在“變化”中拓展數(shù)學(xué)思維，在“過程”中感悟辯證思想

李國娟

【摘? ?要】通過討論“殘破”鐘面上的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生感受到“時(shí)針與分針”的相互依存關(guān)系，了解時(shí)針、分針的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律和它們的對(duì)立統(tǒng)一。在條件不足無法解決問題的情況下，可以轉(zhuǎn)換思路，嘗試運(yùn)用“矛盾轉(zhuǎn)化”的策略。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思維;滲透;辯證思想

數(shù)學(xué)充滿辯證思想，加與減、乘與除、等與不等、正與負(fù)、正比例與反比例、圓與方、可能與確定等，既有區(qū)別又有聯(lián)系。本文結(jié)合“殘破鐘面上的數(shù)學(xué)”的教學(xué)，談?wù)剬?duì)滲透“相互依存”“對(duì)立統(tǒng)一”“運(yùn)動(dòng)變化”“矛盾轉(zhuǎn)化”等辯證思想的一些思考。

一、探究時(shí)針、分針規(guī)律，體會(huì)“相互依存”“對(duì)立統(tǒng)一”

通過研究時(shí)針、分針的關(guān)系，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用時(shí)針的位置確定分針的位置。

1.演示從2∶00走向3∶00。

撥動(dòng)鐘面上的分針，感受“時(shí)針轉(zhuǎn)1大格分針轉(zhuǎn)1圈”的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是相等的，因而1小時(shí)=60分。在探究時(shí)針與分針轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律的過程中，學(xué)生懂得應(yīng)珍惜時(shí)間，熱愛生活，感恩生命……

2.演示從3∶00走向3∶30。

撥動(dòng)時(shí)針，觀察、比較、分析并歸納：時(shí)針走1大格，分針走60小格是1小時(shí)，也可以說時(shí)針走5小格，分針走60小格是1小時(shí);時(shí)針走2小格半，分針走30小格是半小時(shí)……一方面為“小格”轉(zhuǎn)化成“分”埋下伏筆，另一方面讓學(xué)生感受到“時(shí)針與分針”的聯(lián)動(dòng)，是“相互依存”的“對(duì)立統(tǒng)一”。

師：（鐘面出示3：30）你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生：時(shí)針指在3和4的中間，分針指向6。

師：從3：00到3：30，時(shí)針和分針發(fā)生了怎么樣的變化？

生：分針走了半圈。也就是分針走了6大格。

師：就是多少小格？

生：分針走了30小格。

師：誰能完整地來說一說從3：00到3：30時(shí)針和分針是怎么走的？

生：時(shí)針走了2小格半，分針走了30小格。

生：時(shí)針走2小格半，分針要走30小格;也就是時(shí)針走2小格半與分針要走30小格經(jīng)過的時(shí)間相等……

師：太好了，你們發(fā)現(xiàn)了“時(shí)針與分針”的依存關(guān)系。

二、研究“半殘破”鐘面，經(jīng)歷“運(yùn)動(dòng)變化”的體驗(yàn)

小故事引入：小明為了很好地把控時(shí)間、提高效率，特意將“鐘”掛到墻面上，但一不小心，“鐘”面摔破了……老師把這個(gè)“摔破的鐘面”作為素材，供大家“研學(xué)”。

師：要確定分針的位置，你認(rèn)為應(yīng)該在哪里？仔細(xì)觀察右邊的鐘面，四人小組討論，可以畫一畫，算一算。

（四人小組合作研究）

師：哪個(gè)小組先來發(fā)表研究成果？

生：我們認(rèn)為分針指向12。

生：我們認(rèn)為分針指向4的地方。

生：我們認(rèn)為分針指向3 的位置。

生：我們認(rèn)為分針指向2的位置。

生：我們認(rèn)為分針應(yīng)該指向數(shù)字2超過2小格的地方。也就是說分針應(yīng)該是走12小格。因?yàn)闀r(shí)針走1小格分針走（60除以5）12小格。

