拉格朗日微分中值定理縱橫觀

盧占化

（商丘工學院 基礎部，河南 商丘 476000）

1 引言

拉格朗日定理：設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間[a,b]內可導,可設a＜b則,則至少存在一點ξ∈(a,b),使得成立.

顯然羅爾定理是拉格朗日定理的特殊情況,拉格朗日定理可以進一步推廣為柯西中值定理.這些結論,可用于討論泰勒展開式,洛必達法則等,它是微積分學的精華.學習及研究這部分內容,無論從理論上,還是從應用上都有重要意義.

2 若干結論

結論1 如果函數(shù)滿足以下條件：

1）f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

2）f(x)在開區(qū)間(a,b)內可導.

那么,至少存在一點ξ∈(a,b)使得成立.

證明 反向分析法 作輔助函數(shù)

容易驗證

即φ(a)=φ(b).應用羅爾定理,至少存在一點ξ∈(a,b),使得φ'(ξ)=0.

結論2 設函數(shù)f(x)滿足的條件如結論1所述,則至少存在一點ξ∈(a,b),使得

證明 作輔助函數(shù)

容易驗證

即φ(a)=φ(b).應用羅爾定理,至少存在一點ξ∈(a,b),使得φ'(ξ)=0.

結論3 函數(shù)f(x)滿足結論1的條件,則至少存在一點ξ∈(a,b),

使得

證明 作輔助函數(shù)

其中c為一個常數(shù).容易驗證

即φ(a)=φ(b).應用羅爾定理,存在ξ∈(a,b),使得φ'(ξ)=0.

3 幾何意義

的關鍵是后面的式子k(x+c),k=f(b)-f(a).事實上這樣的c有無窮多

例如 記k=f(b)-f(a),c=1,c=2,可以得到如下一些平行線.

由此可以看出這樣的φ(x)有無窮多.它們通過某個函數(shù)可以上下平移得到.通過這些分析,便于啟發(fā)學生探討問題,開闊學生視野,提高學生學習興趣.