算理貫通 理法相融

靳培英 徐小群 尚林 鞏子坤

【摘? ?要】要實(shí)現(xiàn)算理貫通，就要促進(jìn)多種表征貫通;要實(shí)現(xiàn)理法相融，就要促進(jìn)算理走向算法。教師采用行動研究法，探查了有利于算理貫通、理法相融的兩位數(shù)加一位數(shù)（不進(jìn)位）、整十?dāng)?shù)的學(xué)習(xí)路徑。該加法的關(guān)鍵與本質(zhì)是“相同計(jì)數(shù)單位上的數(shù)才能夠直接相加”，這為加法豎式的“相同數(shù)位對齊”做好了鋪墊。優(yōu)化的學(xué)習(xí)路徑由4個層次推進(jìn)的認(rèn)知任務(wù)構(gòu)成：整十?dāng)?shù)加一位數(shù)、整十?dāng)?shù)加整十?dāng)?shù)→兩位數(shù)加一位數(shù)（不進(jìn)位）→兩位數(shù)加整十?dāng)?shù)→一位數(shù)加兩位數(shù)（不進(jìn)位）和整十?dāng)?shù)加兩位數(shù)。每個任務(wù)承載不同的教學(xué)目標(biāo)，呈現(xiàn)算理的程序表征、直觀表征、符號表征，并實(shí)現(xiàn)三類表征的貫通。

【關(guān)鍵詞】兩位數(shù)加一位數(shù)（不進(jìn)位）;算理貫通;理法相融;學(xué)習(xí)路徑

一、問題提出

運(yùn)算能力是最重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。《〈義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）〉解讀》指出：不僅會根據(jù)法則、公式等正確地進(jìn)行運(yùn)算，而且理解運(yùn)算的算理，能夠根據(jù)題目條件尋求正確的運(yùn)算途徑，稱為運(yùn)算能力。只有理解了運(yùn)算算理的運(yùn)算能力才是真正具有生產(chǎn)性的[1]。同時，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識，不能依賴死記硬背，而應(yīng)以理解為基礎(chǔ)，并在知識的應(yīng)用中不斷鞏固和深化?！诨炯寄艿慕虒W(xué)中，不僅要使學(xué)生掌握技能操作的程序和步驟，還要使學(xué)生理解程序和步驟的道理。” [2]因而說，對于諸如整數(shù)加減乘除等運(yùn)算類知識的教學(xué)，不僅要關(guān)注學(xué)生對運(yùn)算程序、運(yùn)算法則的掌握，還要關(guān)注其對算理的理解，這樣才能夠培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力。

兩位數(shù)加一位數(shù)，包括不進(jìn)位與進(jìn)位兩種情形，在整數(shù)加法中處于十分重要的地位。雖然在10以內(nèi)的加法、整十?dāng)?shù)加一位數(shù)與整十?dāng)?shù)加整十?dāng)?shù)中已經(jīng)滲透了“計(jì)數(shù)單位相同的數(shù)才能夠直接相加”的概念，但是，此時的加法要么僅僅關(guān)注一個計(jì)數(shù)單位（10以內(nèi)、整十?dāng)?shù)加整十?dāng)?shù)），要么通過數(shù)數(shù)就可以解決（整十?dāng)?shù)加一位數(shù)），事實(shí)上不涉及兩個計(jì)數(shù)單位，因而，計(jì)數(shù)單位的作用并沒有凸顯。兩位數(shù)加一位數(shù)，兩個計(jì)數(shù)單位的作用得到凸顯，因而，這是學(xué)生從“數(shù)位”的角度進(jìn)行加減運(yùn)算的開端，學(xué)生務(wù)必理解“計(jì)數(shù)單位相同的數(shù)才能夠直接相加”;同時，也是后續(xù)學(xué)習(xí)多位數(shù)加減法的重要基礎(chǔ)[3]。毫不夸張地說：兩位數(shù)加一位數(shù)學(xué)習(xí)后，再無“加法的相同數(shù)位對齊”。分析國內(nèi)不同版本教材關(guān)于兩位數(shù)加一位數(shù)（不進(jìn)位）、整十?dāng)?shù)的編排發(fā)現(xiàn)，人教版、北師大版、西師大版、蘇教版這四個版本教材在內(nèi)容的組織上較為相似，都是以學(xué)生熟悉的生活場景作為情境圖，算理、算法上結(jié)合擺小棒，把兩位數(shù)加一位數(shù)（不進(jìn)位）轉(zhuǎn)化為舊知10以內(nèi)的加法和整十?dāng)?shù)加一位數(shù)。類似于這樣的口算過程圖，雖然是為了組織學(xué)生進(jìn)行表象操作的過程——學(xué)生在頭腦中重現(xiàn)分一分、擺一擺的過程[4]，但又極容易給學(xué)生帶來不少的困惑。整體而言，雖然教材的結(jié)構(gòu)是合理的、思路是清晰的，但問題是在實(shí)際教學(xué)中，有的教師要么特別重視算理的教學(xué)，通過多種方式呈現(xiàn)算理，但沒能夠?qū)崿F(xiàn)算理的貫通，算理之間是互不關(guān)聯(lián)的;要么實(shí)現(xiàn)了算理的貫通，但沒有從算理水到渠成地走向算法。因而，必須探索有利于“算理貫通、理法相融”的學(xué)習(xí)路徑。

