讓數(shù)學(xué)知識自然生長

王衛(wèi)霞

摘 要：眾所周知，在教學(xué)過程中創(chuàng)設(shè)一定的現(xiàn)實情境，可以幫助學(xué)生體驗生活經(jīng)驗，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，對學(xué)生的學(xué)習(xí)有積極的意義。但是在具體實施的過程中，創(chuàng)設(shè)情境有時會走向極端，甚至到了“無情境不數(shù)學(xué)”的地步，出現(xiàn)為了情境而情境的現(xiàn)象，這樣的數(shù)學(xué)課雖然表面上熱鬧了，但是卻缺少了數(shù)學(xué)本身的趣味，背離了創(chuàng)設(shè)情境為教學(xué)服務(wù)的理念。根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科本身的特點，采取“舉一反三”“數(shù)形結(jié)合”等方法，使數(shù)學(xué)利用自身的力量又好又快地自然生長。

關(guān)鍵詞：核心知識;知識聯(lián)系;舉一反三;數(shù)形結(jié)合

奧蘇貝爾認(rèn)為：“影響學(xué)習(xí)的最重要的因素是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，我們應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生原有的知識狀況去進(jìn)行教學(xué)?！爆F(xiàn)在不少數(shù)學(xué)課尤其是公開課都遵循情境教學(xué)的理念，為學(xué)習(xí)創(chuàng)設(shè)生動有趣的情境。這些情境在一定程度上對激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣有積極的作用。但是筆者認(rèn)為，激發(fā)興趣單純依賴創(chuàng)設(shè)情境是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。數(shù)學(xué)知識之間有其獨有的內(nèi)在邏輯關(guān)系，如果不遵循客觀規(guī)律而人為地去創(chuàng)設(shè)一些情境，那樣課堂雖然熱鬧了，但缺少了知識增長的自然感和連續(xù)感，不利于學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展。本文試圖從數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系出發(fā)，找準(zhǔn)數(shù)學(xué)知識的生長點，幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的速度和質(zhì)量，用數(shù)學(xué)本身的魅力來打動和吸引學(xué)生，構(gòu)建自然生長的數(shù)學(xué)課堂，從而進(jìn)一步提升教學(xué)質(zhì)量。

一、依靠核心知識，促進(jìn)學(xué)生舉一反三

許多學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)存在障礙的學(xué)生認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)科知識點眾多，學(xué)習(xí)起來困難很大。其實在眾多的知識點中，有些知識點處在最基礎(chǔ)、最核心的地位，它們的作用就像植物的種子一樣。牢固掌握了這些“知識種子”，學(xué)生的數(shù)學(xué)知識和技能才能發(fā)芽生長，如果這些知識掌握不好，影響了種子的質(zhì)量，那么學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)將會受到很大的影響。例如：在方程的知識體系中，“等式的性質(zhì)”就是知識的關(guān)鍵。理解掌握了等式的性質(zhì)，我們可以很容易地解答一步計算的方程，繼而可以把形如ax±b=c的兩步計算的方程通過等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化成一步計算的方程來計算，起到舉一反三、融會貫通的作用。

“一生二，二生三，三生萬物?！睌?shù)學(xué)知識也是由處于核心地位的知識慢慢擴(kuò)展、生長，最后形成整個數(shù)學(xué)生態(tài)體系。對于這些核心的知識，我們應(yīng)該抱著怎樣的態(tài)度呢？

有的觀點側(cè)重于機(jī)械傳授，即強(qiáng)調(diào)“間接經(jīng)驗”的傳授，教學(xué)方式僵化，甚至依靠學(xué)生死記硬背。如少數(shù)老師為了提高學(xué)生計算的正確率，要求學(xué)生將圓周率的近似值“3.14”與“1～100”相乘所得的積背下來，這是一個非常艱巨的任務(wù)，這種“高投入，低產(chǎn)出”的粗放式學(xué)習(xí)方式雖然對學(xué)生短期成績的提高有一定的幫助，但是這種機(jī)械做法會扼殺學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，從學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展來看“弊”遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于“利”，其效果無異于“殺雞取卵”。

