一類廣義弗比紐斯群

何立國，胡顯宇

(沈陽工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)系，遼寧 沈陽，110870)

1 引言及引理

弗比紐斯群在群論中有著廣泛的應(yīng)用，特別是在置換群論和特征標論中，以至于其定義有很多推廣形式，例如群作用形式、模形式、特征標形式等等.Kuisch和van der Waall[2，3]將弗比紐斯群的定義從群元素推廣到群的p正則元素上，給出了弗比紐斯群的p-模形式，并研究了相應(yīng)的群結(jié)構(gòu)，證明了：在p≠2時廣義弗比紐斯核是可解的，p=2時廣義弗比紐斯核的非交換合成因子都同構(gòu)于PSL(2，32i)，i是某一正整數(shù)，等結(jié)果.曾吉文等[4，5]給出了與弗比紐斯群的p-模形式等價的弗比紐斯群的p-Brauer特征標形式并給出了一系列結(jié)果.例如，證明了：在p-模弗比紐斯群的極小弗比紐斯核的p-正則共軛類數(shù)是3或4時，此p-模弗比紐斯群分別同構(gòu)于S3或A4；在極小弗比紐斯核的p-正則共軛類數(shù)是5時，此p-模弗比紐斯群同構(gòu)于D10，M10或Z5:Z4.還有其它作者[6-8]對此類群感興趣，給出相關(guān)結(jié)果.

在本文中，用素數(shù)集π替換素數(shù)p，將上述關(guān)于素數(shù)p的弗比紐斯群推廣成如下關(guān)于素數(shù)集π的弗比紐斯群，并研究相應(yīng)群結(jié)構(gòu).符號|G|π表示有限群G的階|G|的π-部分.π(G)表示|G|的素因子集.

定義1.1取定一個素數(shù)集π和一個自然數(shù)n>1.假設(shè)G傳遞作用在集合Ω={α1，α2，…，αn}上，|CG(αi)|π>1對于任意i，且|CG(αi)∩CG(αj)|π=1對于任意i≠j.那么稱G是一個關(guān)于素數(shù)集π的廣義弗比紐斯群(簡稱廣義弗比紐斯群)，稱此群作用為關(guān)于素數(shù)集π的廣義弗比紐斯群作用(簡稱廣義弗比紐斯群作用).

當π(G)?π時，滿足上述定義的廣義弗比紐斯群就是弗比紐斯群.為了研究上述定義下的廣義弗比紐斯群的結(jié)構(gòu)，我們需要下列預(yù)備結(jié)果.

下面關(guān)于弗比紐斯群的經(jīng)典結(jié)果主要是由J.G.Thompson和W.Burnside給出的.此處G=N∶H表示G是子群N與H的半直積，其中的N是正規(guī)子群.

引理1.2假定G是一個弗比紐斯群具有弗比紐斯核N和弗比紐斯補H.那么G=N:H并且(|N|，|H|)=1，N是冪零的，H的Sylow子群要么是循環(huán)群要么是廣義四元素群.在H是奇階時，H亞交換群.

證明.見文獻[9]中Satz V.8.3，Satz V.8.5，Hauptsatz V.8.7和Satz V.8.18.

下面是著名的Schur-Zaussenhaus定理.符號π′表示π在全體素數(shù)集中的補子集.

引理1.3如果G有一個正規(guī)Hallπ′-子群，則G有Hallπ-子群，并且任意兩個Hallπ-子群是共軛的.

證明.見文獻[10，p112]定理4.3.

如果有限群G有一個正規(guī)群列，它的每個因子群要么是π-群要么是π′-群，則稱G是一個π-可分群.由定義可見一個π-可分群也是一個π′可分群.π-可分群有如下性質(zhì).

引理1.4設(shè)G是一個π-可分群，則下列陳述成立.

(1)G的子群及商群是π-可分群.

(2)G有Hallπ-子群，并且任意兩個Hallπ-子群是共軛的.G的任意π-子群包含在某一Hallπ-子群中.

證明.見文獻[10，p166]定理2.1.

2 主要結(jié)果

定理2.1設(shè)G是一個廣義弗比紐斯群關(guān)于素數(shù)集π并且G是π-可分群.那么G的任一Hallπ-子群H均是弗比紐斯群.

證明.設(shè)G對Ω有一個廣義弗比紐斯作用，Ω1?Ω是一個H-軌道.由于G對Ω的作用是忠實的，故H對Ω的作用也是忠實的，因而可取|Ω1|>1.對于任意α，β∈Ω1，我們可以得到CH(α)∩CH(β)≤CG(α)∩CG(β)，所以階|CH(α)∩CH(β)|整除階|CG(α)∩CG(β)|.又因為|CG(α)∩CG(β)|π=1及|CH(α)∩CH(β)|是一個π數(shù)，可得CH(α)∩CH(β)=1.由引理1.4，G的非平凡子群CG(α)是π-可分群.因為|CG(α)|π>1，可得CG(α)有Hallπ-子群K>1.再由引理1.4，我們可以取Hallπ-子群H滿足H≥K>1.因此CH(α)≥K>1.由于Ω1中點的穩(wěn)定子群彼此共軛，所以這些子群的階相等并且π-部分大于1，故H對Ω1的作用是弗比紐斯作用，因此H是一個弗比紐斯群.又因為G是一個π-可分群，利用引理1.4得，它的所有Hallπ-子群是共軛的，故G的每一個Hallπ-子群均是弗比紐斯群.證畢.

