基于數(shù)學(xué)史視角下的雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)設(shè)計(jì)

陸文婷 韋宏

[摘 要]在數(shù)學(xué)史視角下可以向我們揭開數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)問題等知識(shí)發(fā)生和發(fā)展的過程。通過數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，將概念起源和歷史向?qū)W生展示清楚，不僅可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的深刻認(rèn)識(shí)，而且能把數(shù)學(xué)文化與教學(xué)活動(dòng)有效結(jié)合起來。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)史;雙曲線;雙曲線方程;數(shù)學(xué)文化

[作者簡(jiǎn)介]陸文婷（1999—），女，廣西欽州人，南寧師范大學(xué)2019級(jí)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院碩士研究生，研究方向?yàn)閷W(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）;韋 宏（1968—），男，廣西上林人，碩士研究生導(dǎo)師，南寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院副教授，主要從事學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）研究。

[中圖分類號(hào)] G640[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1674-9324（2020）45-0-02[收稿日期] 2020-05-14

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中明確指出：“數(shù)學(xué)文化應(yīng)融入數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)。在教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)有意識(shí)地結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，將數(shù)學(xué)文化融入教學(xué)，有利于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，有利于開拓學(xué)生的視野、提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)?！?/p>

在以往的雙曲線教學(xué)中，學(xué)生按照老師的要求直接模仿橢圓概念得出雙曲線的概念、標(biāo)準(zhǔn)方程以及性質(zhì)，但是這樣學(xué)生并不明白雙曲線概念的本質(zhì)。將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)概念教學(xué)不僅有利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的形成過程，而且能提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)文化的認(rèn)同感，彰顯數(shù)學(xué)的育人價(jià)值。本文以雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程的教學(xué)設(shè)計(jì)為例進(jìn)行分析。

一、教學(xué)目標(biāo)

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：一是學(xué)生能夠理解雙曲線的有關(guān)概念，掌握雙曲線定義的代數(shù)形式。二是學(xué)生經(jīng)歷分析、歸納、推理和類比的探究雙曲線方程過程。三是學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)文化的人文價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值。

二、數(shù)學(xué)史融入設(shè)想材料選擇

圓錐曲線是最先研究為了解決數(shù)學(xué)“倍立方問題”而引起的。門奈赫莫斯曾經(jīng)用了兩種方法解決了“倍立方問題”，與此也就發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線。阿波羅尼奧斯在前人的基礎(chǔ)上繼續(xù)研究了圓錐曲線得到了許多圓錐曲線的性質(zhì)，這些研究成果也就是他的著作《圓錐曲線論》。由于在其著作中關(guān)于雙曲線的定義正是現(xiàn)在教材中的標(biāo)準(zhǔn)定義及其有關(guān)性質(zhì)的證明符合學(xué)生的幾何水平，所以本文采用阿波羅尼奧斯的雙曲線產(chǎn)生與定義證明的數(shù)學(xué)史來融入雙曲線教學(xué)。通過經(jīng)歷歷史上對(duì)雙曲線探索向?qū)W生揭示曲線本質(zhì)，即平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離與定長關(guān)系。抓住了本質(zhì)，學(xué)生在探索雙曲線時(shí)就可以追溯數(shù)學(xué)定理、法則。本文以數(shù)學(xué)史融入雙曲線概念教學(xué)為例，培養(yǎng)學(xué)生追溯數(shù)學(xué)定理、法則能力和解決問題能力，從而在概念教學(xué)中滲入核心素養(yǎng)，有助于學(xué)生在后續(xù)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)起到重要的作用。

三、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）復(fù)習(xí)舊知引入，設(shè)置問題驅(qū)動(dòng)

教師引導(dǎo)學(xué)生回憶橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)并提出問題（1）：我們知道橢圓是由一個(gè)平面截一個(gè)圓錐得到的，有沒有其他方式去截圓錐？并引導(dǎo)學(xué)生討論。

