過程中，則要把握一個(gè)“度”，重理解感悟，重實(shí)踐應(yīng)用，堅(jiān)決摒棄游離于思維以外的“套路”式機(jī)械訓(xùn)練，要以學(xué)生能說出思維過程，能說出其中道理，進(jìn)而達(dá)到在遷移應(yīng)用基礎(chǔ)上進(jìn)行創(chuàng)新應(yīng)用為目的。

北京師范大學(xué)周玉仁教授在《關(guān)于“解決問題”教學(xué)的若干問題的思考》一文中指出：小學(xué)生在解決問題的過程中，實(shí)質(zhì)是完成了兩次認(rèn)識(shí)的轉(zhuǎn)化，第一個(gè)轉(zhuǎn)化是指從紛亂的實(shí)際問題中收集、觀察、比較、篩選出有用的信息，從而抽象出數(shù)學(xué)問題;第二個(gè)轉(zhuǎn)化是根據(jù)已經(jīng)抽象出的數(shù)學(xué)問題，全面分析其中的數(shù)量關(guān)系，從而探索解決問題的方法，進(jìn)而在實(shí)踐中進(jìn)行檢驗(yàn)和應(yīng)用。這兩個(gè)轉(zhuǎn)變是相輔相成、缺一不可的。事實(shí)上，傳統(tǒng)問題教學(xué)過于注重二次轉(zhuǎn)化，忽視了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的過程;課程改革后，教學(xué)的重點(diǎn)過于集中于對(duì)信息的匯總，使得數(shù)量關(guān)系的形成與分析相對(duì)薄弱，導(dǎo)致教學(xué)難免從“生活情境”直接走向“應(yīng)用”，忽視了“數(shù)量關(guān)系形成”的重要數(shù)學(xué)建模過程。這樣的教學(xué)削減了學(xué)生解決問題時(shí)的思維過程，減少了學(xué)生數(shù)學(xué)理解空間的發(fā)展，遠(yuǎn)遠(yuǎn)未達(dá)到“解決問題”的教學(xué)目標(biāo)。

因此，一線教師應(yīng)該清晰地看到：在新課程對(duì)解決問題的教學(xué)改革中，數(shù)量關(guān)系的教學(xué)仍是重要環(huán)節(jié)，它將承載著學(xué)生的認(rèn)知“由表及里”“由淺入深”的質(zhì)的飛躍。在解決問題的教學(xué)中，對(duì)數(shù)量關(guān)系的剖析、提煉、概括、分析，有利于幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型思想，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、解題能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新能力，有利于學(xué)生學(xué)習(xí)“有價(jià)值的數(shù)學(xué)”。學(xué)生只有形成對(duì)數(shù)量關(guān)系的整體認(rèn)識(shí)和結(jié)構(gòu)把握，形成運(yùn)用數(shù)量關(guān)系解決實(shí)際問題的基本能力，才能真正學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的思維、數(shù)學(xué)的方法去認(rèn)識(shí)世界，去主動(dòng)解決實(shí)際問題。

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編輯 王彥清