論數(shù)學(xué)解題的三歸納

韋宏 陸文婷

[摘 要]在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)解題教學(xué)和學(xué)生數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，存在著“重結(jié)果、輕過(guò)程”的弊端。文章從解題的橫向、縱向和深向三個(gè)方面引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)解題后的歸納，并以一道中學(xué)數(shù)學(xué)題目為例，說(shuō)明“三歸納”的應(yīng)用。解題三歸納不僅能提升學(xué)生解題能力，而且有助于提升數(shù)學(xué)思維能力和掌握數(shù)學(xué)解題規(guī)律。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué);問(wèn)題解決;解題三歸納

[作者簡(jiǎn)介]韋 宏（1968—），男，廣西上林人，理學(xué)碩士，南寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院副教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)與研究;陸文婷（1999—），女，廣西欽州人，南寧師范大學(xué)2019級(jí)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院碩士研究生在讀，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)與研究。

[中圖分類號(hào)] G640[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1674-9324（2020）47-0-02[收稿日期] 2020-05-14

喬治·波利亞是著名的數(shù)學(xué)家，他把對(duì)數(shù)學(xué)解題的研究所得寫(xiě)成《怎樣解題》一書(shū)。書(shū)中將解題過(guò)程分為“弄清問(wèn)題”“擬定計(jì)劃”“實(shí)現(xiàn)計(jì)劃”和“回顧”四個(gè)步驟。但實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，數(shù)學(xué)解題教學(xué)大部分情況都是教學(xué)生如何找到解決問(wèn)題的思路和方法，也就是大多關(guān)注的是解題表中的前三個(gè)步驟，而往往忽略了第四個(gè)步驟“回顧”。[1]不利于學(xué)生數(shù)學(xué)問(wèn)題解決和學(xué)習(xí)的能力、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展。因此，“回顧”是解題活動(dòng)中很重要的環(huán)節(jié)，對(duì)解題學(xué)習(xí)者來(lái)說(shuō)是解題活動(dòng)的開(kāi)始[2]，它更多地帶有“研究性學(xué)習(xí)”的特征。德國(guó)心理學(xué)家鄧克爾（Danker）把解決問(wèn)題的思維過(guò)程分為一般性解決、功能性解決、特殊性解決三個(gè)層次。羅增儒教授在其專著《數(shù)學(xué)解題學(xué)引論》中，基于自己對(duì)數(shù)學(xué)解題的理解，將鄧克爾的三個(gè)問(wèn)題解決層次在數(shù)學(xué)解題思維過(guò)程中的作用解釋為：一般性解決即在策略水平上的解決，以明確解題的大致范圍或總體方向，這是對(duì)思考作定向調(diào)控;功能性解決即在數(shù)學(xué)方法水平上的解決，以確定具有解決功能的解題手段;特殊性解決即在數(shù)學(xué)技能水平上的解決，以進(jìn)一步縮小功能性解決的途徑，明確運(yùn)算程序或推理步驟，這是對(duì)細(xì)節(jié)作實(shí)際完成[3]。顯然，解題并不是純粹地通過(guò)題海戰(zhàn)術(shù)得到答案，而是要在方法、技能、策略以及思想方法等方面的發(fā)展以便在其他問(wèn)題上能得到更好的解決[4]。故需要把解題之后的回顧歸納，當(dāng)作是解題過(guò)程的繼續(xù)。本文認(rèn)為教師通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生在解題“三歸納”解題過(guò)程，不僅能提升解題能力，而且有助于提升數(shù)學(xué)思維能力和掌握數(shù)學(xué)解題規(guī)律。

