數(shù)學(xué)化：賦予數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)自然生長(zhǎng)的力量

孫佳燕

摘? 要：“數(shù)學(xué)化”能賦予學(xué)生數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)自然生長(zhǎng)的力量。“數(shù)學(xué)化”的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)茏尅皻w納”與“演繹”深度對(duì)接，能讓“直覺(jué)”與“理性”并蒂共生，能讓“思維”與“創(chuàng)造”和諧相融。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要用解疑證惑引發(fā)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，用合情猜想引領(lǐng)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，用理性審視反哺數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn);數(shù)學(xué)化

當(dāng)下，一個(gè)個(gè)新教育理念的誕生，一項(xiàng)項(xiàng)新教學(xué)材料的問(wèn)世，一種種新教育技術(shù)的呈現(xiàn)，昭示著數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可以越來(lái)越“精致化”。著眼于對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)理性精神的培育，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)縝密思維、數(shù)學(xué)批判質(zhì)疑意識(shí)的培育。筆者認(rèn)為，在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中，教師可以進(jìn)行對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行數(shù)學(xué)化。數(shù)學(xué)化，能賦予數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)自然生長(zhǎng)的力量。

一、“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”的數(shù)學(xué)化釋義

所謂數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的“數(shù)學(xué)化”，是指學(xué)生借助數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)工具、器材、實(shí)物等，通過(guò)“數(shù)學(xué)化”的觀察、操作等方式來(lái)建構(gòu)數(shù)學(xué)概念、探索數(shù)學(xué)規(guī)律、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)法則、公理等。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的“數(shù)學(xué)化”特質(zhì)，是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)區(qū)別于其他實(shí)驗(yàn)如科學(xué)實(shí)驗(yàn)、美術(shù)實(shí)驗(yàn)等的核心素質(zhì)。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的“數(shù)學(xué)化”，要求學(xué)生用“數(shù)學(xué)的眼光”來(lái)考量實(shí)驗(yàn)，用“數(shù)學(xué)的思維”來(lái)進(jìn)行思考、探究。具體而言，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的“數(shù)學(xué)化”應(yīng)該包括數(shù)學(xué)觀察、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)想象、數(shù)學(xué)操作、數(shù)學(xué)概括等。

1. “歸納”與“演繹”深度對(duì)接

從根本上說(shuō)，學(xué)生數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究與驗(yàn)證的主要方式有三：類比、歸納與演繹。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，不僅有助于學(xué)生的數(shù)學(xué)演繹，更有助于學(xué)生的數(shù)學(xué)類比、歸納。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中，學(xué)生需要進(jìn)行合情猜想，需要進(jìn)行清晰的、有條理的實(shí)驗(yàn)論證，等等。比如教學(xué)“三角形的三邊關(guān)系”（蘇教版四年級(jí)下冊(cè)），教師提供結(jié)構(gòu)性的小棒讓學(xué)生分類操作，則屬于外在的歸納性實(shí)驗(yàn)操作。而學(xué)生在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，不僅通過(guò)物質(zhì)實(shí)驗(yàn)，而且通過(guò)思想實(shí)驗(yàn)（如兩點(diǎn)之間線段最短）等進(jìn)行論證，則體現(xiàn)了學(xué)生實(shí)驗(yàn)的演繹性品質(zhì)。數(shù)學(xué)的公理、法則等，往往就是在“歸納”與“演繹”的和諧圓融中得到數(shù)學(xué)化的論證。

2. “直覺(jué)”與“理性”并蒂共生

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的數(shù)學(xué)化特質(zhì)，不僅僅表現(xiàn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺(jué)，更表現(xiàn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)理性。一般來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)直覺(jué)有助于數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)猜想，而數(shù)學(xué)理性有助于數(shù)學(xué)論證。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，要充分開(kāi)發(fā)學(xué)生的全腦，讓學(xué)生的左右腦協(xié)同活動(dòng)、和諧共融。比如教學(xué)“三角形的內(nèi)角和”，學(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)直覺(jué)，用“量角法”“折角法”“拼角法”等進(jìn)行數(shù)學(xué)探究，這樣的一種探究就是基于數(shù)學(xué)直覺(jué)的實(shí)驗(yàn)探究。在探究過(guò)程中，有學(xué)生不滿足于實(shí)驗(yàn)的粗糙，尋求更為數(shù)學(xué)化的驗(yàn)證方式。比如有學(xué)生畫出了平行線，利用角之間的相等關(guān)系進(jìn)行嚴(yán)密推理;有學(xué)生將長(zhǎng)方形分成兩個(gè)直角三角形，推導(dǎo)直角三角形的內(nèi)角和;將銳角三角形、鈍角三角形沿著高分成兩個(gè)直角三角形，從而推導(dǎo)出銳角三角形、鈍角三角形的內(nèi)角和，進(jìn)而概括出三角形的內(nèi)角和。“直覺(jué)”與“理性”的并蒂共生，讓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)煥發(fā)出生命的活力。

