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    黏彈夾芯板的有限元建模及實(shí)驗(yàn)研究

    2020-12-23 02:17:04黃志誠(chéng)王興國(guó)吳南星褚福磊
    關(guān)鍵詞:夾芯板表達(dá)式彈性

    黃志誠(chéng), 王興國(guó), 吳南星, 褚福磊, 羅 經(jīng)

    (1.景德鎮(zhèn)陶瓷大學(xué) 機(jī)械電子工程學(xué)院,景德鎮(zhèn) 333403; 2.清華大學(xué) 機(jī)械工程系,北京 100084;3.北京機(jī)械工業(yè)自動(dòng)化研究所有限公司,北京 100084)

    1 引 言

    對(duì)于各種車(chē)輛、飛機(jī)和船舶等,其內(nèi)外部噪聲和振動(dòng)水平是最重要的設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)之一[1]。同時(shí),這些領(lǐng)域經(jīng)常要求控制產(chǎn)品的重量,需要大量使用薄壁件,而因其輕薄的特性,在激勵(lì)下更容易產(chǎn)生振動(dòng)和噪聲。在飛機(jī)和一些高端汽車(chē)中,振動(dòng)主動(dòng)控制是滿(mǎn)足技術(shù)需求的一種方式,但代價(jià)是成本較高[2]。所以,更常見(jiàn)的是在結(jié)構(gòu)中添加被動(dòng)阻尼材料以降低噪音和振動(dòng)水平。其中,被動(dòng)約束層阻尼PCLD(Passive constrained layer damping)形式的應(yīng)用阻尼材料在降低結(jié)構(gòu)振動(dòng)能量方面非常有效[3]。圖1所示的黏彈夾芯板結(jié)構(gòu)即為一典型的PCLD板結(jié)構(gòu)。其技術(shù)原理是高損耗因子黏彈性材料層(如橡膠)附著在基板結(jié)構(gòu)上,并且在其另一側(cè)受到剛性層(如金屬)的約束(約束層)。 因此,當(dāng)基板產(chǎn)生彎曲振動(dòng)時(shí),黏彈性層將經(jīng)受大的剪切變形,使動(dòng)能轉(zhuǎn)化為熱能耗散掉,達(dá)到減振降噪目的。這種結(jié)構(gòu)在沒(méi)有顯著改變構(gòu)件重量的情況下能夠有效地抑制振動(dòng),所以在對(duì)重量有嚴(yán)格限制的場(chǎng)合應(yīng)用廣泛。其動(dòng)力學(xué)建模和振動(dòng)及阻尼特性一直是研究的熱點(diǎn)問(wèn)題。

    本文基于經(jīng)典板理論對(duì)黏彈夾芯板結(jié)構(gòu)進(jìn)行了有限元建模,采用Biot模型描述黏彈性材料參數(shù)的頻率依賴(lài)特性并給出了識(shí)別其參數(shù)的方法。通過(guò)引入輔助坐標(biāo)將Biot模型和黏彈夾芯板的有限元方程相結(jié)合,并將其轉(zhuǎn)化成便于求解的標(biāo)準(zhǔn)二階定常線(xiàn)性系統(tǒng)方程形式。最后,對(duì)黏彈夾芯板的振動(dòng)特性進(jìn)行了分析和實(shí)驗(yàn)研究,結(jié)果表明本文方法是正確可靠的,對(duì)同類(lèi)工程振動(dòng)問(wèn)題的解決有一定參考應(yīng)用價(jià)值。

    圖1 黏彈夾芯板結(jié)構(gòu)

    2 有限元建模

    2.1 基本假設(shè)

