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    幾何非線性分析的高效高階無網(wǎng)格法

    2020-12-23 02:16:42陳嵩濤段慶林馬今偉
    計算力學(xué)學(xué)報 2020年6期
    關(guān)鍵詞:網(wǎng)格法構(gòu)形軸承座

    陳嵩濤, 段慶林, 馬今偉

    (大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室,大連116023)

    1 引 言

    許多工程問題的力學(xué)分析需考慮結(jié)構(gòu)構(gòu)形的變化,如橡膠材料的大變形等。這一類問題的剛體轉(zhuǎn)動和應(yīng)變很劇烈,小變形假設(shè)失效,需要采用幾何非線性模型進行計算。

    傳統(tǒng)有限元法的形函數(shù)依賴于網(wǎng)格單元,在處理幾何非線性問題時容易因網(wǎng)格畸變而導(dǎo)致計算失敗。與此不同,無網(wǎng)格法[1]的形函數(shù)僅依賴于離散點,無需網(wǎng)格單元,因而處理大變形問題更具優(yōu)勢。目前,無網(wǎng)格法已在幾何非線性的數(shù)值分析中得到廣泛應(yīng)用[2-4]。

    與線性分析不同,求解幾何非線性問題時參考構(gòu)形的選取關(guān)系到分析效率與結(jié)果的精確性,有限元通常選擇相鄰構(gòu)形作為參考構(gòu)形,即UL法,相比于有限元,無網(wǎng)格法求解形函數(shù)導(dǎo)數(shù)過程較為復(fù)雜,使用UL法不斷更新構(gòu)形,必然會降低計算效率。針對該問題,需要建立既能及時跟蹤變形又不產(chǎn)生極大計算代價的構(gòu)形更新方式。Léger等[5]發(fā)展了一種介于TL法和UL法之間的構(gòu)形更新方法,即在每個載荷步迭代平衡后將此構(gòu)形作為新的參考構(gòu)形,這種方法比較適用于形函數(shù)復(fù)雜、更新構(gòu)形代價較大的無網(wǎng)格法。

    由于無網(wǎng)格形函數(shù)的豐富性,Galerkin弱形式的準確積分要求較多的區(qū)域積分點,嚴重降低了計算效率。無網(wǎng)格領(lǐng)域已發(fā)展了一些高效積分方法,如Wang等[6]的子域積分、Beissel等[7]的節(jié)點積分和Duan等[8]的穩(wěn)定應(yīng)力點積分等。其中,Chen等[9]發(fā)展的基于應(yīng)變光順的穩(wěn)定相容節(jié)點積分SCNI(Stabilized Conforming Nodal Integration)方法極具吸引力,其突出優(yōu)點是不引入任何人工參數(shù),且能精確通過線性分片試驗。該方法已成功應(yīng)用于幾何非線性分析[10,11],在高度不規(guī)則計算網(wǎng)格下仍展現(xiàn)出良好的計算穩(wěn)定性和效率。Wang等[12]進一步將該方法拓展到板單元的大變形問題,成功克服了剪切自鎖。

    Puso等[13]發(fā)現(xiàn)SCNI仍然可能導(dǎo)致邊界附近鋸齒形振蕩模式的出現(xiàn)。Duan等[14]也指出,即使對于二次無網(wǎng)格近似,SCNI也只能通過線性分片試驗,而不能通過二次分片試驗。本質(zhì)上,SCNI是一點積分方案,只能反映出常數(shù)應(yīng)變場。對于應(yīng)變分布可能較為復(fù)雜的非線性問題,高階方法更能夠精確地再現(xiàn)變形過程,避免體積自鎖。Ortiz等[15]指出,在一些大應(yīng)變算例中低階方法魯棒性較差,對這一類問題發(fā)展高效的高階方法是必要的。Duan等[14]針對線彈性小變形問題發(fā)展了一個三點積分方案,積分點上的形函數(shù)導(dǎo)數(shù)由其與形函數(shù)之間散度定理的離散形式計算。該方法可精確通過二次分片試驗,因而稱之為二階一致三點積分方法QC3(Quadratically Consistent 3-point integration method)。相應(yīng)的,SCNI可稱為線性一致一點積分方法LC1(Linearly Consistent 1-point integration method)。目前,QC3積分方案已成功應(yīng)用于不可壓縮固體[15]、斷裂相場[16]和斯托克斯流[17]等問題,但這些研究仍主要集中在線性分析方面。