師：從剛才這組同學(xué)的分析中，你覺得要確定分針的位置什么是至關(guān)重要的？

生：時(shí)針的位置。

師：是呀，時(shí)針走1小格分針走12小格，如果時(shí)針走了2小格，分針走幾小格？時(shí)針走3小格呢？時(shí)針走4小格呢？

面對(duì)10時(shí)多一點(diǎn)的“半殘破”的鐘面，學(xué)生經(jīng)歷了深度學(xué)習(xí)，感受了“變化的規(guī)律性”，經(jīng)歷了“批判性思考”。

從半殘破的鐘面可以判斷鐘面上表示的是10時(shí)多一點(diǎn)，那到底多多少呢？分針該指向哪里？學(xué)生憑經(jīng)驗(yàn)猜測，判斷不超過30分，因?yàn)闀r(shí)針指向10時(shí)過一點(diǎn)點(diǎn)，分針不可能指向刻度“6”即30分的地方。倘若分針指向“6”，時(shí)針該是在10時(shí)超2小格半的位置，顯然時(shí)針不在這個(gè)位置。學(xué)生經(jīng)過“時(shí)針與分針”走動(dòng)的格子數(shù)的統(tǒng)籌考慮，逐漸尋求到了正確答案。

而后的“如果時(shí)針走2小格，分針走24小格即24分，鐘面上的指示就為10：24;時(shí)針走3小格，分針走36小格即36分，鐘面上的指示就為10：36;時(shí)針走4小格，分針走48小格即48分，鐘面上的指示就為10：48……”將課堂帶入了動(dòng)態(tài)狀況，使學(xué)生感受到“時(shí)針與分針”運(yùn)動(dòng)變化的樣態(tài)，滲透了世間萬物是相互聯(lián)系的觀點(diǎn)。

三、探究“全殘破”鐘面，滲透“矛盾轉(zhuǎn)化”的觀點(diǎn)

下圖是一個(gè)“全殘破的鐘面”，只有兩個(gè)數(shù)字與時(shí)針，為了確定分針的指向位置，課堂上學(xué)生開始了有序思考。

1.7時(shí)多8時(shí)不到，由于沒有小格，不知7時(shí)超幾小格，時(shí)針的位置確定不下來，根據(jù)剛才半殘破鐘面上的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，無法確定“分針”的位置。

2.猜想分針指向“4、5、6、7、8、9、10”的位置，但無依據(jù)，因此無法確定“分針”的位置，從而產(chǎn)生需要“增加信息”的想法。

3.矛盾轉(zhuǎn)化。增加“分鐘數(shù)既是4的倍數(shù)又是6的倍數(shù)”的信息后，學(xué)生的思考方向快速轉(zhuǎn)移到找4與6的公倍數(shù)上，于是從小到大依次排列為12、24、36、48、60，學(xué)生發(fā)現(xiàn)“60”不可能，因?yàn)闀r(shí)針指向不到整點(diǎn)“8”;“12”也不合適，因?yàn)闀r(shí)針指向“7”與“8”的過半位置。在這個(gè)有序排列的過程中，學(xué)生的思維是多元的，既要有序思考，又要考慮4和6的公倍數(shù)，還要考慮是否與題目相符（也就是觀察時(shí)針的位置），促進(jìn)了思維的發(fā)展。

4.有序否定。通過剛才的有序思考，分針指向的可能位置是24、36、48;這時(shí)僅憑觀察難以解決問題，需在腦中將7與8之間的一小段圓弧平均分成5份，再與分針指向位置結(jié)合起來考慮;如果“分針”指向“24”，時(shí)針應(yīng)該是7時(shí)過2小格，“24”排除了;如果“分針”指向“48”，時(shí)針是7時(shí)過4小格，“48”也排除了……最后剩下“36”，分針指向“36”，時(shí)針指向7時(shí)超3小格，也就是全殘破鐘面上的時(shí)間是7：36。

殘破的鐘面，帶給學(xué)生的思考卻是完整的。課堂上可感受到學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、處理問題和解決問題能力的提升，促進(jìn)了猜測、推理、有序思考等核心素養(yǎng)的養(yǎng)成。其間也滲透了“事物相互依存，運(yùn)動(dòng)變化、矛盾轉(zhuǎn)化”等辯證思想。

（浙江省紹興市柯橋區(qū)柯巖中心小學(xué)? ?312030）