推論2.2設(shè)G是一個廣義弗比紐斯群關(guān)于素數(shù)集π，K是G的次正規(guī)Hallπ-子群.那么K是弗比紐斯群.

證明.因為K是G的次正規(guī)π-子群，故有次正規(guī)子群列，不妨簡記為1?K??M?G.設(shè)g是G的任一π-元素，則L=M是G的一個子群，那么|L|=|M|||/|M∩|.由于M包含G的一個Hallπ-子群，得||=|M∩|，故≤M.因此G的所有π-元素包含在M中.對M利用歸納假設(shè)，可知M的所有π-元素都在K中，故G的所有π-元素包含在K中，所以對任意g∈G有Kg=K，因此K是G的正規(guī)Hallπ-子群.可見G是一個π-可分群，由定理2.1，K是弗比紐斯群.

定理2.3假設(shè)G是一個廣義弗比紐斯群關(guān)于素數(shù)集π.如果G的π′-元素平凡地作用在集合上，那么G=M:H，其中M和H分別是G的Hallπ′和π-子群，并且H是弗比紐斯群.

證明.設(shè)G作用在集合Ω上是一個廣義弗比紐斯作用并且作用的核為K，則K是G的一個正規(guī)子群.由于G的π′-元素平凡地作用集合Ω上，所以K包含G的所有π′-元素，進而G的所有π-元素對Ω的作用是傳遞的.因為K≤CG(α)∩CG(β)和|CG(α)∩CG(β)|π=1對于任意不同的α，β∈Ω，所以K不含任何π-元素，得K是一個π′-群并且(|G/K|，|K|)=1，故K=M是G的正規(guī)Hallπ′-子群.利用引理1.3，G有Hallπ-子群且所有Hallπ-子群彼此共軛.對于α∈Ω，由于|CG(α)|π>1，利用Sylow定理得CG(α)有p-子群P1>1，對于某一素數(shù)p∈π，并且P1包含在G的某一Sylowp-子群P中.由于G的Hallπ-子群包含G的Sylowp-子群并且與P共軛，可取G的某一Hallπ-子群H≥P.取元素個數(shù)大于1的子集Ω1?Ω是一個H-軌道滿足α∈Ω1?Ω，可得CH(α)∩CH(β)≤CG(α)∩CG(β)，所以階|CH(α)∩CH(β)|整除階|CG(α)∩CG(β)|.又因為|CG(α)∩CG(β)|π=1及|CH(α)∩CH(β)|是一個π數(shù)，可得CH(α)∩CH(β)=1.由于H傳遞作用在Ω1上，故所有CH(α)，α∈Ω1，是共軛的，得所有CH(α)>1，α∈Ω1，所以H對Ω1的作用是弗比紐斯作用，H是弗比紐斯群.證畢.

定理2.4.假定G是一個廣義弗比紐斯群關(guān)于素數(shù)集π.如果G的π′-元素無不動點地作用在集合上，那么G是一個弗比紐斯群，并且G=(K1×K2):H，其中K1×K2是弗比紐斯核，H是弗比紐斯補，K1是一個Hallπ′-子群，K2:H是一個Hallπ-子群.

證明.設(shè)Ω={α1，α2，…，αn}，n>1是G作用的集合.由于是廣義弗比紐斯作用，可知|CG(αi)|π>1對于任意i.又由于G的π′-元素無不動點地作用在集合Ω上，可得CG(αi)>1是一個π-群.因為|CG(αi)∩CG(αj)|π=1對于任意i≠j，可得CG(αi)∩CG(αj)=1，故G是弗比紐斯群.由引理1.2，G=K:H，其中K是弗比紐斯核，H是弗比紐斯補.G的π′-元素無不動點地作用在集合上，故π′-元素全包含在K中，因K是冪零的，它可寫成Hallπ′與π-子群的直積形式，即K=K1×K2，故G=(K1×K2):H.可得K2:H是G的Hallπ-子群.

定理2.5.假定關(guān)于素數(shù)集π的廣義弗比紐斯群G作用在集合Ω上，H=CG(α)，α∈Ω.對于G的任意π-子群K，如果K與H的某一共軛Hg的交K∩Hg>1，g∈G，那么K是弗比紐斯群.

證明.設(shè)αg∈Ω1?Ω是一個K-軌道 .因為G對Ω的作用是忠實的，所以K對Ω的作用是忠實的，故可取Ω1滿足|Ω1|>1.由于Hg=(CG(α))g=CG(αg)，故CK(αg)=K∩CG(αg)>1是一個π-群，因此|CK(αg)|π=|CK(αg)|>1.因為K傳遞作用在Ω1上，所以任意兩個不同的αi，αj，兩個穩(wěn)定子群CK(αi)，CK(αj)是共軛的，因此每個穩(wěn)定子群的階|CK(αi)|>1.而|CK(αi)∩CK(αj)|=|CK(αi)∩CK(αj)|π≤ |CG(αi)∩CG(αj)|π=1.因此K是一個弗比紐斯群.

注意到引理1.2表明弗比紐斯群不可能是p-群.這一點可以由定義直接證明.若p-群p是一個弗比紐斯群且作用在Ω上.由于P是冪零群，故其所有子群都是次正規(guī)的，不妨設(shè)1