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    基于概率密度演化理論的LRB隔震支座時(shí)變可靠度研究

    2020-12-23 02:18:10王思文王憲杰李承玥
    關(guān)鍵詞:鉛芯橡膠材料概率密度

    王思文, 王憲杰, 胡 彪, 李承玥, 張 帆

    (云南大學(xué) 建筑與規(guī)劃學(xué)院,昆明 650500)

    1 引 言

    結(jié)構(gòu)參數(shù)隨機(jī)性對(duì)工程的影響一直伴隨著工程設(shè)計(jì)和建造等全過(guò)程。經(jīng)過(guò)大量研究工作的持續(xù)投入,取得了系列成果[1]。90年代末到新世紀(jì)初,我國(guó)學(xué)者發(fā)展了隨機(jī)系統(tǒng)分析理論,為隨機(jī)結(jié)構(gòu)可靠度的求解提供了新的途徑[2]。李杰等[3]提出隨機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的概率密度演化方法PDEM(Probability Density Evolution Method),可精確高效地獲得隨機(jī)結(jié)構(gòu)概率反應(yīng)信息。梅真等[4]將PDEM方法結(jié)果與統(tǒng)計(jì)結(jié)果對(duì)比,證明了該方法的高效與準(zhǔn)確性。范文亮等[5]基于PDEM方法推導(dǎo)了結(jié)構(gòu)承載力裕度的概率密度演化方程,研究了鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)的體系可靠度等。諸多研究已證明概率密度演化理論這一新方法的應(yīng)用范圍正逐漸普及開來(lái)。

    實(shí)際工程中,隔震支座長(zhǎng)期與外界環(huán)境接觸,不可避免會(huì)老化。同時(shí),在生產(chǎn)支座的過(guò)程中,因材料和尺寸存在不確定因素,致使支座力學(xué)參數(shù)具有一定隨機(jī)性。對(duì)此,已有學(xué)者進(jìn)行了相應(yīng)探究,Kato等[6]發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)期服役后的隔震支座水平剛度顯著增大;Oh等[7]證明加速老化后支座的剪切剛度、能量吸收和等效阻尼系數(shù)受到了影響;薛斌等[8]〗指出橡膠剪切模量和鉛芯屈服強(qiáng)度的變異會(huì)影響等效水平剛度的不確定性。因此,對(duì)支座老化衰退以及參數(shù)的不確定性應(yīng)予以重視。

    等效水平剛度是影響建筑隔震效果的一個(gè)重要力學(xué)指標(biāo),其值越小,隔震效果越好;相反,其值越大,致使上部結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)加大[9]。在役支座剛度減小或增加過(guò)大都不利于隔震建筑的安全性,因此,對(duì)隔震支座可靠度的研究具有重要的工程意義。

    現(xiàn)有關(guān)于支座力學(xué)性能的分析大多是確定性的分析,并沒(méi)有考慮支座材料性能的衰退;或僅考慮材料衰退而忽視了材料衰退與參數(shù)不確定性的耦合影響。在前人對(duì)LRB支座試驗(yàn)研究的基礎(chǔ)之上,本文引入橡膠材料的隨機(jī)性、時(shí)變性及鉛芯彈模的隨機(jī)性,得出橡膠和鉛芯的隨機(jī)時(shí)變本構(gòu)模型,構(gòu)建LRB支座隨機(jī)時(shí)變有限元模型,探究支座等效水平剛度的退化趨勢(shì)。最后,基于極值分布事件概率密度演化理論得出不同老化時(shí)間下支座等效水平剛度的概率密度演化曲線和衰退規(guī)律,求解不同老化年限下LRB支座的時(shí)變可靠度,為隔震工程設(shè)計(jì)和既有隔震支座的更換和維護(hù)提供一定的理論支持。

