2020年高考全國(guó)?芋卷數(shù)列題的研究

吳志峰

一、試題再現(xiàn)

【2020年高考全國(guó)？芋卷理數(shù)第17題】設(shè)數(shù)列{ an }滿(mǎn)足a1=3，an+1=3an-4n.

（I）計(jì)算a2、a3，猜想{ an }的通項(xiàng)公式并加以證明;

（？域）求數(shù)列{ 2n an }的前n項(xiàng)和Sn.

二、試題分析

本題是高考解答題的第一個(gè)題目，是容易題. 考查的知識(shí)點(diǎn)有數(shù)列的遞推公式，數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)列求和等. 考查函數(shù)與方程，化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查的核心素養(yǎng)有數(shù)學(xué)運(yùn)算，邏輯推理. 數(shù)列知識(shí)是歷年高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)問(wèn)題，數(shù)列的遞推公式、數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列求和作為數(shù)列的幾種常見(jiàn)形式，在考試中經(jīng)常出現(xiàn). 本題第（I）問(wèn)考查由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，這是一個(gè)?？汲Ｐ碌膯?wèn)題，與我們所學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本方法有很大的關(guān)系，常常通過(guò)一定的轉(zhuǎn)化，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成我們熟悉的等差、等比數(shù)列模型進(jìn)行求解，從而有效解決問(wèn)題，或者利用數(shù)學(xué)歸納法先猜后證求得數(shù)列的通項(xiàng)公式. 本題第（？域）問(wèn)考查差比數(shù)列（由等差數(shù)列和等比數(shù)列相乘得到的新數(shù)列）的求和問(wèn)題，是一個(gè)很多考生一看就懂，一算就錯(cuò)的問(wèn)題.本文通過(guò)對(duì)這兩個(gè)問(wèn)題的分析與總結(jié)，列舉構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)公式的幾種常見(jiàn)類(lèi)型和差比數(shù)列求和的幾種常用方法，供各位考生參考.

三、解法分析

（I）解法一：因?yàn)閍1=3，an+1=3an-4n，所以a2=3a1-4=5，a3=3a2-8=7，

猜想，an=2n+1，n∈N？鄢.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.

①當(dāng)n=1時(shí)，a1=3符合上式.

②假設(shè)n=k時(shí)，ak=2k+1成立.

當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1=3ak-4k=3（2k+1）-4k=2（k+1）+1也成立.

綜上所述，由①②得an=2n+1，n∈N？鄢.

點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)證明中的一種重要的證明方法，常用來(lái)證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題. 數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)列求通項(xiàng)公式、數(shù)列求和、與數(shù)列有關(guān)的不等式的證明中有著廣泛的應(yīng)用，在數(shù)列求通項(xiàng)公式的問(wèn)題中，在常規(guī)方法受阻的情況下，利用數(shù)學(xué)歸納法這種先猜后證的思路往往能夠讓我們快速找到問(wèn)題的解決辦法.

解法二：因?yàn)閍1=3，an+1=3an-4n，

所以an+1-2（n+1）-1=3（an-2n+1）.

由迭代法得：an-2n-1=3[an-1-2（n-1）-1]=…=3n-1（a1-3）=0，

所以an=2n+1.

點(diǎn)評(píng)：本解法通過(guò)構(gòu)造一個(gè)各項(xiàng)均為零的數(shù)列{an-2n-1}，從而求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的思想在解題中的應(yīng)用. 對(duì)于an+1=Aan+Bn+C（A≠0，A≠1）類(lèi)型的遞推公式求通項(xiàng)公式的時(shí)候，可以通過(guò)構(gòu)造an+1-k（n+1）-b=A（an-kn-b）的形式，再利用迭代法或者等比數(shù)列的知識(shí)進(jìn)行求解. 注意本題條件a1-3=0，所以這里數(shù)列{an-2n-1}并不是等比數(shù)列，而是一個(gè)各項(xiàng)均為0的常數(shù)列.

解法三：因?yàn)閍1=3，an+1=3an-4n，……①

所以a2=5，an=3an-1-4（n-1） （n≥2），……②

由①-②得：an+1-an=3an-3an-1-4 （n≥2），

所以an+1-an-2=3（an-an-1-2） （n≥2），

由迭代法得an-an-1-2=3（an-2-an-3-2）=…=3n-2（a2-a1-2）=0.