    假設(shè)黏彈夾芯板的兩個(gè)彈性層(基板和約束層)的剪應(yīng)變忽略不計(jì),只考慮中間黏彈性層的剪應(yīng)變;各層沿厚度方向的撓度變化可忽略,即三層具有相同的撓度,中面只發(fā)生彎曲變形;彈性層不耗散振動(dòng)能量,黏彈性層為不可壓縮材料,通過(guò)剪切變形耗散能量;黏彈性層為線(xiàn)性黏彈性材料,其本構(gòu)模型由復(fù)剪切模量模型表示;各層結(jié)合面完美粘合,不存在相對(duì)滑動(dòng)。

    2.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系

    基于上述假設(shè)和圖2所示的運(yùn)動(dòng)關(guān)系,可得黏彈性層x向和y向位移分別為[14]

    (1)

    (2)

    黏彈性層繞y軸和x軸的剪應(yīng)變分別為

    (3)

    (4)

    式中d= (h3+h1)/2+h2為約束層和基板中面間的距離。

    圖2 xoz截面黏彈夾芯板的運(yùn)動(dòng)關(guān)系

    2.3 自由度與形函數(shù)

    構(gòu)造如圖3所示的夾芯板單元。該單元為四節(jié)點(diǎn)矩形單元,尺寸為2a×2b。每個(gè)節(jié)點(diǎn)有7個(gè)自由度,分別為板單元基板層和約束層面內(nèi)x向和y向位移u1,v1,u3和v3、板的橫向位移w及繞x軸和y軸的轉(zhuǎn)角θx和θy。其空間分布函數(shù)(插值函數(shù))為

    u3=a1+a2x+a3y+a4xy

    v3=a5+a6x+a7y+a8xy

    u1=a9+a10x+a11y+a12xy

    v1=a13+a14x+a15y+a16xy

    w=a17+a18x+a19y+a20x2+

    a21xy+a22y2+a23x3+a24x2y+

    a25xy2+a26y3+a27x3y+a28xy3

    θx= ?w/?y,θy=-?w/?x

    (5)

    式中系數(shù)a1,a2,…,a28由單元4個(gè)節(jié)點(diǎn)的28個(gè)節(jié)點(diǎn)位移向量Δe來(lái)決定。節(jié)點(diǎn)位移向量為

    (6)

    (i= 1,2,3,4)(7)

    因此,單元內(nèi)任意位置(x,y)的位移Δ可由單元節(jié)點(diǎn)位移矢量插值得到,即

    (8)

    將形函數(shù)N代入式(1~4),可得對(duì)應(yīng)于黏彈性層縱向位移u2,v2和剪應(yīng)變?chǔ)脁 z,γy z的形函數(shù)分別為

    (9)

    (10)

    (11)

    (12)

    圖3 28自由度板單元示意圖

    2.4 單元運(yùn)動(dòng)方程

    2.4.1 勢(shì)能

    根據(jù)經(jīng)典板理論[15]可得單元不同層因拉伸和彎曲引起的勢(shì)能為

    (13)

    式中下標(biāo)i(i= 1,2,3)分別表示該參數(shù)屬于基板、黏彈性層和約束層,

    (14)

    為第i(i= 1,2,3)層面內(nèi)彈性矩陣,其中Ei和νi分別為第i層的彈性模量和泊松比,

    (15)

    為第i層的彎曲彈性矩陣,ke i和kb i分別為第i層與拉伸和彎曲相關(guān)的剛度矩陣,其表達(dá)式為

    (16)

    式中Be i和Bb i(i= 1,2,3)分別為基板、黏彈性層和約束層的拉伸和彎曲應(yīng)變-位移矩陣,其表達(dá)式分別為

    (17)

    黏彈性層的剪切應(yīng)變能為

    (18)

    式中G為黏彈性材料的剪切剛度矩陣,其表達(dá)式為

    (19)

    式中Gx為x向剪切模量,Gy為y向剪切模量。本文研究的黏彈性材料為各向同性材料,所以有Gx=Gy=Gv,其中Gv為黏彈性層的剪切模量,一般情況下為復(fù)數(shù)形式。ks v為黏彈性層的剪切剛度矩陣,其表達(dá)式為