西蒙（Simon）認(rèn)為教師作為一個領(lǐng)域的研究者，應(yīng)按照學(xué)生的學(xué)習(xí)反思來修改教學(xué)活動[5]。Clements 與 Sarama 在Simon的理論基礎(chǔ)上，提出了學(xué)習(xí)路徑的概念，學(xué)習(xí)路徑就是對學(xué)生學(xué)習(xí)某一具體數(shù)學(xué)知識時思維與學(xué)習(xí)過程的描述以及一個相關(guān)的、設(shè)想的路徑，這個路徑由一系列的學(xué)習(xí)任務(wù)（Tasks）構(gòu)成[6]。學(xué)習(xí)路徑不但可以把握學(xué)生在學(xué)習(xí)中是如何進(jìn)步的，而且為教師設(shè)置合理的數(shù)學(xué)活動提供指導(dǎo)，有助于建立教與學(xué)的聯(lián)系[7]。

本文主要研究的問題是：（1）教師在教學(xué)中采用了怎樣的學(xué)習(xí)路徑？（2）存在哪些問題？（3）如何優(yōu)化學(xué)習(xí)路徑？（4）如何驗(yàn)證學(xué)習(xí)路徑得到了優(yōu)化？

二、研究設(shè)計(jì)

（一）理論模型

本文將學(xué)生的理解分為以下3個類型（如表1），以這三類理解類型為標(biāo)準(zhǔn)來判斷學(xué)生對算理的理解情況。

（二）研究對象

授課對象是杭州市富陽區(qū)某小學(xué)一年級兩個平行班的學(xué)生，我們將這兩個班稱為甲班、乙班。根據(jù)學(xué)生的數(shù)學(xué)期末考試成績和前測數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)這兩個班級的學(xué)生在數(shù)學(xué)水平上沒有顯著性差異。授課教師為S。

（三）研究方法

本研究主要采用課堂觀察法、問卷調(diào)查法、訪談法以及行動研究法來收集數(shù)據(jù)。來自上課教師的數(shù)據(jù)包括：教學(xué)設(shè)計(jì)，教學(xué)錄像，教學(xué)后的反思日志，課前、課后對教師的訪談;來自學(xué)生的數(shù)據(jù)包括：前后測，課堂作業(yè)，訪談;來自教師發(fā)展指導(dǎo)者（即研究者）的數(shù)據(jù)包括：教學(xué)研討錄像。

我們通過課堂教學(xué)觀察及前后測數(shù)據(jù)的對比來說明學(xué)習(xí)路徑是否得到了優(yōu)化。前測和后測分別由2道題目組成，且前后測題目類型一樣。

