等比數(shù)列及其前n 項和的性質(zhì)與應(yīng)用

◇ 陳曉明

在各級各類考試中，等比數(shù)列及其前n項和的各種性質(zhì)的考查十分常見，但教材中呈現(xiàn)出來的顯性性質(zhì)較少，因此，非常有必要對等比數(shù)列及其前n項和的性質(zhì)進行進一步研究、歸納、總結(jié).同時，在解題中經(jīng)常用到等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，我們對它們進行歸納、總結(jié)，可讓我們的解題思路更開闊.另外，研究等比數(shù)列及其前n項和的性質(zhì)與應(yīng)用可以類比等差數(shù)列及其前n項和的性質(zhì)與應(yīng)用.

“等比數(shù)列”“等比數(shù)列的前n項和”分別是人教A版教材數(shù)學(xué)《必修5》(以下簡稱“教材”)中第二章“數(shù)列”第2.4和2.5節(jié)內(nèi)容.教材中這兩節(jié)內(nèi)容呈現(xiàn)的是知識的“學(xué)術(shù)形態(tài)”，作為數(shù)學(xué)教師，必須將其轉(zhuǎn)化為“教育形態(tài)”才能讓學(xué)生更容易接受，或者說能更好地備考.在各級各類考試中，對等比數(shù)列及其前n項和的各種性質(zhì)的考查顯得尤為突出，而教材中呈現(xiàn)出來的顯性性質(zhì)較少，因此，本文對等比數(shù)列及其前n項和的性質(zhì)進行進一步研究、歸納、總結(jié).

1 等比數(shù)列及其前n項和有關(guān)概念

1.1 等比數(shù)列的定義

一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫作等比數(shù)列，這個常數(shù)叫作等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0).用符號語言表示等比數(shù)列為

1.2 等比數(shù)列的通項公式及其幾何意義

等比數(shù)列{an}的通項公式為an＝a1qn－1，即an＝，當(dāng)q＞0且q≠1時，an為n的指數(shù)型函數(shù)，此時函數(shù)圖象為指數(shù)型函數(shù)圖象上的孤立點.易知數(shù)列{an}為等比數(shù)列的充要條件是其通項公式an＝f(n)＝cqn(c，q為非零常數(shù)).

推廣an＝amqn－m(當(dāng)m＝1時即為通項公式)，其變式為

1.3 等比數(shù)列的前n項和公式及其幾何意義

2 等比數(shù)列及其前n項和的性質(zhì)

2.1 角碼和定理

在等比數(shù)列中，若p＋q＝m＋n(p，q，m，n∈N＋)，則有apaq＝aman.特別地，

(1)當(dāng)m＝n時

(2)an－kan＋k＝

另外，該定理可推廣到多項的情況，如：若p＋q＋s＝m＋n＋t(p，q，m，n，s，t∈N＋)，則apaqas＝amanat.要注意的是利用角碼和定理時，需要滿足等式左右兩邊項數(shù)相同，不要出現(xiàn)認為a2a3＝a5始終成立的錯誤.

練習(xí)(1)等比數(shù)列{an}中，若a7＝10，a14＝20，則a21＝_________.

(2)在等比數(shù)列{an}中知a2a3a10a11＝36，則a5a8＝_____.

答案(1)40；(2)±6.

2.2 單調(diào)性

和等差數(shù)列相比，等比數(shù)列{an}的單調(diào)性要復(fù)雜多了.令等比數(shù)列公比為q，則

(1)當(dāng)a1＞0時，若q＞1，則{an}為遞增等比數(shù)列；若0＜q＜1，則{an}為遞減等比數(shù)列.

(2)當(dāng)a1＜0時，若q＞1，則{an}為遞減等比數(shù)列；若0＜q＜1，則{an}為遞增等比數(shù)列.

(3)若q＝1，則{an}為常數(shù)列，不具備單調(diào)性.

(4)若q＜0，則{an}為擺動數(shù)列，不具備單調(diào)性.

2.3 運算性質(zhì)

(1)若{an}是等比數(shù)列，則數(shù)列{kan}(k≠0)，{apn＋q}(p，q∈N＋)，{|an|}均為等比數(shù)列.

(2)若{an}是等比數(shù)列，則數(shù)列均為等比數(shù)列.

推廣一個等比數(shù)列各項的k次冪仍組成一個等比數(shù)列，新公比是原公比的k次冪.

(3)若{an}，{bn}都是等比數(shù)列，則數(shù)列{kan·(k，p為非零常數(shù))均為等比數(shù)列.

(4)若{an}是等比數(shù)列，且公比q≠－1，則數(shù)列a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4，…也是等比數(shù)列，且公比為q.(可再進行推廣).

(5)若{an}是等比數(shù)列，令a1a2a3…ak＝Tk，則數(shù)列也是等比數(shù)列.

