基于HPM視角，促進深度學習

鄧蕓蕓

摘? 要：HPM指“數(shù)學史與數(shù)學教育”。借助數(shù)學史的相關內(nèi)容，教師可以創(chuàng)設真實復雜的情境，強化情感驅(qū)動，在引導學生解決具有挑戰(zhàn)性問題的過程中，促進他們持續(xù)建構(gòu)數(shù)學知識體系，培養(yǎng)高階思維，理解數(shù)學學科的核心思想方法，感悟數(shù)學的理性精神，實現(xiàn)深度學習。

關鍵詞：深度學習;小學數(shù)學;數(shù)學史

HPM（History and Pedagogy of Mathematics），指“數(shù)學史與數(shù)學教育”，主要研究通過數(shù)學史提高數(shù)學教育的水平，借助數(shù)學史尋找數(shù)學教育的規(guī)律和經(jīng)驗，把數(shù)學知識的歷史形態(tài)加工成便于教學的教育形態(tài)。深度學習是指在復雜真實的情境中，運用跨學科的知識技能，借助常規(guī)和非常規(guī)的思維方式解決問題，發(fā)展批判思維和創(chuàng)新能力，培養(yǎng)合作精神和交往能力的認知策略。借助數(shù)學史的相關內(nèi)容，教師可以創(chuàng)設真實復雜的情境，強化情感驅(qū)動，在引導學生解決具有挑戰(zhàn)性問題的過程中，促進他們持續(xù)建構(gòu)數(shù)學知識體系，培養(yǎng)高階思維，理解數(shù)學學科的核心思想方法，感悟數(shù)學的理性精神，實現(xiàn)深度學習。

一、創(chuàng)設情境，強化情感驅(qū)動

深度學習倡導學習者的主動性，強調(diào)學習者的主動投入，并保持積極的情感狀態(tài)。布魯納也曾指出，學習動機必須盡可能建立在喚起對所學內(nèi)容的興趣的基礎上。數(shù)學史上的許多趣題，是絕佳的教學素材，運用這些素材創(chuàng)設真實而復雜的情境，能有效地促進兒童綜合運用各種知識技能，主動探究，讓深度學習真正發(fā)生。

師：大家聽說過阿拉伯數(shù)字嗎？阿拉伯數(shù)字是誰發(fā)明的呢？

生：我們平時寫的就是阿拉伯數(shù)字。應該是阿拉伯人發(fā)明的吧？

師：這是一個誤會，阿拉伯數(shù)字并不是阿拉伯人發(fā)明的，而是古印度人發(fā)明的，不過是阿拉伯人把它們傳到了歐洲，人們就以為是阿拉伯人發(fā)明的。

生：哦，原來是這樣。

師：把阿拉伯數(shù)字介紹到歐洲的是中世紀著名的數(shù)學家斐波那契。1202年，他出版了著名的《算盤書》。在這部名著中，他首先引入了阿拉伯數(shù)字。

師：在這本書里他提出了一個有趣的兔子問題。假定一對剛出生的小兔一個月后就能長成一對大兔，再過一個月就能生下一對小兔，并且以后每個月都生一對小兔。假定這些兔子一年內(nèi)沒有發(fā)生任何死亡。那么，12個月后會有多少對兔子呢？

生：這個問題不簡單，但聽上去很好玩。

師：這個問題古往今來引起了很多研究者的興趣，而且這其中還蘊藏著很多數(shù)學秘密。今天我們一起來研究，好嗎？

問題是激起學生思維的地方根源，是驅(qū)動學生積極思考的誘因。以上問題來自數(shù)學史上的名著，是有名的數(shù)學家研究過的，情境真實有趣又富有挑戰(zhàn)性，學生的興趣被迅速地調(diào)動了起來，他們躍躍欲試，準備投入到問題的探究中去。

二、自主探索，參與知識生成

體驗和探究是深度學習必經(jīng)之路，是核心素養(yǎng)形成的根本途徑。師生應以真實而富有挑戰(zhàn)的問題為核心，以探究為主要方式，通過個人、集體等多種形式，開展討論、質(zhì)疑、表達等學習活動解決數(shù)學問題，在參與知識的形成中，發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律，積累數(shù)學經(jīng)驗，感悟數(shù)學思想，從而有效地實現(xiàn)深度學習。

師：這個問題，跟我們以前接觸過的問題相比，怎么樣？

生：有點復雜，條件特別多，有點難。

師：面對一個困難的問題，怎么辦呢？我們就放棄嗎？

生：不能放棄，要想辦法。

師：有什么辦法呢？道家的創(chuàng)始人、中國古代著名哲學家老子說過一句話：“天下難事，必作于易?！敝朗鞘裁匆馑紗幔?/p>

生：遇到一件難的事，咱們要想辦法把它轉(zhuǎn)化為一件更容易的事來做。

師：那這件事做起來的話，從第1個月到12個月，你覺得是前幾個月研究起來比較容易呢，還是后幾個月研究起來比較容易？

生：前幾個月。

師：那咱們就從前幾個月開始研究。每個人可以用自己的方法來研究，可以算一算，也可以畫一畫，也可以列舉。

師（幾分鐘后）：大家雖然都獨立思考得非常努力，但仍然還沒研究完。雖然“天下難事，必作于易”，但是這個問題對于我們來說，還不是那么容易，咱們光靠個人的智慧不夠，就要怎么樣？