所以an-an-1-2=0 （n≥2），

所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1=3，d=2，

所以an=2n+1，n∈N？鄢.

點(diǎn)評(píng)：本解法通過(guò)構(gòu)造一個(gè)各項(xiàng)均為零的數(shù)列{an-an-1-2}，從而推出數(shù)列{an}是等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的公式求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的思想在解題中的應(yīng)用. 注意本題條件a2-a1-2=0，所以這里數(shù)列{an-an-1-2}并不是等比數(shù)列，而是一個(gè)各項(xiàng)均為0的常數(shù)列.

（II）解法一：錯(cuò)位相減法

依題意得：2nan=（2n+1）2n，

所以Sn=3×21+5×22+7×23+…+（2n+1）2n………③

兩邊同時(shí)乘以2得：2Sn=3×22+5×23+7×24+…+（2n+1）2n+1………④

③-④得：-Sn=3×2+2×（22+23+…+2n）-（2n+1）2n+1

=6+2× -（2n+1）2n+1

化簡(jiǎn)得：Sn=（2n-1）2n+1+2.

點(diǎn)評(píng)：本解法是錯(cuò)位相減法，是解決差比數(shù)列的求和問(wèn)題常見(jiàn)方法，用錯(cuò)位相減法求差比數(shù)列的和的步驟有：列出前n項(xiàng)和，兩邊同時(shí)乘以公比q，兩式相減，公式求和，化簡(jiǎn)檢驗(yàn). 體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的“消元化簡(jiǎn)”和“把陌生問(wèn)題轉(zhuǎn)化成熟悉問(wèn)題”的數(shù)學(xué)思想.此解法的優(yōu)點(diǎn)是思路清晰，方法比較容易掌握，缺點(diǎn)是計(jì)算量較大，每一個(gè)步驟都有很多計(jì)算上的易錯(cuò)點(diǎn)，需要特別注意.

解法二：裂項(xiàng)相消法

設(shè)2nan=（2n+1）2n=[k（n+1）+b]2n+1-（kn+b）2n =（kn+2k+b）2n

所以k=2，2k+b=1，即k=2，b=-3，

所以（2n+1）2n=（2n-1）2n+1-（2n-3）2n? =-（2n-3）2n? +（2n-1）2n+1

所以Sn =3×21+5×22+7×23+…+（2n+1）2n

=[-（-1）×21+1×22]+（-1×22+3×23）+…+[-（2n-3）2n+（2n-1）2n+1]

=2+（2n-1）2n+1.

點(diǎn)評(píng)：裂項(xiàng)相消法也是數(shù)列求和的一種常用方法，常用來(lái)解決分式型的數(shù)列求和問(wèn)題，其實(shí)只要通項(xiàng)公式能夠拆成f（n+1）與f（n）的差的形式的數(shù)列求和問(wèn)題都可以用裂項(xiàng)相消法. 用裂項(xiàng)相消法求差比數(shù)列的和時(shí)，只需要用待定系數(shù)法把通項(xiàng)公式裂成f（n+1）-f（n）的形式即可（其中f（n）=（kn+b）qn）. 此解法的優(yōu)點(diǎn)在于運(yùn)算量小，準(zhǔn)確率高，但是需要考生能夠掌握差比數(shù)列通項(xiàng)公式裂項(xiàng)的技巧，這個(gè)需要經(jīng)過(guò)一定訓(xùn)練才能做到.

解法三：待定系數(shù)法

首先，我們來(lái)推導(dǎo)差比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的一般形式.

引理：己知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，公差d≠0，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，公比q≠1，則數(shù)列{an bn}的前n項(xiàng)和Sn=b-（kn+b）qn，其中k，b為常數(shù).

證明：Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an bn

即Sn=a1b1+a2b1q+a3b1q2+…+an b1qn-1……①

兩邊同時(shí)乘以q得：qSn=a1b1q+a2b1q2+a3b1q3+…+an b1qn……②

①-②得： （1-q）Sn=a1b1+db1（q+q2+…+qn-1）-an b1qn

=a1b1+db1（ ）-（a1+nd-d）b1qn

=b1（a1+ ）-b1（dn+a1+ ）qn

所以Sn= （a1+ ）- （dn+a1+ ）qn.