一、數(shù)學(xué)解題“三歸納”：橫向歸納，找知識(shí)區(qū)別豐富知識(shí)圖式

心理學(xué)研究表明，人們問(wèn)題解決的思維過(guò)程一般是按層次進(jìn)行的，總是從粗到細(xì)，從一般到具體。鄧克爾的三層次理論的第一層次也表明：學(xué)生在解題的初時(shí)，對(duì)問(wèn)題的條件和結(jié)論通過(guò)運(yùn)用直覺(jué)思維進(jìn)行表征轉(zhuǎn)化之后形成整體性認(rèn)識(shí)，從而可以確定出解題的方向，這是對(duì)題目思考的定向策略，從而在哲學(xué)意義上題目算是解決了。而解題的第一步就是通過(guò)題目的條件和結(jié)論明確解題的方向，這過(guò)程就是一個(gè)哲學(xué)意義上的思維策略。它可以為解題者提供達(dá)到目標(biāo)的最初幾步，雖然有可能只是得到幾步，不是達(dá)到了目標(biāo)，但它卻可以指出達(dá)到目標(biāo)的正確方向。也就是說(shuō)解題的首要過(guò)程是明確“怎樣思考”，通過(guò)解題的橫向歸納可以更容易使解題者得到“怎樣思考”，進(jìn)而使題目得到正確的方向。解題橫向歸納主要包括這幾個(gè)方面：歸納一：在哪里見(jiàn)過(guò)這個(gè)問(wèn)題，或者是見(jiàn)過(guò)與其有關(guān)的問(wèn)題;歸納二：它們之間的區(qū)別聯(lián)系，是圖類似？條件類似？過(guò)程類似？還是結(jié)論類似？歸納三：它們的出題背景？通過(guò)歸納題目的條件與結(jié)論之間的表征，在知識(shí)之間建立起聯(lián)系，理清知識(shí)之間的關(guān)系，從而達(dá)到豐富或形成學(xué)生的知識(shí)圖式的目的。

二、數(shù)學(xué)解題“三歸納”：縱向歸納，做知識(shí)方法梳理嚴(yán)謹(jǐn)邏輯

羅增儒教授認(rèn)為數(shù)學(xué)知識(shí)能夠提供一種簡(jiǎn)潔精確的形式化語(yǔ)言、能提供嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砗涂茖W(xué)抽象的工具。鄧克爾的思維三層次理論也表明了，解決問(wèn)題的思維功能性解決就是數(shù)學(xué)方法水平上的解決。比如解決數(shù)量關(guān)系的表示（具體建立函數(shù)關(guān)系、列出方程）等，方法的選擇運(yùn)用（坐標(biāo)法、待定系數(shù)法）等。從某種程度上講，數(shù)學(xué)方法就是數(shù)學(xué)的本質(zhì)。而數(shù)學(xué)方法都是來(lái)源于對(duì)課本知識(shí)的總結(jié)，只有解題結(jié)束之后，歸納所解題目中所包含的課本中的知識(shí)總結(jié)方法，才能從傳統(tǒng)題海戰(zhàn)術(shù)的解題中走出來(lái)。羅增儒教授把數(shù)學(xué)解題方法分為三類，其中第一類是學(xué)科創(chuàng)立的方法，比如公理化方法、模型化方法等。第二類是思維的方法，比如實(shí)驗(yàn)、猜想等。第三類是具體解題的方法，比如消元法、不等式的放縮法等?？v向歸納就是對(duì)知識(shí)處理方法的梳理，其中可以歸納以下幾個(gè)方面：第一，“這是什么類型的題目？”是代數(shù)題還是幾何題？第二，“這道題的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是什么？”第三，“這道題的解題方法是什么？”通過(guò)對(duì)題型到解題轉(zhuǎn)折再到解題方法的歸納，可以使學(xué)生在解題邏輯上清晰嚴(yán)謹(jǐn)。

三、數(shù)學(xué)解題“三歸納”：深向歸納，得知識(shí)升華

數(shù)學(xué)思想方法可以在解題中轉(zhuǎn)理論為認(rèn)識(shí)、化未知為已知，這就是數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)解題中的強(qiáng)大威力。一方面數(shù)學(xué)思想方法需要通過(guò)一定的解題方法來(lái)體現(xiàn)的，這也從側(cè)面展示出解題需要做縱向歸納。另一方面，每一種解題方法都包含著一定的數(shù)學(xué)思想。是以，教師不僅需要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)本題進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)的橫向歸納和解題方法上的縱向歸納，而且還要對(duì)題目進(jìn)行深向歸納，即解題方法、數(shù)學(xué)思想方法或者解題程序的歸納，讓學(xué)生明白得到答案并不意味著解題結(jié)束。從數(shù)學(xué)思想方法來(lái)做深向歸納，可以使學(xué)生將知識(shí)升華或內(nèi)化為自己的東西。深向歸納包括以下幾個(gè)方面：第一，解題程序。第二，解題數(shù)學(xué)思想方法。

四、解題三歸納的實(shí)例應(yīng)用

具體以2019年數(shù)學(xué)高考全國(guó)三卷（文科）第21題為例，闡述解題三歸納的應(yīng)用：

橫向歸納：第一，相較于2018年的橢圓與直線位置關(guān)系出題背景，本題是直線與圓及拋物線的位置關(guān)系。2018年是中點(diǎn)和等差數(shù)列的問(wèn)題，而本題是中點(diǎn)與圓的方程問(wèn)題。第一問(wèn)考查了拋物線的阿基米德三角形，與2018年的全國(guó)三卷（理科）第16題背景一樣，都是弦AB必過(guò)焦點(diǎn)問(wèn)題。第二，本題的知識(shí)點(diǎn)考查了直線的斜率公式、韋達(dá)定理的應(yīng)用、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、圓的方程的相關(guān)問(wèn)題、圓錐曲線相關(guān)的定點(diǎn)問(wèn)題和直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題。對(duì)出題背景和知識(shí)類型的歸納雖然還沒(méi)有達(dá)到目標(biāo)，但它卻可以指出達(dá)到目標(biāo)的正確方向。