有的觀點強(qiáng)調(diào)學(xué)生直接經(jīng)驗的獲取，認(rèn)為數(shù)學(xué)課堂上如果沒有采用新理念所倡導(dǎo)的“探究性學(xué)習(xí)”和“小組合作學(xué)習(xí)”，就必然是一節(jié)失敗的課。這種學(xué)習(xí)方式突出了學(xué)生的“主體地位”，對培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問題的能力有著極其重要的作用。但是知識浩如煙海，如果“事必親躬”，走向極端，必定會極大地影響學(xué)習(xí)效率。

以上兩種觀點都是極端和片面的。隨著課程改革的推進(jìn)，融合了“接受學(xué)習(xí)”與“合作學(xué)習(xí)”優(yōu)點的“有意義的接受”與“強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體參與”并重的做法越來越受到人們的重視。這種做法既重視對知識的接受學(xué)習(xí)，又突出學(xué)生的主體地位，發(fā)展學(xué)生的獨立思考能力，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合自身的實踐和經(jīng)驗對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行再加工，從而促進(jìn)學(xué)生知識和技能的全面提升。

二、注重聯(lián)系比較，滋潤知識自然生長

數(shù)學(xué)知識之間有著緊密的聯(lián)系，幫助學(xué)生把握知識發(fā)展的脈絡(luò)，有助于學(xué)生建構(gòu)可持續(xù)的知識發(fā)展體系，形成堅實的知識之網(wǎng)。

1.注重知識的橫向聯(lián)系

教師在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)知識之間的橫向聯(lián)系，有利于學(xué)生對所學(xué)知識進(jìn)行比較分析，從而發(fā)現(xiàn)知識之間的相似之處，利用學(xué)習(xí)舊知的成功經(jīng)驗來作為學(xué)習(xí)新知的鋪墊，有助于新知的理解和同化。

在教學(xué)異分母分?jǐn)?shù)的加法和減法時，一定會涉及分?jǐn)?shù)單位的概念。異分母分?jǐn)?shù)相加減的一個必要的過程就是將異分母分?jǐn)?shù)利用通分轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)，這樣，分?jǐn)?shù)的計數(shù)單位就由不同變?yōu)橄嗤?。為什么要?jīng)歷這樣的過程呢？部分學(xué)生可能會感到不解。教師在教學(xué)時可以引導(dǎo)學(xué)生展開橫向的聯(lián)想：分?jǐn)?shù)單位也是一種計數(shù)單位，類似于整數(shù)的計數(shù)單位“個、十、百”等。聯(lián)系以前整數(shù)、小數(shù)相加減的知識學(xué)生就會明白：整數(shù)相加減時把末位對齊，是為了使相同的數(shù)位對齊;計算小數(shù)相加減時將小數(shù)點對齊，目的同樣是使得兩個數(shù)的“個位和個位”“十分位和十分位”等相同的數(shù)位對齊。通過聯(lián)系和比較，學(xué)生就會從已經(jīng)熟知的數(shù)學(xué)知識中找到新知識的生長點，新知的理解和接受會更加自然。

2.重視知識的縱向聯(lián)系

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是一個由淺入深、循序漸進(jìn)的過程，教學(xué)中注意引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注知識之間的縱向聯(lián)系，使學(xué)生從舊知中發(fā)掘新知的增長點，這正是“溫故而知新”的價值所在。

在概率與統(tǒng)計部分，學(xué)生依次會學(xué)習(xí)到條形統(tǒng)計圖和折線統(tǒng)計圖的有關(guān)知識。新課程標(biāo)準(zhǔn)要求學(xué)生能夠根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)繪制出相應(yīng)的統(tǒng)計圖。眾所周知，條形統(tǒng)計圖是利用條形的高度來表示數(shù)量的多少，而折線統(tǒng)計圖是由一個個的點連接而成的，它是利用點到橫軸間的距離的長短來表示數(shù)據(jù)的多少，從這一點來說，折線統(tǒng)計圖與條形統(tǒng)計圖之間有著密切的聯(lián)系。如果學(xué)生對條形統(tǒng)計圖的相關(guān)知識學(xué)得很好，會對折線統(tǒng)計圖的掌握起到良好的促進(jìn)作用。在教學(xué)折線統(tǒng)計圖時，可以預(yù)先對學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的條形統(tǒng)計圖（如圖1）進(jìn)行復(fù)習(xí)，然后將條形的隱去，只保留標(biāo)志數(shù)量多少的上面一小塊（如圖2）。