先列式計(jì)算，然后用盡可能多的方法，如文字解釋、畫直觀圖、算式表示等來說明你的計(jì)算方法是合理的，說明得越詳細(xì)越好[9]。

（1）一雙鞋34元，一雙襪子5元，買一雙鞋和一雙襪子需要多少元？

（2）一張電影票45元，一瓶礦泉水3元，買一張電影票和一瓶礦泉水需要多少元？

（四）數(shù)據(jù)處理

根據(jù)學(xué)生的回答，對每種理解類型（程序理解、直觀理解、抽象理解）分別賦分，結(jié)果正確得1分，錯誤或未答得0分，并計(jì)算出不同理解類型的平均得分。

最終以學(xué)生理解水平的提升程度、學(xué)生的課堂表現(xiàn)和課后訪談為依據(jù)，探查兩位數(shù)加一位數(shù)（不進(jìn)位）、整十?dāng)?shù)的學(xué)習(xí)路徑是否得到了優(yōu)化。

（五）實(shí)施步驟

研究的主要步驟如圖1所示。

三、結(jié)果與分析

（一）學(xué)習(xí)路徑A

1. 學(xué)習(xí)路徑A呈現(xiàn)

教師在沒有任何干預(yù)的情況下獨(dú)立進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)并授課。根據(jù)課堂實(shí)錄，整理出其設(shè)計(jì)與實(shí)施的學(xué)習(xí)路徑A，如圖2所示。

任務(wù)1意在復(fù)習(xí)“整十?dāng)?shù)加一位數(shù)”與“整十?dāng)?shù)加整十?dāng)?shù)”，為任務(wù)2做鋪墊。任務(wù)2意在促進(jìn)學(xué)生對算理的理解，感知算法。任務(wù)3意在讓學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上總結(jié)算法，凸顯相同計(jì)數(shù)單位上的數(shù)才能夠直接相加的算理。

2. 存在問題與原因分析

（1）沒有貫通算理

要真正理解算理，就要貫通各種表征方式，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)優(yōu)化。教師想通過多種方式來表征兩位數(shù)加一位數(shù)（不進(jìn)位）的算理，但是各種表征之間并沒有貫通，而是孤立地存在。這種情況下，也許絕大部分學(xué)生能夠正確地進(jìn)行運(yùn)算，但是對于為什么這么算卻知之甚少。

師：請你在15+2=，20+15=，30+15=，這三個算式中選兩個進(jìn)行研究，要求選擇的算式必須一個是兩位數(shù)加一位數(shù)、一個是兩位數(shù)加整十?dāng)?shù)。

師：請你根據(jù)探究單完成相應(yīng)的任務(wù)。（探究單如圖3所示。學(xué)生小組討論，并完成學(xué)習(xí)單，時間持續(xù)11分鐘）

師：第一小組，你們的結(jié)果是怎么樣的？（學(xué)生呈現(xiàn)自己組的學(xué)習(xí)單，如圖4所示）

師：用小棒表示時，上面表示的是30，下面表示的是15。在數(shù)位表上，上面表示的是30，下面表示的是15。最后的分解圖，你有疑問嗎？（學(xué)生沉默）

師：老師有疑問，為什么要把30分成10和20？（學(xué)生沉默）

師：你們覺得是兩位數(shù)加整十?dāng)?shù)好，還是整十?dāng)?shù)加整十?dāng)?shù)好？

生：整十?dāng)?shù)加整十?dāng)?shù)好。

師：那我們在計(jì)算時，還需要把整十?dāng)?shù)分開嗎？

生：不需要。

師：那我們可以把30和15換下位置，把15分成10和5再計(jì)算。

首先，整節(jié)課大部分的時間讓學(xué)生來完成探究單，僅僅讓學(xué)生探究30+15=45這個算式就足足花了11分鐘。

其次，教師請學(xué)生擺一擺小棒、畫一畫數(shù)位表、撥一撥計(jì)數(shù)器后，僅僅呈現(xiàn)了算式和計(jì)算的結(jié)果，沒有要求學(xué)生說明為什么這么擺、這么畫、這么撥;黑板上也沒有留下各種可見的直觀表征。因此，也就談不上多種表征的貫通。

另外，由于教師把算式寫成了30+15=45，學(xué)生在寫分解圖時，出現(xiàn)了把30分成10和20的情況，學(xué)生困惑不已，教師不得不從各個角度引導(dǎo)學(xué)生，交換30和15的位置，從而使整節(jié)課的教學(xué)顯得尤為混亂。