(6)若{an}是等差數(shù)列，則數(shù)列{man}(m為非零常數(shù))是等比數(shù)列；若{an}是正項等比數(shù)列，則數(shù)列{logcan}(c為正常數(shù)且c≠1)是等差數(shù)列.

2.4 等比數(shù)列前n項和Sn的幾個結(jié)論

(1)若{an}是等比數(shù)列，Sn是其前n項和，且公比q≠－1，則數(shù)列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…(k∈N＋)也是等比數(shù)列，且公比q′＝qk.當(dāng)q＝－1，且k為偶數(shù)時，則數(shù)列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…(k∈N＋)是各項為0的常數(shù)列，不是等比數(shù)列；當(dāng)q＝－1，且k為奇數(shù)時，則數(shù)列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…(k∈N＋)仍為等比數(shù)列.

(2)在等比數(shù)列{an}中，當(dāng)項數(shù)為偶數(shù)2n時，S偶＝qS奇；當(dāng)項數(shù)為奇數(shù)2n＋1時，S奇＝a1＋qS偶.(注：S偶＝a2＋a4＋a6＋…，S奇＝a1＋a3＋a5＋…).

(3)在等比數(shù)列{an}中，

練習(xí)在等比數(shù)列{an}中，若a1＋a3＋a5＋…＋a99＝150，且公比q＝2，則數(shù)列{an}的前100項和為_________.

答案因為，所以a2＋a4＋…＋a100＝300，因此，易知數(shù)列{an}的前100項和為450.

3 應(yīng)用舉例

例1定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)，如果對于任意給定的等比數(shù)列{an}，{f(an)}仍是等比數(shù)列，則稱f(x)為“保等比數(shù)列函數(shù)”.現(xiàn)有定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函數(shù)：

①f(x)＝x2； ②f(x)＝2x；

③f(x)＝④f(x)＝ln|x|.

其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的f(x)序號為( ).

A.①② B.③④ C.①③ D.②④

簡析由上述等比數(shù)列的運算性質(zhì)，不難判斷本題正確答案是C.

例2若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，則下面四個數(shù)列中為等比數(shù)列的有( ).

①{can}(c為常數(shù))；②{an＋an＋1}；③{an·an＋1}；④

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

對于①，若{an}是等比數(shù)列，則當(dāng)c＝0時，{can}不是等比數(shù)列；對于②，若{an}是公比q＝－1的等比數(shù)列，則an＋an＋1＝0，所以{an＋an＋1}不是等比數(shù)列；對于③④，由等比數(shù)列的定義及運算性質(zhì)可知其均為等比數(shù)列.故選B.

例3在等比數(shù)列{an}中，an＞0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，則a4＋a5的值為( ).

A.16 B.27 C.36 D.81

方法1設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由已知 得所以q2＝9，因為an＞0，所以q＝3，故a4＋a5＝q(a3＋a4)＝3×9＝27，故選B.

方法2設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由an＞0可知，q＞0.由已知得，解得q＝3或－3(舍).根據(jù)等比數(shù)列的運算性質(zhì)可得a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4，a4＋a5成等比數(shù)列，且公比為3，所以a4＋a5＝1×33＝27，故選B.

例4設(shè){an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，bn＝log2an，b1＋b2＋b3＝3，b1b2b3＝－3，求{an}的通項公式.

設(shè)數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q.因為b1＋b2＋b3＝3，所以log2a1＋log2a2＋log2a3＝3，即log2(a1a2a2)＝3，所以a1a2a3＝8，由角碼和定理，得＝8，故a2＝2.因為b1b2b3＝－3，所以log2a1·log2a2·log2a3＝－3，故log2a1·log2a3＝－3，所以

例5已知三角形的三邊長度可構(gòu)成等比數(shù)列，它們的公比為q，試求q的取值范圍.

設(shè)三邊長為a，aq，aq2(q＞0)，因為三角形兩邊之和大于第三邊，所以由等比數(shù)列的單調(diào)性可分類討論.

通過對比四種解題方法，可以發(fā)現(xiàn)方法1思路簡便，但運算量過大；方法2采用特殊值法，使問題簡單化，但只適用于解選擇題；方法3思路略顯復(fù)雜；方法4應(yīng)用等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)，簡化運算，且思路清晰.

上述結(jié)論及公式隱藏在教材不同的角落，同學(xué)們要注意將它們聯(lián)系起來進行研究，這樣才會更加清楚地認識到問題的本質(zhì)，才能有新的發(fā)現(xiàn)，從而將知識融會貫通.同時，上述結(jié)論及公式在解題中經(jīng)常用到，我們對它們進行歸納、總結(jié)，可讓我們的解題思路更開闊.

等比數(shù)列是特殊的數(shù)列，更是特殊的函數(shù)，利用函數(shù)思想研究等比數(shù)列及其前n項和是解決問題的一個重要的突破口，應(yīng)引起我們的重視.另外，研究等比數(shù)列及其前n項和的性質(zhì)與應(yīng)用可以類比等差數(shù)列及其前n項和的性質(zhì)與應(yīng)用.