3. “思維”與“創(chuàng)造”和諧相融

“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”開(kāi)辟了學(xué)生“用手思考問(wèn)題”的道路。正是在“動(dòng)手做”的過(guò)程中，解壓了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。思維的解壓助推學(xué)生萌發(fā)創(chuàng)意。因此，數(shù)學(xué)化的“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”能讓學(xué)生“思維”與“創(chuàng)造”的和諧相融。比如教學(xué)“圓錐的體積”（蘇教版六年級(jí)下冊(cè)），傳統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)都是教師給學(xué)生提供等底等高的圓柱和圓錐，借助沙子或水進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?；跀?shù)學(xué)化的視角，教師應(yīng)當(dāng)放手讓學(xué)生探究。要把握好實(shí)驗(yàn)的“主體”與“主導(dǎo)”關(guān)系，給學(xué)生提供必要的素材、指導(dǎo)。當(dāng)教師賦予學(xué)生充分的探究時(shí)空，學(xué)生就會(huì)產(chǎn)生各種創(chuàng)造性的實(shí)驗(yàn)方式，比如將橡皮泥圓錐捏成圓柱;比如將圓錐完全浸入水中或裝滿水，借助量筒測(cè)量溢出的水的體積或圓錐中的水的體積;比如將圓錐裝滿水倒入圓柱，探求圓柱和等底等高的圓錐之間的關(guān)系，等等。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的數(shù)學(xué)化過(guò)程中，教師不僅要指導(dǎo)學(xué)生觀察、操作，更要指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行抽象、概括——“必要的凝聚”。

著名的數(shù)學(xué)教育家波利亞說(shuō)過(guò)，“數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面：一方面是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，從這方面看，數(shù)學(xué)像是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué);但創(chuàng)造過(guò)程中的數(shù)學(xué)，看起來(lái)卻像一門實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)。”數(shù)學(xué)化的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，兼具數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的歸納與演繹、直覺(jué)與理性、實(shí)踐與創(chuàng)造。正是通過(guò)“數(shù)學(xué)化”，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)軌蛘蔑@出獨(dú)特的育人課程價(jià)值。

二、“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”的數(shù)學(xué)化路徑

從根本上說(shuō)，“數(shù)學(xué)化”也就是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)的活動(dòng)過(guò)程?！皵?shù)學(xué)化”，可以分為“橫向數(shù)學(xué)化”和“縱向數(shù)學(xué)化”。所謂“橫向數(shù)學(xué)化”，就是從實(shí)驗(yàn)材料到實(shí)驗(yàn)結(jié)論的過(guò)程;所謂“縱向數(shù)學(xué)化”，就是對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)論進(jìn)行精致化的過(guò)程。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，教師要警惕過(guò)度追求實(shí)驗(yàn)結(jié)果的實(shí)驗(yàn)虛化;要警惕問(wèn)題引領(lǐng)的實(shí)驗(yàn)盲目;要警惕理性分析缺失的實(shí)驗(yàn)回顧，等等。

1. 問(wèn)題：讓解疑證惑引發(fā)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

基于“數(shù)學(xué)化”的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不是機(jī)械的、盲目的，而應(yīng)當(dāng)具有一定的針對(duì)性。運(yùn)用“問(wèn)題引領(lǐng)”，能讓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有的放矢。問(wèn)題引領(lǐng)，可以激發(fā)學(xué)生的實(shí)驗(yàn)需求，可以引發(fā)學(xué)生的實(shí)驗(yàn)期待，可以點(diǎn)燃學(xué)生的實(shí)驗(yàn)興趣，可以引導(dǎo)學(xué)生的思維跟進(jìn)，等等。比如教學(xué)“長(zhǎng)方形和正方形的面積”（蘇教版三年級(jí)下冊(cè)），筆者給學(xué)生提供了大小不一的長(zhǎng)方形以及單位面積的小正方形，讓學(xué)生用單位面積的小正方形進(jìn)行自主地拼擺。在學(xué)生實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中，筆者提出了這樣的幾個(gè)要求：觀察每行拼擺的個(gè)數(shù)與長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，拼擺的行數(shù)與長(zhǎng)方形的寬，拼擺的總個(gè)數(shù)與長(zhǎng)方形的面積。通過(guò)這樣的問(wèn)題，引領(lǐng)學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。學(xué)生一邊猜想一邊實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，一邊實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證一邊猜想。通過(guò)不斷地猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)，學(xué)生自主建構(gòu)長(zhǎng)方形和正方形的面積公式。在數(shù)學(xué)化的實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，問(wèn)題往往是思維的基礎(chǔ)。作為教師，要引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑問(wèn)難，形成學(xué)生數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的生長(zhǎng)點(diǎn)、生發(fā)點(diǎn)，進(jìn)而對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)發(fā)揮推波助瀾的作用。

