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    擬Mobius梯子的L(1,1,1)-標(biāo)號(hào)

    2020-12-13 20:22:20吳鈺莉陸靈杰趙浩杰劉文政呂大梅
    關(guān)鍵詞:路標(biāo)標(biāo)號(hào)梯子

    吳鈺莉,蔡 雨,陸靈杰,趙浩杰,劉文政,呂大梅

    (南通大學(xué) 理學(xué)院,江蘇 南通 226007)

    1 基本概念

    圖著色問題是圖論的關(guān)鍵問題之一,頻率分配問題轉(zhuǎn)變成圖標(biāo)號(hào)問題,是圖著色問題的一個(gè)重要推廣之一.在1992年,Griggs跟Yeh一起提出了圖的L(2,1)-標(biāo)號(hào)這個(gè)問題[1],即距離2標(biāo)號(hào)問題.對(duì)于距離2標(biāo)號(hào)而言,已有大量的圖類,像Cartesian積圖、擬梯子、擬Mobius梯子的L(2,1)-標(biāo)號(hào)數(shù)等已研究[2-5].有時(shí)頻率分配問題需要距離3的限制條件,這也就有了距離3標(biāo)號(hào)問題[7-9].本文將進(jìn)一步探討擬Mobius 梯子的L(1,1,1)-標(biāo)號(hào).

    定義 1(L(1,1,1)-標(biāo)號(hào))圖G的一個(gè)L(1,1,1)-標(biāo)號(hào)是從頂點(diǎn)集V(G)到非負(fù)整數(shù)集的一個(gè)映射f,且當(dāng)d(u,v)=1,2,3時(shí),均有|f(u)-f(v)|≥1;其中u,v是圖G的頂點(diǎn).不妨設(shè)0為最小標(biāo)號(hào),則圖G的L(1,1,1)-標(biāo)號(hào)數(shù)λ1,1,1(G)是圖G的所有L(1,1,1)-標(biāo)號(hào)中的最大跨度f(v)的最小數(shù).L(1,1,1)-標(biāo)號(hào)主要問題之一就是要找出圖G的L(1,1,1)-標(biāo)號(hào)數(shù)λ1,1,1(G).為表達(dá)方便,本文中λ1,1,1(G)簡(jiǎn)記為λ(G).

    定義 2 (梯子)路P2與另一條頂點(diǎn)數(shù)大于3的路Pn的Cartesian積圖P2□Pn,稱為梯子.

    定義 3(擬梯子)梯子行上的每一條邊用路Pk1替換,列中的每一條邊不變,得到的局部邊-路替換圖稱為擬梯子.

    定義 4(擬梯子的等價(jià)定義)設(shè)一個(gè)2行n列的矩陣A2×n,其中的每個(gè)元aij(i=1,2,j=1,2,…,n)看作為點(diǎn),將第一行a11,a12…a1n依次連接,同樣將第二行a21,a22…a2n依次連接,同時(shí)將a11與a21連接,a1n與a2n連接,得到一個(gè)圈C2n.再將k個(gè)由這樣的矩陣A2×n按此方式得到的圈C2n按如下方式組合:前一個(gè)圈C2n的末位a1n與a2n和后一個(gè)圈C2n的首位a11與a21,點(diǎn)點(diǎn)重疊,對(duì)應(yīng)的邊重疊,這樣形成的圖稱為擬梯子,記作P(n,k)(其中n表示每個(gè)矩陣A2×n的列數(shù),k表示組合成擬梯子圖的圈C2n的個(gè)數(shù)).為表達(dá)方便,擬梯子P(n,k)中的第一個(gè)圈C2n稱為擬梯子的第一節(jié),后面的依次為擬梯子的第2,3,…,k節(jié).

    定義 5(擬Mobius 梯子)由擬梯子第一行的第一個(gè)頂點(diǎn)與第二行的最后一個(gè)頂點(diǎn)用n個(gè)頂點(diǎn)的路相連,以及第二行的第一個(gè)頂點(diǎn)與第一行的最后一個(gè)頂點(diǎn)用n個(gè)頂點(diǎn)的路相連所得的圖,稱之為擬Mobius 梯子,記為M(n,k).其中擬Mobius梯子M(n,k)中去掉扭接部分即為擬梯子P(n,k),擬Mobius梯子M(n,k)P(n,k)多了扭接部分的兩條路,稱這兩條為擬Mobius梯子的扭結(jié)路.

    當(dāng)n=2時(shí),M(n,k)則為Mobius梯子.接下來對(duì)擬Mobius梯子的未扭結(jié)部分和增加的兩扭結(jié)路部分分別研究,從而給出n≥3時(shí)擬Mobius梯子的L(1,1,1)-標(biāo)號(hào)數(shù)的精確值或界.