這時就可以看成了一個個表示數(shù)據(jù)的“點”（如圖3），然后連點成線，就變成了我們所要學(xué)習(xí)的折線統(tǒng)計圖的新知識（如圖4）。這種做法將新知識的學(xué)習(xí)和學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)緊密聯(lián)系在一起，不僅可以打消學(xué)生對新知的陌生感，還可以使學(xué)生利用已有的知識經(jīng)驗加深對新知的理解，促進(jìn)學(xué)生對新知的掌握。

三、運用幾何直觀，促進(jìn)思維跨界聯(lián)姻

在“數(shù)”與“形”的關(guān)系中，“數(shù)”側(cè)重于抽象邏輯思維，“形”側(cè)重于具體形象思維。小學(xué)階段正是學(xué)生的思維從具體形象思維向抽象邏輯思維的過渡時期。如果教師在課堂上能夠?qū)ⅰ皵?shù)”與“形”巧妙地結(jié)合起來，不僅可以使學(xué)生的多種思維能力得到有效的訓(xùn)練，而且由于多種思維優(yōu)勢互補(bǔ)，對學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識能夠起到出奇制勝的效果。

我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚曾用一首詩來形容數(shù)與形的關(guān)系：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休?！边@首詩很好地說明了“數(shù)形結(jié)合”的巨大作用。

例如，在學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”時可以設(shè)置下圖（如圖5）。圖中有四個大小相同的圓，分別被平均分成了若干份，用陰影部分表示了其中的相應(yīng)部分。其中第一個圖用分?jǐn)?shù)表示為三分之一，第二個圖為二分之一，第三個圖為六分之二，第四個圖為九分之三。學(xué)生依靠觀察可以判斷出第一幅圖與第三、第四幅圖形的陰影部分面積相等，從而得出對分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)的直觀感知。有了直觀形象的支撐，教學(xué)效果要比單純的“就數(shù)論數(shù)”要自然得多。

同樣的，我們在研究“形”的時候可不可以讓“數(shù)”來幫忙呢？答案是肯定的，比如我們在學(xué)習(xí)相鄰體積單位之間的進(jìn)率時，可以設(shè)計這樣的插圖（如圖6）：

左邊是1個大正方體，右邊是1000個小正方體。左邊大正方體的體積是1立方分米，右邊一個小正方體的體積是1立方厘米。這樣的意圖是讓學(xué)生通過比較左、右兩個正方體中單位正方體的個數(shù)，從而明白“1立方分米=1000立方厘米”。在實際的教學(xué)過程中，學(xué)生對于右邊這個圖形中的小正方體的個數(shù)估算缺乏經(jīng)驗，加之學(xué)生對于較大的數(shù)目還沒有比較準(zhǔn)確的體驗，因此盡管老師一再強(qiáng)調(diào)要學(xué)生認(rèn)真觀察，但是還是有很多學(xué)生不敢相信右邊這個正方體中居然包含1000個小正方體，影響了教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成。在這種情況下，借助于“數(shù)”的力量就可以有效解決這個問題。教師可以在正方體相交于同一個頂點的三條棱上分別標(biāo)出正方體的棱長是多少，左邊正方體的棱長以分米作單位，右邊的棱長以厘米作單位。右邊的一個小正方體的棱長是1厘米，體積為1×1×1=1立方厘米。最下面一層包含有“10×10=100個”這樣的小正方體，一共有10層，也就是1000個。因為左邊的正方體的體積是1立方分米，而且左右兩個正方體的體積同樣大，可以很輕松地得出立方分米與立方厘米之間的進(jìn)率為1000。借助“數(shù)”的參與，能夠幫助學(xué)生將本來比較模糊的概念變得清晰“入微”。

數(shù)學(xué)課堂應(yīng)當(dāng)是富含生命活力和張力的課堂，是知識自然生長的課堂。我們要充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情、注重知識的聯(lián)系和發(fā)展、促進(jìn)思維的融合與提高，這樣我們的數(shù)學(xué)課堂才會走上可持續(xù)發(fā)展的道路，真正達(dá)成負(fù)擔(dān)輕、效率高、質(zhì)量好的理想的教育目標(biāo)。

編輯 李 爭