縱向歸納：第一，這是一道代數(shù)題，所以可以利用有關(guān)代數(shù)題的解題方法處理。第二，對(duì)于本題第一問(wèn)求含參直線過(guò)定點(diǎn)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)的幾何意義及斜率公式的應(yīng)用，通過(guò)兩公式得出方程，由方程一致性從而可以得到定點(diǎn)。第二問(wèn)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是韋達(dá)定理和垂直關(guān)系得到平面向量積為零。第三，這里題目需要坐標(biāo)法、待定系數(shù)法、點(diǎn)差法。通過(guò)對(duì)縱向做歸納把題目的解決邏輯梳理很清晰，便于學(xué)生后續(xù)對(duì)此類題目的邏輯推理。

深向歸納：第一，對(duì)本題的圓錐曲線相關(guān)的定點(diǎn)問(wèn)題的解題思路做一個(gè)歸納：首先是要設(shè)直線的方程，可以設(shè)為橫截式或斜截式。然后通過(guò)題干所給的已知條件，進(jìn)行正確的運(yùn)算找到斜率與截距的關(guān)系，即可找出直線所過(guò)的定點(diǎn)了。斜率是要分類討論的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，即存在或不存在。當(dāng)明確斜率存在，即直線不垂直橫軸時(shí)，設(shè)直線方程為斜截式;當(dāng)斜率不明確時(shí)，可以設(shè)直線方程為橫截式。第二，討論直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題，我們?cè)趺凑J(rèn)識(shí)這個(gè)問(wèn)題？又是在考我們什么問(wèn)題？此處，首先認(rèn)識(shí)到這是一個(gè)位置關(guān)系的幾何問(wèn)題，其次可以轉(zhuǎn)化為是解決直線與圓錐曲線的交點(diǎn)問(wèn)題的代數(shù)問(wèn)題，再次，轉(zhuǎn)化為求方程組解的個(gè)數(shù)問(wèn)題。即把題目變?yōu)榻鉀Q直線方程與圓錐曲線方程的方程組的解個(gè)數(shù)問(wèn)題。第三，整體來(lái)看解題過(guò)程，我們是從通過(guò)分類思想確定公式，轉(zhuǎn)化位置關(guān)系為交點(diǎn)問(wèn)題，再轉(zhuǎn)化為方程組的解的個(gè)數(shù)問(wèn)題。整個(gè)過(guò)程體現(xiàn)了方程思想方法、分類思想方法、轉(zhuǎn)化化歸思想方法。最終題目變?yōu)榉浅Ｖ庇^的代數(shù)問(wèn)題。

五、小結(jié)

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)要重視學(xué)生數(shù)學(xué)問(wèn)題解決、學(xué)習(xí)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展，在解題活動(dòng)中能夠培養(yǎng)學(xué)生各方面的能力和素養(yǎng)。因此，解題不僅僅是把題目解得答案就結(jié)束了，需要對(duì)解題結(jié)束后的一個(gè)反思?xì)w納。解題三歸納不僅能提升學(xué)生解題能力，而且有助于提升數(shù)學(xué)思維能力和掌握數(shù)學(xué)解題規(guī)律。

參考文獻(xiàn)

[1]葉東輝.解題反思四部曲，提升數(shù)學(xué)思維能力[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2019（03）：48-50.

[2]王宏賓，羅增儒.例談解題回顧的意義[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2007 （05）：3-6.

[3]羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論[M].西安：陜西師范大學(xué)出版社， 2001.

[4]張雄，李得虎.數(shù)學(xué)方法論與解題研究[M].北京：高等教育出版社，2013.

Abstract： In the traditional teaching of mathematics problem solving and the process of students' mathematics problem solving process， there is a problem of "emphasizing the result and neglecting the process". This paper guides students to learn how to solve problems from the horizontal， vertical and in-depth aspects， and takes a middle school math problem as an example to illustrate the application of "three-way induction" method， which can not only improve students' ability to solve problems， but also help students to improve their thinking ability and grasp the rules of mathematical problem solving.

Key words： mathematics; problem solving; "three-way induction" method of problem solving