生：要靠集體的智慧。

師：那我們就一起來研究。

師：第一個月有多少對兔子？

生：一對小兔子。

師：第二個月呢？一對大兔子是怎么來的？畫一畫。

生：第一個月的小兔子長大了。

師：第三個月呢？怎么來的？畫一畫。

生：第三個月有了一對大兔子還有一對小兔子。

師：這對大兔子和這對小兔子是怎么來的？

生：大兔子就是原來的大兔子，小兔子就是這對大兔子生下的小兔子。

師：第四個月呢？第五個月呢？……

參與探究的過程，學生不僅理解了每一個月兔子的來歷和數(shù)量，使得思維的清晰性、條理性得到了鍛煉，同時在此過程中還收獲了探究的策略、化繁為簡的思想以及合作的意識。他們體驗到了探索、創(chuàng)造的樂趣，對學習的內(nèi)容也會產(chǎn)生更持久、深沉的興趣。

三、深度思辨，滲透思想方法

美國教育家布魯姆將思維過程具體化為記憶、理解、應用、分析、評價、創(chuàng)造，其中前三者通常被稱為低階思維，后三者通常被稱為高階思維。與淺層學習不同，深度學習必然指向高階思維，突出培養(yǎng)思維的綜合性、批判性、創(chuàng)新性，強調(diào)思辨性。在教學中，我們應以發(fā)展學生的高階思維為目標，注重數(shù)學學科的核心思想方法的滲透。

師：對照圖，仔細想一想，每個月兔子的對數(shù)和前面有什么聯(lián)系？

生：大兔子的對數(shù)就是前一個月兔子的總數(shù)，小兔子的對數(shù)就是前一個月大兔子的對數(shù)。

師：要一直說到，畫到12月份嗎？

生：不需要，根據(jù)前幾個月的情況可以找到其中的規(guī)律。

師：前6個月是1，1，2，3，5，8，后面是多少呢？你是怎么知道的呢？

生：就是前兩個數(shù)相加等于后一個數(shù)。

師：想一想，為什么有這個規(guī)律？

生：因為不管哪個月大兔子的對數(shù)就是前一個月兔子的總數(shù)，小兔子的對數(shù)就是前一個月大兔子的對數(shù)，把大兔子和小兔子合起來就是這個月兔子的總數(shù)，所以只要把前兩個月的兔子合起來就是這個月的兔子的數(shù)量，也就是把前兩個數(shù)相加就得后一個數(shù)。

師：怎么覺得后面的填起來反而容易了？

生：因為運用了前面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

師：剛才我們在比較簡單的部分發(fā)現(xiàn)了規(guī)律（板書：發(fā)現(xiàn)規(guī)律），在難的部分運用規(guī)律解決了問題（板書：運用規(guī)律）。看來難和易是相對的，是可以互相轉(zhuǎn)化的，是辯證的統(tǒng)一。

以上教學過程中，學生通過比較、分析、綜合、歸納，透過表面現(xiàn)象，深入到了本質(zhì)和規(guī)律的層面，揭示了規(guī)律背后的原理，掌握了以簡馭繁的數(shù)學思想方法。他們還感悟到難、易的辯證關系，體驗了哲學的思辨性，思維品質(zhì)得到了有力的提升。

四、觸及心靈，感悟理性精神

深度學習提倡學科間和跨學科的整合性學習，強調(diào)多維度、系統(tǒng)性的認知參與，注重多種信息的連接和學科間的融合。數(shù)學學科具有抽象、嚴謹?shù)奶匦裕亲鳛槿祟惖奈拿?，?shù)學也具有人文性。在數(shù)學教學中，借助數(shù)學史把數(shù)學內(nèi)容與其他學科的知識相融合，不僅能讓學生體會到數(shù)學的價值，還可以讓數(shù)學變得更有溫度，更能觸及兒童的心靈，更能讓他們感受到數(shù)學的魅力，讓他們熱愛并深刻理解數(shù)學。

師：生活中還有很多地方也藏著斐波那契數(shù)列，大家相信嗎？（出示海螺圖）這些海螺，都有一個彎彎的殼，而且殼上都有線，叫螺線。

這樣的線大體上可以描繪成這個樣子。

這個螺線和斐波那契數(shù)列有什么關系呢？

生：這個螺線就是借助以斐波那契數(shù)列為邊長的正方形畫出來的！真是太神奇了！

師：他們跟兔子商量了嗎？跟斐波那契商量了嗎？

生：（笑起來）肯定沒有商量。

師：是誰讓他們都有這樣的規(guī)律啊？

生：是大自然。

師：其實植物當中也有，很多植物的花瓣數(shù)都是斐波那契數(shù)（出示各種花朵）：蘭花、蘋果花、雛菊……還有一棵數(shù)每一年的樹丫的數(shù)量。

師：這些動物、植物生長得這么有規(guī)律，究竟是什么的力量？

生：（被深深地震撼了）是大自然！

師：（出示“天地有大美而不言，萬物有成理而不說?！f子”）你有什么感受？

生：大自然真是太神奇了！

生：大自然中到處都藏著數(shù)學。

師：是?。√斓刂g蘊藏著一種無言的美和深刻的規(guī)律。我們的數(shù)學世界也是這樣。

師：我們要怎么對待大自然呢？

生：我們要敬畏大自然、保護大自然。

師：很多藝術(shù)家也感受到了斐波那契數(shù)列的神奇，把它也用到了自己的藝術(shù)創(chuàng)作中，比如美術(shù)、音樂、建筑等領域，我們一起來欣賞吧。

數(shù)學不僅擁有真理，而且還擁有至高的美。以上教學過程中，我們著力引導學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學的奇異美，感受大自然內(nèi)在的數(shù)學秩序。數(shù)學思想方法的偉大和魅力深深地觸及了學生的心靈。學生為數(shù)學的理性精神所折服，對數(shù)學的熱愛和探索的愿望油然而生，他們也必然會產(chǎn)生要將數(shù)學作為一種人類的文明傳承和發(fā)展下去的深沉的情感。