所以Sn=b-（kn+b）qn，其中k= ，b= （a1+ ）.

解：設(shè)Sn=b-（kn+b）2n，

因?yàn)镾1=b-2（k+b）=6，S2=b-4（2k+b）=26

解得k=-4，b=2，

所以Sn=2-（-4n+2）2n=2+（2n-1）2n+1.

點(diǎn)評(píng)：此解法為待定系數(shù)法求差比數(shù)列的和，需要考生能夠記住差比數(shù)列的前項(xiàng)和的形式才能夠進(jìn)行求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想在解題中的應(yīng)用. 而且此公式在教材中沒(méi)有給出，所以不建議考生在解答題中直接應(yīng)用，但是可以借助這個(gè)形式對(duì)自己的求解的結(jié)果做一個(gè)檢驗(yàn). 本題也可以由Sn-Sn-1=（2n+1）2n列出方程組進(jìn)行求解.

四、歸納總結(jié)

（1）數(shù)列通項(xiàng)公式是數(shù)列的核心內(nèi)容之一，構(gòu)造法是求數(shù)列的通項(xiàng)公式的一種最常用方法，其本質(zhì)是通過(guò)構(gòu)造一個(gè)與己知數(shù)列有關(guān)的新數(shù)列，使新數(shù)列是等差、等比或其它常見(jiàn)數(shù)列的形式，再利用相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求通項(xiàng)的方法. 常見(jiàn)的構(gòu)造法有以下幾種類(lèi)型，此處列出來(lái)供各位考生參考.（說(shuō)明：下列各條件中的系數(shù)A、B、C、m均不等于0，①②③④中的系數(shù)A≠1）.

①形如an+1=Aan+B，則構(gòu)造an+1+t=A（an+t）進(jìn)行求解.

②形如an+1=Aan+Bn+C，則構(gòu)造an+1+k（n+1）+b=A（an+kn+b）進(jìn)行求解.

③形如an+1=Aan+mAn則構(gòu)造 = +m進(jìn)行求解.

④形如an+1=Aan+mBn （A≠B），則構(gòu)造an+1+kBn+1=A（an+kBn）進(jìn)行求解.

⑤形如an+1= ，則構(gòu)造 = = · + ，

若A=C，則數(shù)列{ }成等差數(shù)列;若A≠C，則再利用類(lèi)型①進(jìn)行構(gòu)造.

⑥形如an+1=Aan+Ban-1（n≥2），則構(gòu)造an+1-？琢an=？茁（an-？琢an-1）進(jìn)行求解.

（2）數(shù)列求和的常用方法有公式求和法，分組求和法，裂項(xiàng)相消法，錯(cuò)位相減法，并項(xiàng)求和法，倒序相加法，待定系數(shù)法等. 在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，對(duì)數(shù)列求和的這些方法，我們不僅要知道它們適用的范圍，更應(yīng)該知道這些方法所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)法而不拘泥于法，才能夠在解題過(guò)程中做到融會(huì)貫通，得心應(yīng)手. 從上述例題我們發(fā)現(xiàn)差比數(shù)列的求和問(wèn)題不僅僅只有錯(cuò)位相減法，還有裂項(xiàng)相消法和待定系數(shù)法等方法，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)問(wèn)題和方法的多樣性，掌握多種方法為我們解題拓寬了新的思路，也對(duì)培養(yǎng)和提高數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)有很大的幫助.

（3）近幾年全國(guó)卷高考的解答題中，數(shù)列大多以基礎(chǔ)題的形式出現(xiàn). 主要是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)，基本技能，基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的考查，對(duì)這類(lèi)問(wèn)題我們要做到不丟分. 所以在平時(shí)的復(fù)習(xí)中就應(yīng)該做到重視基礎(chǔ)，優(yōu)化知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，加強(qiáng)對(duì)常規(guī)題型的解法的研究，重視運(yùn)算的細(xì)節(jié)，提高運(yùn)算的準(zhǔn)確率，從而切實(shí)提升解決問(wèn)題的能力和數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

責(zé)任編輯 徐國(guó)堅(jiān)