談求分式型函數(shù)最值(或值域)的解法

◇ 湖北 何紅星

(作者單位:湖北省襄陽(yáng)市第三中學(xué))

同學(xué)們?cè)谇蠛瘮?shù)最值或值域時(shí),會(huì)遇到各種各樣的分式型函數(shù).不同類型的分式型函數(shù)求最值或值域需要采用不同的方法,但各題型之間又不是孤立的,是有著密切聯(lián)系的.只要我們掌握其聯(lián)系和規(guī)律,就可以很輕松地在各題之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化.本文將對(duì)分式型函數(shù)的各種轉(zhuǎn)化方法進(jìn)行總結(jié).

題型1當(dāng)a1＝a2＝b1＝c2＝0時(shí),分式型函數(shù)為(其中分子是常數(shù),分母中x 的最高次數(shù)為1次).

例1求函數(shù)x∈[－2,0)∪(0,1]的值域.

圖1

題型2當(dāng)a1＝a2＝b1＝0時(shí),分式型函數(shù)為y＝(其中分子是常數(shù),分母中x 的最高次數(shù)為1次).

例2求函數(shù)0]的值域.

題型 3當(dāng)a1＝a2＝0時(shí),分式型函數(shù)為y ＝其中分子、分母中x的最高次數(shù)都為1次).

圖2

例3求函數(shù)y ＝(－1,0]的值域.

(分離常數(shù)法)對(duì)于分子、分母x 的最高次數(shù)為1次的分式函數(shù),通過分離常數(shù)可以把分子化為常數(shù),從而可以把題型3轉(zhuǎn)化為題型2.

題型 4當(dāng)a2＝0 時(shí),分 式 型 函 數(shù) 為y ＝其中分子中x 的最高次數(shù)為2次,分母中x 的最高次數(shù)為1次).

例4求函數(shù)的最小值.

(換元法)對(duì)于分母x 的最高次為1次、分子x 的最高次為2次的分式型函數(shù),解題方法是對(duì)分母進(jìn)行換元,通過換元簡(jiǎn)化函數(shù)解析式.

令x－1＝t＞0,則x＝t＋1,那么

綜上,當(dāng)x＝2時(shí),函數(shù)的最小值為2.

題 型 5當(dāng) a1＝0 時(shí),分 式 型 函 數(shù) 為 y ＝其中分子中x 的最高次數(shù)為1次,分母中x 的最高次數(shù)為2次).

例5求函數(shù)的最小值.

該分式函數(shù)的分母最高次數(shù)是2次,分子最高次數(shù)是1次.解決方法是把分子和分母同時(shí)除以分子就可以變?yōu)榇藭r(shí)求最大值問題就變成了解決例4的問題了.

題型6當(dāng)a1≠0且a2≠0時(shí),分式型函數(shù)為y＝(其中分子、分母中x 的最高次數(shù)都為2次).

例6求函數(shù)的值域.

對(duì)于分子和分母x 的最高次項(xiàng)都為2次的分式函數(shù),先通過分離常數(shù)法把分子變?yōu)樽罡叽螢?次的分式函數(shù),就可以按照題型5的方法解決了.

轉(zhuǎn)化與化歸思想在數(shù)學(xué)解題中的作用很大,它可以把難題一步一步變成簡(jiǎn)單題,分式型函數(shù)就是一個(gè)很好的例子.分式型函數(shù)各式各樣、變幻莫測(cè),但只要掌握了其變化規(guī)律和內(nèi)在聯(lián)系,縱然其有七十二般變化,也“逃不出我們的手掌心”.我們只要堅(jiān)持由繁到簡(jiǎn)、由未知到已知進(jìn)行轉(zhuǎn)化,題目解決起來就很容易了.題型6通過分離常數(shù)可以轉(zhuǎn)化成題型5,題型5將分子、分母同時(shí)除以分子就可以轉(zhuǎn)化成題型4,變?yōu)轭}型4以后可以通過換元法化簡(jiǎn),再用均值不等式或函數(shù)求導(dǎo)就可以解決問題.題型3可以通過分離常數(shù)法轉(zhuǎn)化為題型2,題型2可以由題型1通過平移轉(zhuǎn)化得到.因此,只要掌握了題型1和題型4,所有的分式型函數(shù)的最值(或值域)問題都可以得到解決.