    2 LRB支座隨機(jī)時(shí)變本構(gòu)關(guān)系

    2.1 Mooney-Rivlin超彈性本構(gòu)模型

    LRB支座中的硫化橡膠材料有著體積不可壓縮的特點(diǎn),且具有優(yōu)良的彈性和恢復(fù)性。和金屬等材料初始時(shí)刻即展現(xiàn)出線彈性本構(gòu)關(guān)系不同,橡膠本構(gòu)具有非線性的特點(diǎn),不能簡(jiǎn)單用彈性模量來(lái)描述,其本構(gòu)可以由式(1,2)表示[10]。

    (1)

    (2)

    式中W為應(yīng)變能函數(shù),N為階次,Ck l為材料常數(shù),k和l為所取級(jí)數(shù)最低次冪第一項(xiàng)對(duì)應(yīng)的指數(shù),一般取0或1,Dk為不可壓縮系數(shù),J為彈性體積比,I1,I2和I3分別為第1,2,3應(yīng)變不變量,λ1,λ2,λ3分別為第1,2,3拉伸比。

    當(dāng)N= 1和I3= 1并取最低次冪時(shí),式(1)可用傅里葉級(jí)數(shù)式表示,即得式(3)的Mooney-Rivlin本構(gòu)模型。對(duì)橡膠而言,材料常數(shù)C10和C01可根據(jù)式(4~6)[11]由橡膠硬度間接換算得出。

    (3)

    lgE0= 0.0238Hr-0.9905

    (4)

    E0= 6(C10+C01),C01= 0.25C10

    (5,6)

    式中Hr為橡膠硬度,E0為橡膠彈性模量,D1為k取1時(shí)對(duì)應(yīng)的不可壓縮系數(shù)。

    2.2 橡膠材料性能的衰變

    LRB隔震支座由鋼材、鉛芯和橡膠組成。其中,鋼板和鉛芯的性質(zhì)較為穩(wěn)定,力學(xué)性質(zhì)改變緩慢,而橡膠材料隨著使用時(shí)間的增加,分子層面的化學(xué)性質(zhì)發(fā)生改變。橡膠老化是一個(gè)緩慢的過(guò)程,為便于試驗(yàn)研究,文獻(xiàn)[12]提出化學(xué)反應(yīng)速度論,并指出實(shí)際環(huán)境中的材料老化時(shí)間與加速老化時(shí)間存在換算關(guān)系。馬玉宏等[13]在其理論基礎(chǔ)上,進(jìn)一步歸納出式(7)。在單純考慮熱老化因素時(shí),對(duì)支座橡膠材料進(jìn)行了2160 h(等同于20 ℃環(huán)境使用180年,詳見(jiàn)文獻(xiàn)[13]圖24)超長(zhǎng)周期的加速老化試驗(yàn),部分試驗(yàn)時(shí)間與自然老化時(shí)間的換算關(guān)系及數(shù)據(jù)列入表1和如圖1所示。

    表1 試驗(yàn)時(shí)間與對(duì)應(yīng)自然環(huán)境20 ℃的老化時(shí)間

    (7)

    式中Ea為反應(yīng)活化能,R為氣體常數(shù),Treal為自然環(huán)境中的絕對(duì)溫度,Ttest為熱氧加速老化試驗(yàn)絕對(duì)溫度,treal為自然老化時(shí)間,ttest為試驗(yàn)老化時(shí)間。

    因我國(guó)建筑設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期較長(zhǎng),一般在50年以上,房屋產(chǎn)權(quán)為70年,具有較長(zhǎng)的使用年限。為使研究范圍覆蓋大多數(shù)房屋的壽命周期,圖1中0~84年數(shù)據(jù)點(diǎn)是下文的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)??梢钥闯觯鹉z的老化并不是線性關(guān)系,在0~16年增加速度較快;隨后因試樣外層橡膠老化起了一定隔絕作用,減慢了內(nèi)部橡膠的老化;16~36年出現(xiàn)了平臺(tái)期,此時(shí)橡膠硬度較穩(wěn)定;在36~84年繼續(xù)上升,與前16年相比增加速度較緩。為了進(jìn)行針對(duì)性分析,選取0年,4年,12年,16年,24年,40年,60年,72年和84年的老化時(shí)間作為目標(biāo)時(shí)刻。