2. 想象：讓合情猜想引領(lǐng)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

數(shù)學(xué)猜想、想象是一種試探性的思維。想象導(dǎo)引不同于問(wèn)題導(dǎo)引。問(wèn)題導(dǎo)引往往是清晰的、明確的，而想象導(dǎo)引則是具有一定相關(guān)性的實(shí)驗(yàn)引領(lǐng)。著名的數(shù)學(xué)家波利亞認(rèn)為，一個(gè)好的數(shù)學(xué)家必須是一個(gè)猜想家。數(shù)學(xué)化的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，將猜想與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證緊緊地聯(lián)系在一起。比如教學(xué)“圓的面積”（蘇教版五年級(jí)下冊(cè)），許多教師在引導(dǎo)學(xué)生做實(shí)驗(yàn)時(shí)，往往直接將圓剪拼成十六等份或三十二等份，然后拼成近似的長(zhǎng)方形。這樣的實(shí)驗(yàn)，學(xué)生完全被牽著走。筆者認(rèn)為，教師可以先借助方格圖引導(dǎo)學(xué)生猜想圓的面積與半徑的平方之間的關(guān)系。以猜想為源頭，然后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行推理性實(shí)驗(yàn)，能讓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)具有方向性。比如學(xué)生會(huì)主動(dòng)觀察長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、長(zhǎng)方形的寬與圓的半徑之間的關(guān)系，能主動(dòng)思考長(zhǎng)方形的面積與圓形的面積之間的關(guān)系，等等。在進(jìn)行數(shù)學(xué)比較的過(guò)程中，學(xué)生自然能建構(gòu)出“圓的面積”的公式。

3. 反思：讓理性審視反哺數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

基于“數(shù)學(xué)化”的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)需要學(xué)生的積極反思。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)的過(guò)程與實(shí)驗(yàn)的結(jié)果作數(shù)學(xué)化的審視。換言之，教師要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)化的眼光觀照實(shí)驗(yàn)，用數(shù)學(xué)化的大腦考量實(shí)驗(yàn)，用數(shù)學(xué)化的語(yǔ)言表達(dá)實(shí)驗(yàn)。通過(guò)理性反思、審視，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力、邏輯推理能力和數(shù)學(xué)建模能力。比如教學(xué)“平行四邊形的面積”（蘇教版五年級(jí)上冊(cè)），筆者在學(xué)生通過(guò)剪、拼、移的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，進(jìn)而推導(dǎo)出平行四邊形的面積之后，筆者引導(dǎo)學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)過(guò)程進(jìn)行“回頭看”，引導(dǎo)學(xué)生反芻、追問(wèn)：為什么要沿著平行四邊形的高剪開(kāi)？這樣的問(wèn)題倒逼學(xué)生自我審視。換言之，不沿著平行四邊形的高剪開(kāi)還可以將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形嗎？這樣的反思，能讓學(xué)生用理性反哺數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)走向深刻。學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不僅“知其然”，更“知其所以然”，還“知其所必然”。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的“數(shù)學(xué)化”路徑，關(guān)鍵是讓學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中產(chǎn)生數(shù)學(xué)化的意識(shí)，形成數(shù)學(xué)化的認(rèn)識(shí)。只有借助“數(shù)學(xué)化”，學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)才不會(huì)劍走偏鋒，從而具有數(shù)學(xué)特質(zhì)。數(shù)學(xué)化的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，不僅要求學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果具有數(shù)學(xué)化的判斷，而且對(duì)實(shí)驗(yàn)過(guò)程也有著相應(yīng)的理性認(rèn)知。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的關(guān)鍵、核心在于讓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)“數(shù)學(xué)化”。只有讓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)“數(shù)學(xué)化”，才能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不是僅僅停留在簡(jiǎn)單的、機(jī)械的、盲目的“操作化”層面。通過(guò)數(shù)學(xué)化的操作、數(shù)學(xué)化的思考、數(shù)學(xué)化的探索、數(shù)學(xué)化的審視、數(shù)學(xué)化的拓展等，才能讓學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。通過(guò)“數(shù)學(xué)化”的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維才能從低階邁向高階，進(jìn)而才能有效地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。