    本文把QC3積分方案拓展到幾何非線性分析,并進一步引入Léger等[5]的更新構(gòu)形方法,發(fā)展能夠高效分析大變形問題的高階無網(wǎng)格法,并通過數(shù)值結(jié)果考察和驗證方法的計算精度與效率。

    2 幾何非線性分析列式

    如圖1所示,考慮當前構(gòu)形為Ωn + 1,坐標為xn + 1,自然邊界為Γn + 1,本質(zhì)邊界為Γun + 1,Γun + 1∪Γtn + 1=Γn + 1,Γun + 1∩Γtn + 1= ?。與標準的TL和UL方法不同,本文選取第n個載荷步迭代平衡后的構(gòu)形Ωn作為參考構(gòu)形,該構(gòu)形上的各物理量均標注下標n,如圖1的Γtn和Γun。相應(yīng)地,初始構(gòu)形Ω0的各物理量均標注下標0。圖1的Fn和fn + 1分別表示Ωn相對于Ω0以及Ωn + 1相對于Ωn的變形梯度。

    當前構(gòu)形下,平衡方程及邊界條件為

    (1)

    (2)

    σi jnj=tn + 1ionΓtn + 1

    (3)

    (4)

    式中左端為內(nèi)力虛功Wint,右端為外力虛功Wext。采用本文選取的參考構(gòu)形Ωn,式(4)可表示為

    (5)

    式中bn和tn為定義在參考構(gòu)形下的體力和面力載荷,Sn和En分別為

    (6)

    (7)

    圖1 計算構(gòu)形

    式中Jn= |Fn|,I為二階單位張量,S和E分別為參考初始構(gòu)形的第二Piola-Kirchhoff應(yīng)力(PK2應(yīng)力)和格林應(yīng)變。顯然,Sn和En分別為前推到參考構(gòu)形Ωn的PK2應(yīng)力和格林應(yīng)變[5]。

    采用節(jié)點的無網(wǎng)格形函數(shù)建立位移近似u=NIuI,并代入式(5),則該式左端可表示為

    (8)

    (9)

    (10)

    (11)

    (12)

    (13)

    (14)

    (15)

    (16)

    式中m為節(jié)點數(shù)目,un=xn + 1-xn為參考構(gòu)形到當前構(gòu)形的位移增量。須著重指出的是,本文方法采用Ωn作為計算參考構(gòu)形,因而式(12,14,16)的空間導(dǎo)數(shù)均為對xn的導(dǎo)數(shù),這是與參考初始構(gòu)形的傳統(tǒng)TL法以及參考相鄰構(gòu)形的傳統(tǒng)UL法的核心區(qū)別。

    非線性方程的求解采用牛頓-拉普森迭代算法,計算流程簡述如下。

    (17)

    (3) 建立切線剛度陣K,并通過罰函數(shù)法施加本質(zhì)邊界條件求解增量平衡方程

    (18)

    (19)

    3 二階一致三點積分格式

    由以上列式可以看到,剛度陣的建立需要計算形函數(shù)導(dǎo)數(shù)的區(qū)域積分。由于無網(wǎng)格形函數(shù)是非多項式的有理函數(shù),精確計算該區(qū)域積分需要較多的積分點,故計算效率下降。針對該問題,本文引入Duan等[14]針對線彈性小變形問題發(fā)展的三點積分格式QC3來減少積分點數(shù)目。

    如圖2所示,QC3方法采用背景三角形單元進行積分計算,每個單元僅使用三個積分點(五角星),邊界積分在每條邊上使用兩個一維高斯點(三角形)。QC3方法的核心思想是導(dǎo)數(shù)修正,即積分點上形函數(shù)的空間導(dǎo)數(shù)不采用標準形式,而是由散度定理(20)確定

    (20)

    式中ΩSn為參考構(gòu)形下的背景積分子域,ΓSn為其邊界,q(x) =p,x(x)∪p,y(x),p(x)為MLS形函數(shù)的基底函數(shù)向量。本文采用二次近似,即p(x) =[1xyx2xyy2]T,則q(x) = [1xy]T,因而

    圖2 QC3積分方法

    式(20)實際上表示了三個方程,剛好可以用于確定三個積分點上形函數(shù)的空間導(dǎo)數(shù)。采用數(shù)值積分,式(20)的離散形式為

    (21)