    2.3 支座等效水平剛度不確定性

    目前,已有大部分研究采用確定性的力學(xué)指標(biāo)來(lái)衡量隔震支座的力學(xué)性能。實(shí)際上,支座在制造過(guò)程中不可避免地存在諸多隨機(jī)性因素,如支座的幾何尺寸、材料彈模和橡膠材料常數(shù)等,最終導(dǎo)致支座等效水平剛度的不確定性。本文選定橡膠材料常數(shù)和鉛芯彈模Eq作為L(zhǎng)RB支座材料層面的時(shí)變和隨機(jī)性因素,并假設(shè)其服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。根據(jù)貴州輪胎股份有限公司對(duì)橡膠材料樣品的基礎(chǔ)試驗(yàn)數(shù)據(jù),近似擬合出式(8)所示橡膠材料常數(shù)變異系數(shù)Cv的時(shí)變關(guān)系。變異系數(shù)和材料常數(shù)概率取值列入表2,Eq均值取16000,變異系數(shù)取0.02。式(9,10)即為橡膠和鉛芯材料的隨機(jī)本構(gòu)關(guān)系模型表達(dá)式。

    圖1 加速熱老化試驗(yàn)數(shù)據(jù)[13]

    表2 材料常數(shù)概率信息取值Tab.2 Probability information of material constant

    Cv(t) = 0.000363e0.06201 t+0.04164e0.01213 t

    (8)

    W(μ1,σ1) =C10(μ1,σ1)(I1- 3)+

    (9)

    (10)

    規(guī)范《建筑隔震橡膠支座JG/T118-2018》[14]規(guī)定隔震支座的等效水平剛度計(jì)算式為

    Kh= (Q+-Q-)/(U+-U-)

    (11)

    式中Kh為等效水平剛度,U+和U-為支座的最大和最小位移,Q+和Q-為最大和最小位移對(duì)應(yīng)的最大和最小剪力。

    LRB支座等效水平剛度的理論值計(jì)算式為[15]

    (12,13)

    (14,15)

    3 基于概率密度演化理論極值分布的可靠度求解

    PDEM理論是一種新興的隨機(jī)性理論方法,高效而準(zhǔn)確,為求解復(fù)雜隨機(jī)問(wèn)題提供了一種新的途徑。結(jié)構(gòu)的可靠度可定義為

    R(t) = Pr{X(τ) ∈Ωs, 0≤τ≤t}

    (16)

    式中R(t)為結(jié)構(gòu)可靠度函數(shù),X(τ)為致使結(jié)構(gòu)失效的物理因素,Ωs為安全域,t為參考時(shí)間。

    根據(jù)不同的判別標(biāo)準(zhǔn),PDEM方法求解可靠度問(wèn)題可分為單側(cè)吸壁問(wèn)題和雙側(cè)吸壁問(wèn)題等[16]。規(guī)范[14]指出,老化后支座等效水平剛度的變化量應(yīng)在+20%之內(nèi),存在一側(cè)限值,故適合采用單側(cè)吸壁準(zhǔn)則式(17)來(lái)定義其變化區(qū)間限值。

    R(t) = Pr{X(τ) ≤b, 0≤τ≤t}

    (17)

    根據(jù)PDEM方法的基本思想[17],求解極值分布事件可靠度的核心是構(gòu)造一個(gè)虛擬隨機(jī)過(guò)程Ql(τ),在虛擬時(shí)間τ中使目標(biāo)隨機(jī)變量為該過(guò)程的截口隨機(jī)變量Zl(τ= 1)。以該過(guò)程為橋梁,進(jìn)而求解目標(biāo)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)[18],如式(18,19)。式(20)即為依賴于隨機(jī)參數(shù)Θ定義的隨機(jī)結(jié)構(gòu)反應(yīng)絕對(duì)值的最大值。

