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    把脈錯因 遠離陷阱

    2020-12-17 09:35:57
    初中生世界 2020年47期
    關(guān)鍵詞:縱坐標半軸對稱軸

    文 葛 松

    二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)函數(shù)知識塊的重要內(nèi)容之一,也是各地中考試題中考查的重點。我們在解二次函數(shù)的問題時,往往會出現(xiàn)一些不同類型的錯誤,現(xiàn)對幾種常見錯誤分類剖析,供同學(xué)們參考借鑒。

    一、概念不清,忽視字母系數(shù)

    例1若y=(m2+m)xm2+1+2x+3是關(guān)于x的二次函數(shù),則m的值為________。

    【錯解】令m2+1=2,解得m1=1,m2=-1。所以當m=±1 時,y=(m2+m)xm2+1+2x+3 是二次函數(shù)。

    【剖析】出錯的原因是概念不清。函數(shù)y=ax2+bx+c 為二次函數(shù)的條件是二次項系數(shù)a≠0。當m=-1時,此函數(shù)是y=2x+3,此時是一次函數(shù)而不是二次函數(shù)。

    【正解】由m2+1=2,解得m1=1,m2=-1。又因為m2+m≠0,所以m≠0 且m≠-1,所以m1=1。即當m=1 時,函數(shù)為y=2x2+2x+3,是二次函數(shù)。

    【點評】判斷函數(shù)y=ax2+bx+c是二次函數(shù)的兩個條件:①未知數(shù)的最高次數(shù)是2;②二次項系數(shù)a≠0。

    二、考慮不周,忽視分類討論

    例2 若函數(shù)y=(m-1)x2-4x+2m 的圖像與x軸只有一個交點,則m的值為____。

    【錯解】因為函數(shù)y=(m-1)x2-4x+2m的圖像與x 軸只有一個交點,所以b2-4ac=(-4)2-4(m-1)?2m=0,即-8m2+8m+16=0,解得m1=-1,m2=2。

    【剖析】已知條件中,沒有指明這個函數(shù)是關(guān)于x 的二次函數(shù),因此它還可能是一次函數(shù)。此錯解因考慮不全,漏掉了一種情況。

    【正解】(1)當m-1≠0 時,函數(shù)為二次函數(shù),可得m1=-1,m2=2;(2)當m-1=0,即m=1 時,函數(shù)為一次函數(shù)y=-4x+2,它的圖像與x 軸只有一個交點,也滿足題意。綜上可知,m的值為-1或2或1。

    【點評】對于含字母系數(shù)的函數(shù)問題,要重視對字母系數(shù)的討論,要區(qū)別是什么函數(shù),有交點、有一個交點或與坐標軸有兩個交點等,根據(jù)題意加以界定,判斷函數(shù)類型,再去解決問題。

    三、范圍不清,忽視增減性

    例3若點P1(-1,y1)、P2(3,y2)、P3(5,y3)均在二次函數(shù)y=-x2+2x+m 的圖像上,則y1,y2,y3的大小關(guān)系為( )。

    A.y3>y2>y1B.y3>y2=y1

    C.y1>y2>y3D.y1=y2>y3

    【錯解】因為a=-1<0,-1<3<5,所以y3>y2>y1,故選A。

    【剖析】錯解忽視了二次函數(shù)增減性的適用范圍。因為二次函數(shù)的對稱軸是x=1,所以對于二次函數(shù)y=-x2+2x+m 的增減性應(yīng)分為x>1 和x<1 兩種情況討論。當x>1 時,y 隨x 的增大而減??;當x<1 時,y隨x 的增大而增大。對于對稱軸兩側(cè)的點,還應(yīng)根據(jù)拋物線的對稱性轉(zhuǎn)化為與拋物線的對稱軸等距的同側(cè)點,再根據(jù)增減性來比較大小。

    【正解】因為對稱軸為x=1,所以y1=y2;又因為拋物線開口向下,且點P2、P3都在對稱軸的右側(cè),即y 隨x 的增大而減小,所以y2>y3,即y1=y2>y3,故選D。

    【點評】對拋物線上點的縱坐標大小比較的關(guān)鍵是要看開口方向和點在對稱軸的左側(cè)還是右側(cè)。判斷的基本方法是:①利用拋物線上的對稱點的縱坐標相等,把點轉(zhuǎn)化到對稱軸的同側(cè),再利用增減性比較大??;②當已知拋物線表達式和橫坐標確定時,可直接求出縱坐標來比較大??;③利用數(shù)形結(jié)合的思想方法,畫大致圖像去判斷。

    四、判斷不準,忽視圖像位置

    例4已知二次函數(shù)y=x2+mx+n 的圖像與y 軸交于點A,與x 軸正半軸交于B、C兩點,且BC=2,S△ABC=3,則m的值為____。

    【錯解】由S△ABC=3,BC=2,得OA=3,所以n=3;由BC=2,得m2-12=4,即m=±4,所以m=±4。

    【剖析】錯解沒有考慮到拋物線的對稱軸只能與x 軸正半軸相交,即x=,所以m<0。

    【正解】因為拋物線開口向上,且與x軸正半軸交于B、C 兩點,所以n>0>0,即n>0,m<0。由S△ABC=3,BC=2,得OA=3,即n=3;由BC=2,得m2-12=4,即m=±4,所以m=-4。

    【點評】在無圖的情況下,要準確判斷圖像的位置,可以利用數(shù)形結(jié)合思想,畫出大致圖像后再進行解題。

    五、取值不定,忽視實際條件

    例5用長30m 的籬笆和一段長為8m 的墻(作為其中一邊)圍成一個矩形場地,怎樣圍使得圍成的矩形面積最大?最大面積是多少?

    【錯解】設(shè)垂直于墻的一邊為xm,則S=x(30-2x)=-2(x-7.5)2+112.5,所以當垂直于墻的一邊為7.5m 時,所圍成的矩形面積最大,最大面積為112.5m2。

    【剖析】錯解沒有考慮到墻的長度只有8m,而當垂直于墻的一邊為7.5m 時,平行于墻的一邊為30-2x=15(m),不符合實際。

    【正解】設(shè)垂直于墻的一邊為xm,則S=x(30-2x)=-2(x-7.5)2+112.5,因 為0<30-2x≤8,即11≤x<15,所以S 隨x 的增大而減小,所以當x=11m 時面積最大,最大面積S為88m2。

    【點評】在求二次函數(shù)的最值時,要考慮到自變量的取值范圍,如果對稱軸對應(yīng)的值不在范圍內(nèi),應(yīng)就近選取自變量的值代入求其最值。

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