    2 擬Mobius梯子的L(1,1,1)-標(biāo)號(hào)

    本節(jié)將探究擬Mobius梯子的L(1,1,1)-標(biāo)號(hào).首先給出一個(gè)下界.

    引理 1當(dāng)n≥3且k≥1時(shí),有λ(M(n,k))≥2Δ-1=5.

    證明:當(dāng)n≥3且k≥1時(shí),由于每個(gè)圖都有兩個(gè)最大度為Δ的頂點(diǎn)相鄰,從而有λ(M(n,k))≥2Δ-1=5.

    接下來我們對(duì)n≥3進(jìn)行討論.

    定理 1當(dāng)n=3時(shí),對(duì)k=1,有λ(M(3,k))=7;對(duì)k=2,有λ(M(3,k))=11;對(duì)k≥3,有λ(M(3,k))≤7.

    證明:當(dāng)k=1時(shí),M(3,1)是距離3的圖,又其頂點(diǎn)數(shù)為8,則有λ(M(3,1))≥7.下只需給出一個(gè)跨度7的標(biāo)號(hào).M(3,1)中未扭結(jié)部分小節(jié)的標(biāo)號(hào)第一行為 0 2 3、第二行為1 5 6,增加的兩條扭結(jié)路標(biāo)號(hào)分別為:3 4 1與6 7 0.因此λ(M(3,1))=7.

    當(dāng)k=2時(shí),M(3,2)是距離3的圖,又其頂點(diǎn)數(shù)為12,則有λ(M(3,2))≥11.下只需給出一個(gè)跨度11的標(biāo)號(hào).M(3,2)中未扭結(jié)部分第一小節(jié)的標(biāo)號(hào)第一行為 0 2 3、第二行為17 8,第一小節(jié)的標(biāo)號(hào)第一行為 3 4 5、第二行為8 9 10,增加的兩條扭結(jié)路標(biāo)號(hào)分別為:5 6 1與10 11 0.因此λ(M(3,2))=11.

    當(dāng)k≥3時(shí),只需給出一個(gè)跨度7的標(biāo)號(hào).對(duì)k≡1mod 2,M(3,k),中未扭結(jié)部分每?jī)尚」?jié)的標(biāo)號(hào)按上面M(3,1)的標(biāo)號(hào)重復(fù):即第一行按 0 2 3 4 1、第二行按1 5 6 7 0形式重復(fù),最后一小節(jié)和扭結(jié)邊標(biāo)號(hào)就用上面M(3,1)的標(biāo)號(hào),則給出k≡1mod2時(shí)M(3,k)時(shí)的跨度7標(biāo)號(hào).因此當(dāng)k≡1mod2時(shí),λ(M(3,k))≤7.

    當(dāng)k≥3時(shí),對(duì)k≡0 mod 2,M(3,k),中未扭結(jié)部分前三小節(jié)的標(biāo)號(hào)如下:第一行為 0 2 3 4 5 6 0、第二行為1 5 6 7 2 3 1,接下來的未扭結(jié)部分每?jī)尚」?jié)的標(biāo)號(hào)按上面M(3,1)的標(biāo)號(hào)重復(fù),最后一小節(jié)和扭結(jié)邊標(biāo)號(hào)就用上面M(3,1)的標(biāo)號(hào),則也給出k≡0 mod 2時(shí)M(4,k)的跨度7標(biāo)號(hào).因此當(dāng)k≡0 mod 2時(shí),λ(M(3,k))≤7.

    定理 2當(dāng)n=4時(shí),λ(M(4,k))≤7.

    證明:只需給出一個(gè)跨度7的標(biāo)號(hào).當(dāng)k=1時(shí),M(4,1)中未扭結(jié)部分小節(jié)的標(biāo)號(hào)第一行為 0 23 6、第二行為1 32 7,增加的兩條扭結(jié)路標(biāo)號(hào)分別為:6 45 1與7 54 0.即給出M(4,1)的一個(gè)跨度7的標(biāo)號(hào).因此λ(M(4,1))≤7.

    當(dāng)k=2時(shí),M(4,2)中未扭結(jié)部分第一小節(jié)的標(biāo)號(hào)第一行為 0 12 3、第二行為4 56 7,第二小節(jié)的標(biāo)號(hào)第一行為3 40 1、第二行為7 04 5,增加的兩條扭結(jié)路標(biāo)號(hào)分別為:1 23 4與5 67 0.即給出M(4,2)的一個(gè)跨度7的標(biāo)號(hào).因此λ(M(4,2))≤7.