    Zl=Ql·τ=Wl(Θ,T) ·τ

    (18)

    Zl=Ql(τ)|τ =1

    (19)

    (20)

    進(jìn)一步,可得到(Ql,Θ)的聯(lián)合概率密度函數(shù)pQl Θ(q,θ,τ)的概率密度演化方程(21)和相對(duì)應(yīng)的初值條件(22)。

    (21)

    pQlΘ(q,θ,τ) |τ = 0=δ(q)pΘ(θ)

    (22)

    式中δ(q)為Dirac函數(shù)。

    求解偏微分方程(21)初值問(wèn)題,聯(lián)立式(21,22)即可求出pQlΘ(q,θ,τ)的數(shù)值解,再代入式(23~25)求出可靠度。

    (23)

    pz1(z) =pQl(q,τ)|q =z,τ =1

    (24)

    (25)

    根據(jù)數(shù)論選點(diǎn)法在三維隨機(jī)變量Θ的三維分布空間Ωθ中選取若干個(gè)代表點(diǎn),求出等效水平剛度Kh。根據(jù)式(19)構(gòu)造的虛擬隨機(jī)過(guò)程如式(26)所示,則虛擬隨機(jī)過(guò)程Z(τ)關(guān)于τ的導(dǎo)數(shù)即為式(27)。

    Z(τ) =Kh(θi,j) · sin(τ· π/2)

    (26)

    式(26)滿足Z(τ)|τ =0= 0,Z(τ)|τ =1=Kh(θi,j),當(dāng)τ= 1時(shí),Z(τ)即為真實(shí)的等效水平剛度。

    4 算例分析

    4.1 參數(shù)選取與有限元模型的建立

    依照?qǐng)D2 所示的LRB支座結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行有限元建模,模型的尺寸大小參照規(guī)范[14]對(duì)支座尺寸規(guī)格的規(guī)定,選取支座直徑為Ф600 mm進(jìn)行建模。為了便于分析,暫不考慮封板中的螺栓和支座橡膠保護(hù)層的厚度,以及外層橡膠老化后對(duì)內(nèi)部橡膠的延緩效果,模型具體尺寸參數(shù)列入表3。

    橡膠材料常數(shù)取值基于表2的概率信息,經(jīng)由數(shù)論選點(diǎn)法生成;鋼板選用Q235鋼,鋼材彈模EG= 206000 MPa,采用隨動(dòng)硬化本構(gòu)關(guān)系[20],應(yīng)力σ1,σ2及應(yīng)變?chǔ)?,ε2的取值分別為235 MPa,444 MPa及0,0.1812,泊松比μG=0.3;鉛芯彈模Eq=16000 MPa;泊松比μ=0.44,屈服強(qiáng)度σs=10.2 MPa,采用理想彈塑性本構(gòu)關(guān)系[21]。

    LRB支座具有軸對(duì)稱的特點(diǎn),為提高收斂性和計(jì)算效率,對(duì)支座模型進(jìn)行如下簡(jiǎn)化。以xOy平面為基準(zhǔn)面,沿X軸方向切去一半,可減少一半網(wǎng)格數(shù)量。因支座在組裝過(guò)程中的硫化工藝可使鋼板層和橡膠層間產(chǎn)生極強(qiáng)的黏結(jié)力,很難產(chǎn)生剝離破壞,且鉛芯在制作時(shí)直徑會(huì)略大于中孔直徑,以使鉛芯和鋼板-橡膠復(fù)合體緊密相連。因此,將支座的鋼板、封板、橡膠層和鉛芯合并為一個(gè)構(gòu)件,細(xì)部構(gòu)造如圖2所示,模型展示如圖3所示。