    4 數(shù)值算例

    采用三個算例考察和驗證本文發(fā)展的無網(wǎng)格方法處理幾何非線性問題的有效性。作為對比,對有限元(線性三節(jié)點三角形單元,標識為FEM)、LC1以及積分點上直接使用標準導(dǎo)數(shù)(而非修正導(dǎo)數(shù))的無網(wǎng)格法(標識為ST16,即每個背景三角形單元使用16個積分點)也進行了程序?qū)崿F(xiàn)。

    4.1 淺拱

    如圖3所示,兩端固支弧形淺拱在頂部中心點A處受向下的集中載荷作用[10]。淺拱中性軸半徑為100 mm,拱厚為2 mm,弧對應(yīng)圓心角為 28.06°,楊氏模量E=4.8×103N/mm2,泊松比υ=0.0。無網(wǎng)格離散采用105個節(jié)點,分20個加載步,每步載荷為1 N,各種方法得到的A點處的載荷-位移響應(yīng)如圖4所示??梢钥闯觯疚牡腝C3方法以及ST16方法的結(jié)果與解析解吻合良好,但是FEM和LC1方法的計算結(jié)果明顯偏離了解析解。應(yīng)說明的是,F(xiàn)EM的結(jié)果通過加密網(wǎng)格和改變構(gòu)形更新方式(如采用UL法)可以得到顯著改善。

    圖3 受集中載荷的淺拱

    圖4 淺拱A點處的載荷-位移響應(yīng)

    QC3與ST16的計算精度相當,但QC3更為高效,表1比較了三種無網(wǎng)格方法在四種計算節(jié)點配置下消耗的CPU時間。顯然,QC3的計算時間大約僅為ST16的1/4。

    4.2 懸臂梁

    如圖5所示,懸臂梁一端固支,另一端部中心A處受向上的集中載荷作用[10],梁長為20 mm,厚度為1 mm,楊氏模量E=4.8×103N/mm2,泊松比υ=0.0。采用405個節(jié)點離散,分100個加載步加載,每步載荷為0.1 N,QC3方法得到的變形過程如圖6所示,載荷-位移響應(yīng)的比較如圖7所示。QC3和ST16的結(jié)果與解析解吻合,LC1的精度相對較差,F(xiàn)EM則明顯偏離解析解。

    圖8比較了各方法得到的應(yīng)力場。FEM和LC1的應(yīng)力場均出現(xiàn)了明顯的虛假數(shù)值振蕩。本文QC3方法使用的積分點明顯少于ST16,但兩種方法得到了類似的光滑無振蕩的應(yīng)力場。

    表1 淺拱算例的CPU時間比較

    圖5 受集中載荷的懸臂梁

    圖6 QC3方法得到的不同載荷下變形后的懸臂梁

    4.3 軸承座

    如圖9所示,軸承座尺寸為10 cm×10 cm,大孔位于正中心,四角小孔對稱分布,h=1 cm,r=0.5 cm,R=4.5 cm。楊氏模量E=7.9×104N/cm2,泊松比υ=0.33。軸承座的上下表面分別施加向下和向上的不隨構(gòu)形變化的均勻面載荷。無網(wǎng)格計算采用了3830個節(jié)點,如圖9所示,分50個加載步,前25步每步加載2 N直至達到極值載荷50 N,后25步每步卸載2 N直至完全卸載。

    圖7 懸臂梁A點處的載荷-位移響應(yīng)

    圖8 懸臂梁的σx x場

    圖9 軸承座的幾何模型和計算節(jié)點

    圖10為P=20 N時軸承座的y向正應(yīng)力場。以Abaqus結(jié)果為參照,QC3得到的應(yīng)力極值較為準確,而LC1明顯偏離參考解。圖11展示了QC3方法得到的軸承座加卸載的變形過程。在完全卸載后軸承座與初始構(gòu)形吻合良好,無虛假殘余變形,這進一步驗證了本方法計算復(fù)雜結(jié)構(gòu)大變形的能力。

    圖10 軸承座的σy y場

    圖11 QC3得到的軸承座的變形過程

    5 結(jié) 論

    本文將QC3方法拓展到了幾何非線性分析,并采用上一載荷步的收斂構(gòu)形作為計算參考構(gòu)形,針對超彈性材料建立了大變形分析的高階無網(wǎng)格法。與標準的高階無網(wǎng)格法(ST16)相比,本文方法大幅度減少了積分點數(shù)目,節(jié)省了大量的計算時間。與一點積分的高階無網(wǎng)格法(LC1)相比,本文方法具有高得多的計算精度。因此,本文方法有效提高了高階無網(wǎng)格法幾何非線性分析的計算效率,是超彈性材料大變形問題值得考慮的計算方案。

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