師生活動(dòng)：教師展示平面和圓錐的圖片，學(xué)生嘗試?yán)脠D片和空間想象能力找出不同于橢圓的截線并互相交流。然后，教師引導(dǎo)學(xué)生將平面與不過頂點(diǎn)且與底面相交的圓錐相截，并得到結(jié)論：所截得到的截線不同于橢圓的一個(gè)弧形線。

設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)橢圓的相關(guān)知識(shí)，可以為后續(xù)的雙曲線做對(duì)比鋪墊。學(xué)生通過探究截線的過程可以發(fā)展他們的空間想象和思維發(fā)散能力，同時(shí)也讓學(xué)生明白為什么要學(xué)習(xí)這個(gè)知識(shí)，是因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)圓錐被不同位置的截面可以產(chǎn)生不同的截線。

（二）概念形成，符號(hào)定義

1.推廣切割，引出概念。教師將問題（1）推廣到其他情形，把截一個(gè)圓錐改成截兩個(gè)對(duì)頂?shù)膱A錐，出示問題（2）。

問題（2）：用剛才的截法去截兩個(gè)對(duì)頂?shù)膱A錐會(huì)得到什么樣的圖形？

師生活動(dòng)：基于問題（1）的做法，教師引導(dǎo)學(xué)生將平面與不過頂點(diǎn)且與底面相交的兩個(gè)圓錐相截得到的截線就是今天要學(xué)習(xí)的雙曲線。

然后，教師指出這種截面得到的圖形的方法其實(shí)由來已久，并向?qū)W生介紹阿波羅尼奧斯的故事和用幾何畫板展示平面截圓錐的動(dòng)態(tài)過程：

阿波羅尼奧斯對(duì)圓錐曲線研究成果寫成一本著作《圓錐曲線論》。其中問題（1）中的截線被阿波羅尼奧斯稱為超曲線，也就是今天“雙曲線的一支”。問題（2）中截線是超曲線，這樣的兩條截線被稱為是“二相對(duì)截線”，也就是今天的雙曲線。而“雙曲線”這個(gè)名字是由我國清代數(shù)學(xué)家李善蘭在其著作《代微積拾級(jí)》翻譯過來的。

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}（1）的探究得到了雙曲線的一支，問題（2）得到的是今天教材的雙曲線。問題探究讓學(xué)生經(jīng)歷雙曲線知識(shí)的產(chǎn)生過程，引入數(shù)學(xué)史是學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)文化的人文價(jià)值。借助幾何畫板來動(dòng)態(tài)向?qū)W生展示平面截圓錐得到的雙曲線截線，使學(xué)生深刻感受雙曲線的幾何表征。

2.提出猜想，推理驗(yàn)證。問題（3）：對(duì)于得到的雙曲線，你想研究它的什么？

師生活動(dòng)：學(xué)生模仿已學(xué)過的橢圓相關(guān)性質(zhì)來探究雙曲線的性質(zhì)。教師引導(dǎo)學(xué)生討論后，介紹阿波羅尼奧斯研究雙曲線的性質(zhì)并和學(xué)生一起證明。

“二相對(duì)截線”的軸為AB，中心為C，且矩形AD·DB和矩形AE·EB都等于圖形的四分之一，以貼合點(diǎn)E和D到截線上任一點(diǎn)F的連線為EF和FD。且∠KFD=∠GFH。

證明：如圖所示，設(shè)過F作切線FKH，過C作GCH平行于FD，所以∠KHG=∠KFD;又因?yàn)椤螷FD=∠GFH，所以GF=GH;因?yàn)镃為軸AB的中心，所以AC=CB、EC=CD;因?yàn)镚F=GH、AE=BD，所以GH=EG，所以FE=2GH。又因?yàn)橐炎CCH=CB，所以EF=2（GC+CB）;因?yàn)镕D=2GC，且AB=2CB，所以FE=FD+AB，即FE-FD=AB。