    當(dāng)k≥3時(shí),對(duì)k≡1mod2,M(4,k),中未扭結(jié)部分每?jī)尚」?jié)的標(biāo)號(hào)按上面M(4,1)的標(biāo)號(hào)重復(fù):即第一行按 0 23 6 45 1、第二行按1 32 7 54 0形式重復(fù),最后一小節(jié)和扭結(jié)邊標(biāo)號(hào)就用上面M(4,1)的標(biāo)號(hào),則當(dāng)k≡1mod2時(shí),λ(M(4,k))≤7.

    當(dāng)k≥3時(shí),對(duì)k≡0mod2,M(4,k),中未扭結(jié)部分每?jī)尚」?jié)的標(biāo)號(hào)按如下形式重復(fù):第一行按 0 15 4 23 0、第二行按4 51 0 32 4形式重復(fù),最后兩小節(jié)小節(jié)和扭結(jié)邊標(biāo)號(hào)就用上面M(4,2)的標(biāo)號(hào).因此當(dāng)k≡0mod2時(shí),λ(M(4,k))≤7.

    定理 3當(dāng)n=5、6時(shí),λ(M(n,k))=5.

    證明:下界由引理1給出,則只需給出一個(gè)跨度5的標(biāo)號(hào).

    當(dāng)n=5時(shí),M(5,k)中未扭結(jié)部分每小節(jié)的標(biāo)號(hào)第一行按 0 123 0形式重復(fù)、第二行按 5 214 5形式重復(fù),擬梯子基礎(chǔ)上增加的兩條扭結(jié)路標(biāo)號(hào)分別為:0 123 5與5 214 0.即給出M(5,k)的一個(gè)跨度5的標(biāo)號(hào).因此λ(M(5,k))=5.

    當(dāng)n=6時(shí),M(6,k)中未扭結(jié)部分每小節(jié)的標(biāo)號(hào)第一行按 0 1234 0形式重復(fù)、第二行按5 2143 5形式重復(fù),擬梯子基礎(chǔ)上增加的兩條扭結(jié)路標(biāo)號(hào)分別為:0 1234 5與5 2143 0.即給出M(6,k)的一個(gè)跨度5的標(biāo)號(hào).因此λ(M(6,k))=5.

    定理 4當(dāng)n=7、8時(shí),λ(M(n,k))≤6.

    證明:只需給出一個(gè)跨度6的標(biāo)號(hào).當(dāng)n=7時(shí),M(7,k)中未扭結(jié)部分每小節(jié)的標(biāo)號(hào)第一行按0 12534 0形式重復(fù)、第二行按5 20143 5形式重復(fù),擬梯子基礎(chǔ)上增加的兩條扭結(jié)路標(biāo)號(hào)分別為:0 12634 5與5 21643 0.即給出M(7,k)的一個(gè)跨度6的標(biāo)號(hào).因此,λ(M(7,k))≤6.當(dāng)n=8時(shí),M(8,k)中未扭結(jié)部分每小節(jié)的標(biāo)號(hào)第一行按 0 125634 0形式重復(fù)、第二行按5 206143 5形式重復(fù),擬梯子基礎(chǔ)上增加的兩條扭結(jié)路標(biāo)號(hào)分別為:0 125634 5與5 210643 0.即給出M(8,k)的一個(gè)跨度6的標(biāo)號(hào).因此,λ(M(8,k))≤6.

    定理 5當(dāng)n≥9時(shí),λ(M(n,k))=5.

    證明:首先下界由引理1給出,則只需給出一個(gè)跨度5的標(biāo)號(hào).當(dāng)n=11時(shí),M(11,k)中未扭結(jié)部分每小節(jié)的標(biāo)號(hào)第一行按 0 1234051234 0形式重復(fù)、第二行按5 2143052143 5形式重復(fù),擬梯子基礎(chǔ)上增加的兩條扭結(jié)路標(biāo)號(hào)分別為:0 1234051234 5與5 2143052143 0.即給出M(11,k)的一個(gè)跨度5的標(biāo)號(hào).因此,λ(M(11,k))=5.當(dāng)n=12時(shí),M(12,k)中未扭結(jié)部分每小節(jié)的標(biāo)號(hào)第一行按 0 1230125324 0形式重復(fù)、第二行按 5 2145210423 5形式重復(fù),擬梯子基礎(chǔ)上增加的兩條扭結(jié)路標(biāo)號(hào)分別為:0 1230125324 5與5 2145210423 0.即給出M(12,k)的一個(gè)跨度5的標(biāo)號(hào).因此,λ(M(12,k))=5.

    當(dāng)n≥9時(shí),M(n,k)的標(biāo)號(hào)可分別在n=5、6、11、12的上述標(biāo)號(hào)基礎(chǔ)上,每小節(jié)以及扭結(jié)邊上增加四個(gè)相鄰標(biāo)號(hào)循環(huán)獲得.

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