數學建模：讓學習向深處發(fā)生

鐘斌鼎

【摘要】本文結合數學教學實踐，以“植樹問題”這一經典案例的教學為例，從學生的實際生活中提煉模型，讓學生充分經歷與感受建模的過程，并引導他們將所建模型最終運用到實踐中去，提升學生的數學學習能力。

【關鍵詞】小學數學;建模思想;植樹問題

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A文章編號：0493-2099（2020）23-0143-02

Mathematical modeling：let learning happen deeper

——Taking the"Planting Tree Problem"in the Fifth Grade Book of the People's Education Edition as an Example to Explore the Construction of a Mathematical Model

（Teacher Training School，Changting County，Longyan City，F(xiàn)ujian Province，China）ZHONG Binding

【Abstract】This article combines the teaching practice of mathematics with the teaching of the classic case of"tree planting problem"as an example to extract models from students'actual lives，let students fully experience and feel the process of modeling，and guide them to finally apply the built models to In practice，improve stu‐dents'mathematics learning ability.

【Keywords】Primary school mathematics;Modeling ideas;Tree planting problems

一、創(chuàng)設情境，感知模型

小學生的思維特點主要以感性思維為主，其能夠理解的數學知識是建立在現(xiàn)實的基礎之上的，是以過往知識作為基礎的一種認知歷程。所以，在教學片段中，將教材內容以學生熟悉的“手指指間間隔現(xiàn)象”呈現(xiàn)，再通過列舉生活中存在的間隔現(xiàn)象，讓學生初步感受到親切、真實、有趣的數學模型，感知數學模型的存在。

二、提煉信息，抽象模型

出示練習1：一條長為20米的路，5米一段，可以分為幾段？1.學生獨立解題，教師了解學生的解題情況。2.學生匯報解題思路。讓學生在問題解答中抽象出“包含除法”模型，即：總數÷每份數=份數。因為“植樹問題”模型就是“包含除法”模型的拓展，“植樹問題”中的“樹”是植在“段”對應的“點”上。明白了這一點，就為學生構建點段關系的“植樹問題”模型奠定了基礎。

出示練習2：一條公路長為20米，在其一側植樹，樹與樹的間隔為5米，公路的兩邊均植樹，請問一共需要植多少棵樹？1.學生讀題審題，提取有關“植樹”模型的數學信息。2.學生反饋。學生1：公路長是多少米？20米（總量）。學生2：每隔多少米植一棵？5（每份數）。學生3：有幾段？4（份數）。學生4：植樹的要求？（兩端都植）。學生5：一共要植多少棵？（算一共有幾個對應點？）。數學問題與人們的生活密不可分，又充滿著無窮趣味。以上的習題設計，最重要的一個目的就是使學生認識到現(xiàn)實中的植樹問題，“樹”與“間隔”可以抽象為數學模型中的“點”和“段”。

三、嘗試探索，建立模型

對“練習2”作進一步分析、歸納。教師：請同學們認真思考公路的總長、間隔距離以及段數三者之間的關系，并畫出相應的植樹方案示意圖。學生：總長÷間隔距離=間隔數（段數）。教師：說說你是怎么想的？那要求出植樹的棵數該怎么算？學生：先求出間隔數，即：20÷5=4（個）。這道練習題，每一個間隔對應了一棵樹，則需要4棵樹。4棵樹植完之后，發(fā)現(xiàn)還有一棵樹沒有間隔與之對應，則棵數比間隔多1。這樣，在進行棵數計算時，需要用相應的間隔數加1。教師：那怎么列式計算呢？學生：20÷5=4（個）;4+1=5（棵）。小學生無論是知識經驗還是思維水平，都相當有限，所以教師在引導學生進行建模的過程中，要引導學生充分經歷并感知觀察、分析、實踐、推理、解決問題、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的全過程。在這個教學環(huán)節(jié)，教師讓學生在畫示意圖中了解植樹的過程，建立“段”“點”對應的數學模型，讓學生體會到了從生活原型轉變?yōu)閿祵W模型的過程與方法，也在此過程中掌握了問題解決的方式方法，為后續(xù)數學模型的建構打下了基礎。