設(shè)計(jì)意圖：教師與學(xué)生一起證明得到雙曲線上以貼合點(diǎn)E和D到截線上任一點(diǎn)F的連線EF和FD的差是一個(gè)定值A(chǔ)B。此證明結(jié)果與橢圓定義對(duì)比發(fā)現(xiàn)都是平面內(nèi)到定點(diǎn)距離與定長關(guān)系的曲線，這也是曲線的本質(zhì)。學(xué)生在橢圓的基礎(chǔ)上體驗(yàn)追溯雙曲線的定義，在后續(xù)的拋物線就順利追溯出相關(guān)定義。

3.概念本質(zhì)，符號(hào)定義。問題（4）：能不能用數(shù)學(xué)式子表示得到的結(jié)論？

師生活動(dòng)：師生通過類比歸納證明過程與結(jié)論共同得到雙曲線的定義：把平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)（小于F1F2）的點(diǎn)的軌跡方程叫作雙曲線。兩個(gè)定點(diǎn)叫作雙曲線的焦點(diǎn)（阿波羅尼奧斯沒有給出“焦點(diǎn)”的定義，而把焦點(diǎn)說成是“由貼合產(chǎn)生的”，把它叫作“貼合點(diǎn)”）用數(shù)學(xué)符號(hào)表示：||PF1|-|PF2||=2a（2a

設(shè)計(jì)意圖：教師向?qū)W生重構(gòu)知識(shí)的發(fā)生，學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)在發(fā)展的過程中數(shù)學(xué)家經(jīng)過火熱的思考，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解。讓學(xué)生用符號(hào)表征概念，有利于樹立學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，發(fā)展數(shù)學(xué)觀念。

（三）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

問題（5）：能不能類比橢圓方程推理過程，推理得到雙曲線的方程？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生類似推導(dǎo)橢圓方程一樣，建立直角坐標(biāo)系，并用借助余弦定理和勾股定理探究雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)。學(xué)生合作求出雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程后引導(dǎo)學(xué)生思考焦點(diǎn)如果在y軸上，得到的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生經(jīng)歷分析、歸納、推理和類比的探究雙曲線方程過程，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（四）鞏固練習(xí)，加深概念認(rèn)識(shí)

選擇一些辨別雙曲線定義和求滿足某些條件的標(biāo)準(zhǔn)方程（列出具體題目略）

設(shè)計(jì)意圖：利用練習(xí)讓學(xué)生領(lǐng)略數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值，有利學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的形成過程，提高教學(xué)效果完成教學(xué)目標(biāo)，而且能提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)文化的認(rèn)同感，彰顯數(shù)學(xué)的育人價(jià)值。

四、結(jié)語

教師利用數(shù)學(xué)史融入雙曲線教學(xué)，通過探究驗(yàn)證過程讓學(xué)生明白知識(shí)的產(chǎn)生與來源，并在探究過程與歷史人物的思想產(chǎn)生思維的碰撞，學(xué)生可以穿過時(shí)間的洪流與歷史人物有思維的共鳴。并且在這思維碰撞中培養(yǎng)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、定理法則的追溯能力與習(xí)慣。進(jìn)而有利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的形成過程，能提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)文化的認(rèn)同感，彰顯了數(shù)學(xué)的育人價(jià)值。

參考文獻(xiàn)

[1]中華人民共和國教育部制定.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2017年版[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]Apollonius of Perga，圓錐曲線論（朱恩寬，等，譯）[M].西安：陜西科學(xué)技術(shù)出版社，2007：230-232.

[3]侯代忠，喻平.彰顯數(shù)學(xué)文化：教學(xué)設(shè)計(jì)中的三個(gè)自問[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2018，57（9）：32-36.

Teaching Design of Hyperbola and its Standard Equation from the Perspective of Mathematical History

LU Wen-ting， WEI Hong

（College of Mathematics and Statistics， Nanning Normal University， Nanning， Guangxi 530299， China）

Abstract： From the perspective of the history of mathematics， we can reveal the occurrence and development process of mathematical concepts， mathematical thoughts and mathematical problems. By integrating the history of mathematics into mathematics teaching and showing the origin and history of concepts to students clearly， it can not only promote students' deep understanding of mathematical concepts， but also effectively combine mathematical culture with teaching activities.

Key words： history of mathematics; hyperbola; hyperbolic equation; mathematical culture