（2）任務(wù)中的“數(shù)據(jù)”設(shè)計(jì)不合理

“15+2”“15+30”這兩個教學(xué)任務(wù)過于簡單，比如，學(xué)生通過“數(shù)手指”很容易就能算出“15+2=17”，這不利于學(xué)生探究算理。

3. 學(xué)習(xí)路徑完善建議

（1）促使表征貫通

教師在教學(xué)的過程中，除了讓學(xué)生動手操作外，還要向?qū)W生動態(tài)演示計(jì)算的過程，在黑板上要留下親眼可見的直觀圖，同時要注意表征的貫通。

（2）改變探究算式

增加任務(wù)的難度，把15+2，15+30換成53+4和53+40，使數(shù)據(jù)更具有探索性。

（二）重構(gòu)的學(xué)習(xí)路徑B

1.學(xué)習(xí)路徑B呈現(xiàn)

教師S在乙班重構(gòu)的學(xué)習(xí)路徑B如下（圖5）。

相對于學(xué)習(xí)路徑A，路徑B有以下變化：

①改變表征方式，促進(jìn)表征貫通。通過擺小棒、計(jì)數(shù)器表征出53+4的計(jì)算過程;由于數(shù)位表與計(jì)數(shù)器本質(zhì)上是一樣的，這里不再使用數(shù)位表。

②任務(wù)中的數(shù)據(jù)變?yōu)?3+4和53+40，難度增大，使得計(jì)算過程更具有探索性。

2.重構(gòu)路徑的效果分析

（1）教學(xué)實(shí)況分析

①實(shí)現(xiàn)表征貫通。

師：請小朋友說一說他是怎么計(jì)算的。

生：53分成50和3，3加4等于7，50加7等于57。

（學(xué)生邊說，教師邊在黑板上呈現(xiàn)，如圖6所示）

師：計(jì)算的先后順序是？

生：先算個位，再算十位。

師：老師準(zhǔn)備了小棒、計(jì)數(shù)器、數(shù)位表，剛才這個小朋友說的計(jì)算過程，你能利用這些學(xué)具演示一下嗎？

師：請你先思考，再擺一擺小棒、撥一撥計(jì)數(shù)器，然后和同桌交流。

師：我們請這位小朋友說一說他是怎么想的。

生：我選擇小棒，先擺5捆小棒，再擺3根小棒，因?yàn)槭羌?，所以在個位上再擺4根小棒，結(jié)果是57。（學(xué)生邊說邊演示）

師：還有其他方法嗎？

生：我選擇計(jì)數(shù)器，先在十位上撥5顆算珠，在個位上再撥3顆算珠，因?yàn)槭羌?，所以在個位上再撥4顆算珠，結(jié)果是57。（學(xué)生邊說邊演示）

師：那53+40怎么計(jì)算？

生：把53分成50和3，50加40等于90，90加3等于93。（學(xué)生邊說，教師邊在黑板上呈現(xiàn)，如圖7所示）

師：用小棒怎么表示？

生：同樣地，先擺5捆小棒，再擺3根小棒，因?yàn)槭羌?0，所以在十位上再擺4根小棒，結(jié)果是93。（學(xué)生邊說邊演示）

師：用計(jì)數(shù)器怎么表示？

生：先在十位上撥5顆算珠，在個位上再撥3顆算珠，因?yàn)槭羌?0，所以在十位上再撥4顆算珠，結(jié)果是93。（學(xué)生邊說邊演示）

②促使算理走向算法。

師：我們計(jì)算53+4時，加上的4表示？

生：表示4個一。

師：所以這時候4要和誰相加？

生：和3相加，結(jié)果是57。

師：在計(jì)算53+40時，為什么4不是和3相加？

生：因?yàn)?在十位表示4個十，3在個位表示3個一，計(jì)數(shù)單位不同，不能夠直接相加。

師：所以4要和誰相加？

生：和5相加，結(jié)果是93。

師：是的，只有相同計(jì)數(shù)單位上的數(shù)才能夠直接相加。

通過以上教學(xué)過程，學(xué)生明白，只有相同計(jì)數(shù)單位上的數(shù)才能夠直接相加，從而促使算理走向算法;同時，為理解“數(shù)位對齊”做好了鋪墊。