四、歸納分析，驗證模型

出示練習3：公路全長為20米，在其一側進行植樹，每隔5米1棵樹，則可以怎樣植樹，植多少棵樹？教師：請同學們根據以上問題，畫出相應的示意圖，并列出算式進行計算，可以植幾棵樹。學生1：我植的是5棵。學生2：我植的是4棵。學生3：我植的是3棵。教師：為什么同一個題目，同學們會得出不同的結果呢？學生通過交流和討論得出：在植樹的過程中，如果植樹的要求不同，則即使其他條件一樣，所植棵樹也是不同的。植5棵樹，是因為在公路的兩端都有植樹;植4棵樹，是因為只在公路的一端植樹;植3棵樹，則是因為在公路的兩端均未植樹。教師：請同學們分別列出三種植樹方法的算式。學生：兩端都植，20÷5=4，4+1=5。一端植，20÷5=4。兩端都不植，20÷5=4，4-1=3。教師：同學們請仔細思考以上三種情況，看看其中蘊含了什么規(guī)律？學生：兩端都植，棵數=間隔數+1。一端植，棵數=間隔數。兩端均不植，棵數=間隔數-1。

著名數學家華羅庚先生認為，對于教材中所出現(xiàn)的數學公式、定理等，學生僅記住結論是遠遠不夠的，更重要的是要明確其從何而來，知其然并知其所以然。所以，教師讓學生在模型構建的過程中發(fā)現(xiàn)植樹的三種情況，并且掌握這三種植樹方法的計算道理，從中抽象出相應的數學模型。出示例題：一條山間小路長為100米，現(xiàn)決定在靠近山的一側植樹，每棵樹的間隔距離為5米，路的兩端都需要植，需要多少棵樹？教師：根據剛才已經掌握的三種植樹的極端方法，我們能快速地解決這道題嗎？學生：先求出間隔數，100÷5=20，有20個間隔;兩端都植，棵數=間隔數+1。列式計算：100÷5=20（個），20+1=21（棵）。

課堂教學中，為保證學生良好的學習效果，教師要注重課堂教學的“留白”，給予學生充足的思考時間，并引導他們利用已經掌握的知識去解決新的問題，尋找科學的解題辦法，使學生明白“植樹問題”就是一個數學模型，其本質就是一一對應。

五、拓展創(chuàng)新，應用模型

出示練習4：一圓形花壇周長為30米，現(xiàn)要在花壇周圍種一圈月季，為控制好月季的密度，每5米種一棵，一共需要多少棵月季？教師：想一想，這又是屬于哪一種植樹方式？學生：假如把環(huán)形植樹的線路拉直，這一種植樹方式就是屬于一端植的現(xiàn)象，所以，植樹的棵數=間隔數，即：30÷5=6（棵）。出示練習5：為迎接國慶節(jié)的到來，古城墻的正面共插了50面小彩旗，彩旗之間的間隔均為4米，則古城墻長度為多少？教師：以小組為單位，討論以上問題的解決思路、方法與步驟。學生1：即已知棵樹與間距，求總長。學生2：兩端都植的計算方法是“棵數=間隔數+1”，由“棵數=間隔數+1”推算出“間隔數=棵數-1”，所以，古城墻插彩旗間的間隔數是“50-1=49個”。學生3：總長=間隔數×間隔距離。列式計算：（50-1）×4=196（米）。

數學知識來源于生活，最終也將運用于生活，數學建模思想的宗旨也是要最終回歸到生活之中，引導學生解決生活中遇到的實際問題。從而實現(xiàn)從解決一個問題到解決一類問題（一般問題）的轉變，認識到在數學學習中構建數學模型的重要性。

六、結語

綜上，小學生對于數學建模仍處于探索階段，教師要善于挖掘學生的建模潛能，關注學生的建模過程，并在關鍵問題上及時給予學生點撥與幫助，創(chuàng)設真實有效的建模情境，引導學生經歷并感受建模的過程，促進學生的數學學習向深處發(fā)展。

參考文獻：

[1]劉曉棠.基于數學建模的小學“數學廣角”教學設計研究[D].重慶師范大學，2017.

（責任編輯 袁霜）