    因橡膠體積不可壓縮的性質(zhì),取D1=0。為防止模擬過(guò)程中材料進(jìn)入非線性階段發(fā)生體積自鎖的現(xiàn)象,橡膠選用8結(jié)點(diǎn)線性6面體雜交單元C3D8H;鋼板和鉛芯采用8節(jié)點(diǎn)線性6面體減縮單元C3D8R。

    加載方式采用正弦幅值位移加載,位移的限值為±114 mm(即使支座產(chǎn)生100%的剪切變形),僅對(duì)支座上封板圓心施加位移荷載。規(guī)范[14]要求加載頻率f≥0.02 Hz,取f=0.5 Hz。模型底部鎖定所有自由度,剖面方向約束Y方向平動(dòng)自由度,頂部釋放X和Z向平動(dòng)自由度,約束其他自由度。

    《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范GB/50011-2010》[22]規(guī)定,各類隔震建筑支座豎向壓應(yīng)力應(yīng)小于等于15 MPa,綜合考慮課題組涉及隔震項(xiàng)目中柱結(jié)構(gòu)軸力,取壓強(qiáng)P=7.07 MPa。

    4.2 結(jié)果分析

    篇幅所限,在4.1節(jié)加載方式基礎(chǔ)之上,僅繪制出支座經(jīng)4年、16年、60年和84年老化后的滯回曲線(圖4)。隨著老化時(shí)間增長(zhǎng),滯回曲線逐漸呈現(xiàn)出一定的非線性關(guān)系,橡膠老化變硬后不再是最初的理想超彈性本構(gòu),支座性能產(chǎn)生了退化。圖4反映出加載位移不變的情況下,隨著老化時(shí)間增加,支座的反力同步增大,滯回曲線Y軸峰值呈上下移動(dòng)的趨勢(shì),支座變剛。圖5為經(jīng)式(9)計(jì)算后所有目標(biāo)時(shí)刻支座等效水平剛度的變化趨勢(shì)。老化后支座的等效水平剛度(圖5)與橡膠材料的硬度(圖1)有著相似的變化規(guī)律,即隨著時(shí)間推移,剛度以兩次不同的速率增大直至平臺(tái)期,最后以較平穩(wěn)增長(zhǎng)速率繼續(xù)增大。

    表3 LRBФ600支座幾何尺寸

    圖3 LRB支座有限元模型

    但需要指出的是,文獻(xiàn)[23]表明當(dāng)LRB支座產(chǎn)生小應(yīng)變以下剪切變形時(shí)(γ≤150%),有限元方法對(duì)支座剛度的模擬較好,但對(duì)等效阻尼比等其他參數(shù)的模擬存在誤差;支座剪力-位移限值的模擬值與試驗(yàn)值較契合,而式(11)的剛度正是基于該限值求得,因此本文采用有限元方法模擬LRB支座等效剛度具有一定可行性。從圖4可以看出,LRB支座滯回曲線中加載和卸載階段的折角較尖銳,原因在于有限元模擬時(shí)沒(méi)有考慮試驗(yàn)中加載設(shè)備與支座之間的相對(duì)滑動(dòng)。

    在有限元模擬完成后,取Ar=268429.5 mm2,α=0.216,σp b=10.2 MPa,代入式(12~15),即可計(jì)算出等效水平剛度的理論值。目標(biāo)時(shí)刻LRB支座等效水平剛度模擬值與理論值對(duì)比列入表4。

    圖4 部分老化時(shí)間滯回曲線變化

    圖5 等效水平剛度變化趨勢(shì)

    由表4可知,不同老化時(shí)間下,模擬值與理論值的誤差在5%~7%之間,平均誤差為6.3%,采用有限元軟件能夠以較小的誤差對(duì)LRB支座水平力學(xué)性能進(jìn)行模擬,獲得精度良好的等效水平剛度結(jié)果,進(jìn)一步驗(yàn)證了文獻(xiàn)[23]的有限元可較好模擬支座中小應(yīng)變下水平剛度的結(jié)論。采用有限差分法求出方程(21)的解,為了直觀地反應(yīng)等效水平剛度的演化過(guò)程,同時(shí)繪制等效水平剛度2維和3維的概率密度演化曲線(面),如圖(6)所示。