（2）課后測試結(jié)果比較

為了檢測路徑A、路徑B的實(shí)施效果，兩次教學(xué)前后都對學(xué)生實(shí)施了前后測，結(jié)果如表2、表3所示。

由表2可以看出，無論前測還是后測，學(xué)生程序理解的均分最高，直觀理解次之，抽象理解的均分最低。第一次教學(xué)干預(yù)后，絕大部分學(xué)生能夠準(zhǔn)確算出得數(shù)，一大半的學(xué)生能夠進(jìn)行直觀表征，少部分的學(xué)生能夠進(jìn)行抽象表征。

由表3可以看出，學(xué)生程序理解、直觀理解的均分較高，抽象理解的均分最低。整體來說，在三種理解類型上，后測的數(shù)據(jù)要大幅度高于前測，也就是說，實(shí)施學(xué)習(xí)路徑B后，教學(xué)取得了一定的進(jìn)步，說明學(xué)習(xí)路徑得到了優(yōu)化。

3.問題與改進(jìn)建議

（1）增加關(guān)鍵問題提問

在學(xué)生通過擺一擺小棒、撥一撥計(jì)數(shù)器呈現(xiàn)了53+4的算理與計(jì)算過程后，教師可以提出以下關(guān)鍵問題：學(xué)具不同，結(jié)果都是57，計(jì)算過程有何相同之處？這樣可以幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)算理的貫通。同時，在計(jì)算53+40后，引導(dǎo)學(xué)生比較53+40與53+4的異同，促使算理走向算法。

（2）增加任務(wù)4

任務(wù)4是計(jì)算4+53，40+53，強(qiáng)化算法，讓學(xué)生深刻感受53+4和4+53，53+40和40+53的異同，在產(chǎn)生一系列的認(rèn)知沖突后明白，無論是53+4還是4+53，其本質(zhì)都是一樣的，都是“相同計(jì)數(shù)單位上的數(shù)才能夠直接相加”。同時滲透加法交換律，53+4是57，4+53也是57;53+40是93，40+53也是93，使學(xué)生體會到即便算式的形式改變了，但是本質(zhì)沒有變;加數(shù)的位置變了，但結(jié)果沒有變。

四、結(jié)論與建議

（一）學(xué)習(xí)路徑的建議

學(xué)習(xí)路徑設(shè)計(jì)的重點(diǎn)是對算理進(jìn)行多種表征，并貫通各種表征，實(shí)現(xiàn)對算理的概念性理解;同時，在理解算理的基礎(chǔ)上，通過探究實(shí)現(xiàn)算理與算法的融會貫通。而要做到這一點(diǎn)，就要設(shè)計(jì)層次遞進(jìn)的、具有內(nèi)在邏輯順序的學(xué)習(xí)任務(wù)序列，構(gòu)建合理的學(xué)習(xí)路徑[10]。通過對學(xué)習(xí)路徑A、B的實(shí)踐，分析，反思與批判，從促進(jìn)學(xué)生理解算理的視角出發(fā)，我們建議兩位數(shù)加一位數(shù)（不進(jìn)位）的學(xué)習(xí)路徑可構(gòu)建如下（圖8）。

（二）充分認(rèn)識到理解算理的重要性

一年級學(xué)生剛接觸運(yùn)算類的知識，思維還處于萌芽階段，教師在教學(xué)過程中一定要使學(xué)生知其然且知其所以然，切勿進(jìn)行機(jī)械的重復(fù)訓(xùn)練。通過多種表征的轉(zhuǎn)化，使算理和算法實(shí)現(xiàn)融會貫通，為后續(xù)運(yùn)算知識的學(xué)習(xí)打下扎實(shí)的思維基礎(chǔ)。因此，教師不僅要求學(xué)生能夠達(dá)到正確進(jìn)行兩位數(shù)加一位數(shù)（不進(jìn)位）、整十?dāng)?shù)運(yùn)算的學(xué)習(xí)目標(biāo)，而且更要使學(xué)生意識到理解運(yùn)算算理對提高運(yùn)算能力的重要性。

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