非線性項變號的分數(shù)階微分方程的邊值問題

閆璐

摘 要 首先，介紹了非線性項變號的分數(shù)階微分方程邊值問題解相關(guān)的定義及重要引理。討論Caputo型非線性項變號的分數(shù)階微分方程邊值問題解的存在性以及利用Green公式求邊值問題的解;最后，對該問題上一些理論進行推廣與展望。

關(guān)鍵詞 Caputo型非線性項分數(shù)階微分方程 Green函數(shù)

中圖分類號：O175.8文獻標識碼：A

0引言

近年來，分數(shù)階微積分在物理學(xué)領(lǐng)域的量子力學(xué)方面和固體力學(xué)方面應(yīng)用、環(huán)境力學(xué)領(lǐng)域諸多涉及反常擴散的問題、在黏彈性材料的本構(gòu)關(guān)系研究領(lǐng)域中應(yīng)用;信號處理領(lǐng)域、天氣預(yù)報領(lǐng)域、生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域、地震奇異性分析領(lǐng)域等。

非線性分數(shù)階微分方程邊值問題是目前一個重要的研究方向。二十世紀以來，針對分數(shù)階非線性微分方程邊值問題的主要工具有：Green函數(shù)、Laplace變換、上下解法、Adomian分解方法、Schauder不動點定理、Guo-Kransnoselskii不動點定理法、Banach不動點定理、Leggett-Williams不動點定理等。

本文考慮Caputo型分數(shù)階非線性微分方程的邊值問題，

1預(yù)備知識

引理（一）：Green函數(shù)滿足下面三個條件：

（1）對任意的，;

（2）;

（3）。

則稱為分數(shù)階微分方程的Green函數(shù)。

這里是一些R-L型分數(shù)階算子的線性形式。

引理（二）：設(shè)函數(shù)定義在區(qū)間上，則其階左Caputo型分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的Laplace變換公式為：

，。

引理（三）：如果滿足：任意的常數(shù)，存在，屬于所有實數(shù)，則滿足，且，那么在區(qū)間上存在唯一解。

引理（四）：令，如果，則分數(shù)階微分方程。

有唯一解，，，其中

2主要結(jié)果

考慮線性項變號的分數(shù)階微分方程的邊值問題

（1）

定理（一）：分數(shù)階微分方程（1）在（0，1）上取值，那么方程（1）的唯一解可表示為：，

其中? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （2）

證明：微分方程（1）的解

，

將邊值條件代入上式，

，。因此，微分方程（1）的唯一解可表示為：

定理（二）：根據(jù)以上定理，下面我們給出兩邊邊值Green函數(shù)具有的性質(zhì)：

（1）;

其中

（2）;

其中

定理（三）：Caputo分數(shù)階微分方程式兩點邊值問題：

（2）

當，（2）式的解為，其中

例1：求解分數(shù)階微分方程的邊值：

（3）

解：該方程的解可表示為：，其中，

代入方程（3）

（下轉(zhuǎn)第277頁）（上接第225頁）

求出方程（3）邊值問題解為：

例2：求解分數(shù)階微分方程的邊值：

（4）

解：該方程的解可表示為：，，其中，

則，

由已知，，，從而

于是，所求Caouto型分數(shù)階微分方程（4）邊值問題的解為：

基金項目：2018年陜西省教育廳科研計劃項目資助（項目編號：18JK0987）。

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