    (20)

    式中Bs v為黏彈性層的剪應(yīng)變矩陣,其表達(dá)式為

    (21)

    顯然,單元總勢(shì)能為各層勢(shì)能之和

    (22)

    則單元總剛度陣為各層剛度陣之和

    (23)

    式(23)可簡(jiǎn)寫(xiě)為

    ke=ke+ks v

    (24)

    式中ke為單元的彈性剛度陣,其表達(dá)式為

    (25,26)

    式中G=Gv為黏彈性材料的剪切彈性模量,kv v為單元粘性剛度陣,其表達(dá)式為

    (27)

    2.4.2 動(dòng)能

    板單元各層動(dòng)能也包含拉伸和彎曲動(dòng)能兩部分。第i層(i= 1,2,3)的動(dòng)能為

    (28)

    單元總動(dòng)能為各層動(dòng)能之和,即

    (29)

    應(yīng)用形函數(shù),則可得單元總質(zhì)量陣

    (30)

    式中me i和mb i分別為第i層拉伸和彎曲質(zhì)量陣。這些質(zhì)量陣的表達(dá)式分別為

    (31)

    2.4.3 單元運(yùn)動(dòng)方程

    將單元?jiǎng)菽芗皢卧獎(jiǎng)幽艽牍軤栴D(Hamilton)原理的變分形式可以推導(dǎo)出單元運(yùn)動(dòng)方程

    (32)

    式中Re為單元外部激勵(lì)力。

    2.5 應(yīng)用Biot模型

    黏彈材料拉氏域的切變模量函數(shù)可用Biot模型[16]表示

    (33)

    式中G∞為黏彈材料剪切模量的平衡(穩(wěn)態(tài))值,N為微振子系列項(xiàng)數(shù),{ak,bk}為正常數(shù)。如果取N階微振子,該模型有2N+1個(gè)參數(shù)需要確定。這些參數(shù)可以通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線(xiàn)擬合得到。

    將單元運(yùn)動(dòng)方程(32)進(jìn)行拉氏變換得

    (34)

    將Biot模型的表達(dá)式(33)代入式(34)并引入輔助耗散坐標(biāo)

    (35)

    式中k= 1,2,3,…,N。經(jīng)整理后可得到單元?jiǎng)恿W(xué)方程為

    (36)

    式中

    (37)

    顯然式(36)為普通的二階定常線(xiàn)性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程,求解固有頻率和阻尼等模態(tài)參數(shù)都很直接方便,這一優(yōu)點(diǎn)使得Biot模型具有很好的工程應(yīng)用價(jià)值。

    3 數(shù)值模擬

    考慮三根長(zhǎng)度不同但其他參數(shù)相同的懸臂黏彈夾芯板結(jié)構(gòu),其幾何和材料參數(shù)列入表1。文獻(xiàn)[17]對(duì)這三種不同的懸臂板進(jìn)行了一系列實(shí)驗(yàn)以確定黏彈材料的機(jī)械性能參數(shù)。本節(jié)將應(yīng)用本文板單元分別對(duì)這三種不同的懸臂板進(jìn)行分析,得到其前三階固有頻率和損耗因子,將所得結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值進(jìn)行對(duì)比以驗(yàn)證本文模型。

    表1中黏彈材料的彈性模量實(shí)部和損耗因子隨頻率變化而變化,文獻(xiàn)[17]通過(guò)實(shí)驗(yàn)確定其表達(dá)式分別為

    (38)

    (39)

    式中α=5.26 MPa,β=55.59×106s-1

    δ=6.98×109s-2,ε=0.58 MPa

    式(38,39)通過(guò)數(shù)學(xué)變形得到形如取兩階微振子項(xiàng)的Biot模型表達(dá)式,其參數(shù)可以直接提取,列入表2。