    表4 不同老化時(shí)間支座等效水平剛度模擬值與理論值的對(duì)比

    可以看出,隨著老化時(shí)間增加,概率密度曲線呈現(xiàn)右移,表示LRB支座等效水平剛度產(chǎn)生了如圖5所示的剛度退化,證明概率密度演化理論對(duì)LRB支座等效水平剛度的衰退有良好的表達(dá)。從 圖6 和圖7可以看出,各老化時(shí)間等效水平剛度PDF值表現(xiàn)出下降的趨勢(shì);老化40年之后,下降速率增加且概率密度演化曲線的輪廓逐漸趨于扁平,故老化對(duì)支座等效水平剛度離散性的影響較明顯。

    由式(17)單側(cè)吸壁條件K(τ) ≤2.5,0 ≤τ≤1和式(23~25)可得表5可靠度,變化趨勢(shì)如圖8所示??梢钥闯觯匣笾ё煽慷瘸氏陆第厔?shì),在0~10年可靠度比較穩(wěn)定;10~25年可靠度出現(xiàn)第一次下降;25~41年可靠度進(jìn)入第二個(gè)穩(wěn)定期,41~84年可靠度再次下降;隨著老化時(shí)間增加,支座可靠度變化率逐漸增大。由此可見(jiàn),在LRB支座服役時(shí)間達(dá)到20年前后,要加大檢測(cè)頻率;而40年后,需要檢修或有條件的更換,以確保隔震結(jié)構(gòu)維持設(shè)防的抗震能力。

    圖6 目標(biāo)時(shí)刻概率密度曲線(面)的演變過(guò)程

    圖7 PDF值隨時(shí)間變化情況

    圖8 可靠度隨老化時(shí)間增加的變化趨勢(shì)

    表5 不同老化時(shí)間LRB支座可靠度Tab.5 LRB bearing reliability at different aging times

    5 結(jié) 論

    本文對(duì)LRBФ600支座算例等效水平剛度的衰退趨勢(shì)進(jìn)行了分析,并將有限元模擬值與理論計(jì)算值進(jìn)行對(duì)比,進(jìn)一步驗(yàn)證了有限元方法模擬支座水平剛度的準(zhǔn)確性和可靠性?;诟怕拭芏妊莼碚撉蟪瞿繕?biāo)時(shí)刻支座等效水平剛度與可靠度,最后得到如下結(jié)論。

    (1) 概率密度演化理論可準(zhǔn)確有效地捕捉目標(biāo)時(shí)刻LRB支座時(shí)變本構(gòu)關(guān)系的概率信息,得到等效水平剛度隨老化時(shí)間的演化規(guī)律。支座在老化后,等效水平剛度也隨之增加。

    (2) LRB支座的老化是一個(gè)非線性的過(guò)程。老化后支座外圍橡膠老化變硬延緩了內(nèi)部橡膠的老化,存在兩個(gè)平臺(tái)期,此時(shí)可靠度比較穩(wěn)定。在平臺(tái)期外的兩個(gè)時(shí)間段,可靠度下降較明顯。

    (3) 在橡膠材料常數(shù)和鉛芯彈模時(shí)變變異系數(shù)確定的情況下,老化后各目標(biāo)時(shí)刻概率密度演化曲線的峰值明顯降低,概率密度曲線的形狀逐漸扁平,老化增大了LRB支座等效水平剛度離散性。

    本文的研究為在役LRB隔震支座的維護(hù)和更換提供了一定的理論支持,但不同支座種類橡膠是否均可視為體積不可壓縮材料目前尚不明確,相關(guān)的研究工作,課題組正陸續(xù)開展。

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