    應(yīng)用本模型分別計(jì)算該板前三階固有頻率和損耗因子值,并與實(shí)驗(yàn)值對(duì)比,結(jié)果列入表3。計(jì)算時(shí),該板沿長(zhǎng)寬方向離散成50×40個(gè)單元。

    表1 懸臂黏彈夾芯板的幾何和材料參數(shù)

    表2 黏彈材料Biot模型參數(shù)

    由表3可知,在對(duì)固有頻率的預(yù)估中,本文模型對(duì)三根板的預(yù)估誤差都在3%以下,最低誤差為1.5%,最高誤差為2.78%,平均誤差為2.13%。在對(duì)結(jié)構(gòu)損耗因子預(yù)估中,本文模型的預(yù)估誤差都在5%以下,最低誤差為2.32%,最高誤差為4.58%,平均誤差為3.25%。上述結(jié)果表明,本文方法是準(zhǔn)確有效的。

    4 實(shí)驗(yàn)研究

    為進(jìn)一步驗(yàn)證本文推導(dǎo)的有限元板模型,對(duì)一黏彈夾芯板進(jìn)行自由振動(dòng)測(cè)試實(shí)驗(yàn)。該板的邊界條件為一邊固支,另三邊自由。長(zhǎng)為290 mm,寬為80 mm,其約束層、黏彈性層和基板厚度分別為1.0 mm,0.5 mm和1.7 mm。其材料參數(shù)列入表4。

    核心層材料選用國(guó)產(chǎn) Z N -1 型黏彈性材料,文獻(xiàn)[18]測(cè)得其在不同激勵(lì)頻率下的儲(chǔ)能模量和損耗因子值,據(jù)此通過(guò)曲線(xiàn)擬合得到其Biot模型參數(shù),列入表5。

    通過(guò)如圖4所示的實(shí)驗(yàn)裝置測(cè)得黏彈夾芯板前三階固有頻率,對(duì)應(yīng)的損耗因子由半功率法得到,然后使用本文推導(dǎo)的有限元模型來(lái)計(jì)算板的固有頻率和損耗因子。計(jì)算時(shí),板沿長(zhǎng)寬方向劃分為20×8個(gè)單元。前三階固有頻率和損耗因子的實(shí)驗(yàn)和計(jì)算結(jié)果列入表6。

    圖4 結(jié)構(gòu)模態(tài)實(shí)驗(yàn)

    表3 不同長(zhǎng)度的黏彈夾芯板前三階固有頻率和損耗因子的實(shí)驗(yàn)值和數(shù)值模擬結(jié)果對(duì)比Tab.3 Comparison of experimental values and numerical simulation results of first three natural frequencies and loss factors of viscoelastic sandwich plates of different lengths

    表4 黏彈夾芯板結(jié)構(gòu)的材料和幾何參數(shù)

    表5 Z N -1型黏彈材料Biot模型參數(shù)

    表6 懸臂黏彈夾芯板前三階固有頻率和損耗因子的計(jì)算和實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較Tab.6 Comparison between calculation and experimental results of first three natural frequencies and loss factors of cantilever viscoelastic sandwich plate

    由表6可知,本文有限元模型的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合良好,這說(shuō)明黏彈性材料Biot模型能夠很好地描述黏彈性材料參數(shù)隨頻率變化的特性,本文黏彈夾芯板有限元模型是準(zhǔn)確有效的。

    5 結(jié) 論

    建立了黏彈夾芯板的有限元?jiǎng)恿W(xué)模型。采用黏彈性材料Biot模型描述其力學(xué)性能參數(shù)的頻率依賴(lài)特性,通過(guò)引入輔助坐標(biāo)將其與三層四節(jié)點(diǎn)28自由度板單元結(jié)合,將黏彈夾芯板的有限元?jiǎng)恿W(xué)方程改造成二階線(xiàn)性系統(tǒng)形式,降低了常規(guī)非線(xiàn)性系統(tǒng)方程的求解難度。通過(guò)數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)研究驗(yàn)證了本文方法的有效性。

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